数学-重庆市巴南区2024届高三诊断（一）数学试题（解析版）

高2024届高考诊断考试(一)数学试题

(试卷满分：150分120分钟完卷)

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)

1,已知集合4=321.5%>0}5={。,1,2,3,4},则(”)lB=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】先解出集合A,找到A的补集，再求出和B的交集.

【详解】因为A={x|2x2_5x>0}=(-8,0)L+8),所以04，又

3={0,1,2,3,4},所以("A)I8={0,1,2}.

故选：B.

2.已知复数z=一^,则［=()

1+21

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的除法法则求复数z,再由共朝复数定义求N.

5i(1-2i)=2i

【详解】Vz=+

(l+2i)(l-2i)

z=2-i.

故选：D.

3.已知sin[x+.)=-；,则cos(g-2x)=()

7227

cD

A.-9--9-9-9-

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.

【详解】因为sin[x+=]=一!，所以

-y--2jcj=-cos[7t--^-+2xj=-cos[y+2x1=-1-2sin。（x+2

故选：A.

4.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹

计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用

算筹表示数1〜9的一种方法.例如：3可表示为“三”，26可表示为“=_L"，现有5根算筹，据

此表示方法，若算筹不能剩余，则用1〜9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之

和为5的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作

答.

【详解】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6,3根算筹可表示3和7,4根算筹可表示

4和8,5根算筹可表示5和9,

因此5根算筹表示的两位数有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12

个，

其中个位数与十位数之和为5的有14,41,23,32,共4个，

41

所以所求概率为尸=7；=;.

123

故选：A

5.若数列｛4｝的前"项积（=1-卷〃，则氏的最大值与最小值的和为（）

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】C

【解析】

2

【分析】由题可得4=1+------，利用数列的增减性可得最值.

2»-17

【详解】•••数列｛%｝的前"项积（=1—2及，

当〃=1时，a,=一,

15

1一--

2T“一15'n2

当〃22时，T_=1-—(w-1),a

n{n2〃-172〃一17

15、'

〃=1时也适合上式,

2_

2〃一17

当〃48时，数列｛4｝单调递减,且4<1，

当〃上9时，数列｛4｝单调递减，且4>1,

故a“的最大值为为=3,最小值为％=-1，

a„的最大值与最小值之和为2.

故选：C.

6.如图所示，正方形ABCO的边长为2,点E，F，G分别是边8C,CD,AO的中点,

点P是线段E尸上的动点，则GPAP的最小值为（）

27

A."B.3C.—D.48

88

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设P（x,y）,FP=2FE，Ote[0,l]）,即可得到y=3-x、

x=l+/l,根据数量积的坐标表示得到GP-AP，再结合二次函数的性质计算可得.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则A（0,0）、G（0/）、E（2,l）、F（l,2）,

设P(x,y),FP=ZFE，(Ae[O,l]),则(工一1,了一2)=2(1,-1),

x—\=2

所以《

y—2=—X

所以x_l=_(y_2),即y=3—x,所以GP=(x,y—l),AP=(x,y),

所以GP-AP=x2+y(y-l)=f+(3-x)(2-x)=2x?-5JV+6

=2r-ii+1

523

又x=l+X«l,2],所以当x*时GP”取得最小值为十

故选：A

r2V2

7.椭圆C：彳+'=l（a〉〃>0）的左右焦点为月，F,,点尸为椭圆上不在坐标轴上的一

ah~

点，点M,N满足耳2ON=OP+OF2,若四边形"QVP的周长等于4"则椭

圆C的离心率为e=（）

R6D.近

AD.--X_-.------------

-?223

【答案】C

【解析】

【分析】根据2ON=OP+OF2,可得点M为线段P片的中点，点N为线段Pg

的中点，再根据四边形MONP的周长结合椭圆的离心率公式即可得解.

【详解】因为耳所以点M为线段PK的中点，

因为2ON=QP+OK，所以ON—OP=OF2—ON,

即PN=NF］,所以点N为线段P鸟的中点，

又因点。为线段耳工的中点，

所以〃尸用且IOM|=；IPK|,ON〃叼且10N|=；|「用，

所以四边形MONP的周长为|P£|+|P段，

又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以|「耳|+|「周=2a,

b1

所以2a=4b,即上=彳，

a2

故椭圆C的离心率为e=£=、「?=更.

a\a22

故选：C.

8.已知偶函数/(x)满足〃4+x)=〃4r),/(0)=-1,且当x«0,4］时,

〃x)=¥.若关于x的不等式“力＞〃在［T8,48］上有且只有60个整数解，则实数。的取

值范围是()

A.(-1,0］B.0,竽)C.卜,啕D.

In2ln3]

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知，函数/(X)是周期为8的周期函数，由题意可得关于X的不等式/(x)>a

在［0,8)上有且只有5个整数解，数形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】因为偶函数“X)满足/(4+x)=/(4—x),则/(x+4)=/(x—4),即

〃x+8)=/(x),

所以，函数“X)是周期为8的周期函数，

当xe(O,4］时，/(力=上詈，令/(力=0,可得％=e.

由四X)>。可得0cx<e,由/'(x)<。可得e<x44.

所以，函数/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,4］上单调递减，

因为关于x的不等式〃x)>a在［T8,48］上有且只有60个整数解，

则关于x的不等式〃x)>。在［0,8)上有且只有5个整数解，如下图所示：

因为/(4)=野=竿=等=/(2)，且〃6)=〃2),

又因为〃3)>〃4),所以，要使得不等式〃x)>a在［0,8)上有且只有5个整数解，

则这五个整数解分别为3、5、2、4、6,

所以，〃2)>aN/(l),即04a(警，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在

于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.

二、多选题(共4小题，每小题5分，共20分)

9.已知函数/(xhcosO-sin?》,则()

A./(x)=cos2xB.的最小正周期为兀

C.仆）在（0卷）上单调递减D.“X）在卜;制上单调递增

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可；

【详解】/（x）=cos2x-sin2x=cos2x,选项A正确；

27r

所以函数/（力的最小正周期为7=爹=兀,选项B正确;

[7T[Z7CI/\

根据余弦函数图像性质，xe[0,§J,2xe10，Tju（0,兀）（余弦函数对应的单调递减区

间），函数单调递减，选项C正确；

（7C7TA（27r7T、

根据余弦函数图像性质，xe,2xe（z（-7i,0）（余弦函数对应单调递增区

\36/\33J

间），函数不单调，选项D错误；

故选：ABC.

10.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中

小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统

计如下表:

学校人数平均运动时间方差

甲校2000103

乙校300082

记这两个学校学生一周运动的总平均时间为最，方差为$2,则（）

Ax=8.7B.x=8.8

C./=3.36D.?=3.56

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平均数和方差的计算公式求解.

20003000

【详解】依题意，总平均时间为最=xl0+x8=8.8

20()0+30002000+30()()

方差为

2000)3000()23

13+(10-8.81+[2+8-8.81=-x4.44+-x2.64=3.36

2000+300()2000+300055

故选：BC

11.如图，平行六面体AC1中，NAAO=幺43=45。，AD=AB，AC与BD交于点、

O,则下列说法正确的有（）

A,平面ACGAJ•平面BDD15

B.若|4。=|4。|,则平行六面体的体积v=：|AC|s四边形“蛆

1-1--

C.A,O=-AB+-AD+AA,

D.若乙%。=60。，则cosN4AC=^

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,由题意可得四边形468为菱形，则可得BOJ_AC,再计算8D-M，可

得5£>_LA&,从而得瓦>上平面ACG4,再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于B,连

接AC，可得从而可证得AC_L平面8。，与，进而可求出体积，对于C,利用

空间向量的加法分析判断，对于C,设A8=a,AA=6,则可得AC=&AC=^a，然后

利用向量的夹角公式计算判断.

【详解】对于A,因为在平行四边形A3CO中，AD=AB,所以四边形ABCD为菱形，所

以8DJ.AC,

因为N4AO=NAA8=45°,AD=ABf

o

所以AO-A4,=Up|.|A41|cos45,AB-A4t=,即441kos45。，所以

ADAAi=ABAAl,

因为3£>=AO-AB，所以M=^AD-AB^-AAy=AD--AB-=0,

所以BDLA4,所以BO_LAA，

因A4|AC=A,44,4。匚平面人。。八，所以瓦）上平面4。。14，

因为比）U平面8。24,所以平面ACGAJ_平面8。24,所以A正确，

对于B,连接AC,因为入。|=|4。|，|"1=|。0|，所以|AO|=|ca=|A。,

所以△A4,C为直角三角形，即4CLA4，因为A4〃BA，所以4。，3用，

因为由选项A知平面ACC4,ACu平面ACC4,所以BD，4C,

因为BB]CBD=B,B81,8Ou平面3。£）田，所以A<J_平面8。"4，

所以平行六面体的体积

31JJ

V=2V三棱柱RDB-A4D,=2X2匕!_8即用=3X§S四边形B瓦4。•21AC|=21AC|'S四边形幽qo，所以

B正确，

对于C,因为四边形A8CO为平行四边形，所以0为3。的中点，

11.11

所以40=5/18+54。，所以4。=AA+AO=4A+2A3+/A。，所以c错误，

对于D,设AB=a,A41=6,因为在菱形4BCD中，ZBAD=60°,所以

AC=2Ao=2ABcos30。=百a，

叱，AA.-ACAV（A3+AD）2"COS45°屈cr,…

所以cosNAAC=I—n—।=-------r=----------=—『------=—,所以D正确，

IA41HAe|6ab6ab3

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判断，考查平行六面体体积的求法，考查空间向

量的运算，解题的关键是正确利用平行六面体的性质结合题意分析求解，考查空间想能力和计

算能力，属于较难题.

12.已知函数/(x)=x(l-lnx),下列选项正确的是()

A/(x)有最大值

C.若xNe时，〃x)—a(e—x)«O恒成立，则

Inx.Inx,1111

D.设4当为两个不相等的正数，且------------------,则一+—>2

X]x2x2xtX1x2

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；

对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.

【详解】对于选项A：由题意可得：函数/(X)的定义域为(0,+”),且

/(x)=1-lnx-l=-lnx,

令用x)>0,解得0<X<l;令/'(x)<0,解得x>l；

则函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以/(X)有最大值=故A正确

对于选项B：因为/(3)=3(l_ln3]=3(2ln3)jp_)=l(]_]n_L]=2

)eVe)ee)e

…⑶/I)3(2-1113)24-31n3I,e4

则」--------=-------=-ln—>0n,

Jye)eeee27

所以©故B错误；

对于选项C：构建尸(x)=/(x)-a(e-x),则尸'(x)=-lnx+a,

因为F(e)=O,且当x*e时，尸(x)WO恒成立，

则尸(e)=—1+aWO,解得a«l,

若“41,则/'(j^u-lnx+aWO当x2e时恒成立，

则/(力在［e,+8)上单调递减，则歹(x)WF(e)=O,符合题意

综上所述：符合题意，故C正确；

由选项A可知：函数/(x)在(0/)上单调递增，在。,+8)上单调递减,

当x趋近于0时，〃元)趋近于0,且令/(x)>0,解得0<x<e,

八I,1

不妨设°〈一<1<一<e,

普x2

构建g(x)=/(l+x)-/(l_x),xw(O,l),

因为8'(》)=/'(1+力+/'(1-力=-111(1+力一111(1一力=一111(1—一)〉0在(0,1)上恒成

立，

则g(x)在(0,1)上单调递增,可得g(x)>g(0)=0,

所以/(l+x)>/(l-x),xe(O,l),即f(2-x)>/(x),xe(O,l),

(i>rn(n

可得/一=/一</2-一，

\X2J\X17\XJ

注意到了(X)在(1,+8)上单调递减，Kl<2--<2,1<—<e,

1cl11c

所以一>2-----,即一+—>2,故D正确;

x2玉X,x2

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数〃(x)；

(3)利用导数研究〃(力的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个

函数的最值问题.

三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

2

13.(-—幻"展开式中的各二项式系数之和为256,则/的系数是

x

【答案】112

【解析】

【分析】由二项式系数和等于2",求得"的值，再利用展开式的通项公式计算即可.

【详解】依题意得：2"=256,解得〃=8,

则&=端1(-X)'=(-1)'•2yT,reN,rV8,

由2r—8=4,解得r=6,

从而(—1)6♦22=112.

故答案为：112.

14.现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、

布'’游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进

行一局“石头、剪刀、布“游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势

是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为

【答案】三

27

【解析】

【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏

是相互独立，即可得到结果.

【详解】设事件A表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，

则尸=|,

21

则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为1--=-,

33

且各局游戏是相互独立的，

则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为（！）x-=—.

⑶327

2

故答案为：—

27

15.已知等比数列的｝满足：％+%=20,%=80.数列也｝满足

〃=log,a"〃wN*）,其前〃项和为S“，若曾不（九恒成立，则；I的最小值为.

3

【答案】—##0.3

【解析】

【分析】设等比数列｛4｝的公比为4,求出《、。的值，可得出数列｛4｝的通项公式，可求出

｛d｝的通项公式，求出s.，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数几的最

小值.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为。，则。2+4=4（4+%）=23=80,解得4=4,

所以，q+%=4+ci、q=5q=20,解得％=4,则a”—a、q

所以，bn=log26zw=log24"=2n,

%一2=2（〃+1）—2〃=2,所以,数列｛〃,｝为等差数列，

”।〃（2〃+2）/、

所以，S“=:一^=〃（〃+1），

bn_2〃_2

则S+S—n2+S+n―^8，

“n-\-----F1

n

因为函数^=工+^+1在（0,20）上单调递减，在（2J5,+刃）上单调递增，

—^―=---=2仇63

当〃=2时，邑+82+|+i7；当〃=3时,弓=?仁二6

23b„3

又因为六历’故已的最大值为6

b33

因此，对任意的〃eN*恒成立，所以，2>—,故几的最小值为二.

，,+81（）10

3

故答案为：—■

16.已知抛物线V=4x上存在两点A3（A3异于坐标原点。），使得NAOB=90°,直线

A8与x轴交于M点，将直线AB绕着何点逆时针旋转90°与该抛物线交于C,。两点，则四

边形ACBD面积的最小值为.

【答案】80

【解析】

【分析】设直线AB的方程为x=2y+f，联立方程组，由条件证明，=4,由此可得|AB|,再

求求四边形4CBO面积的解析式，求其最小值即可.

【详解】由已知直线48的斜率存在，且不为0,

故可设直线AB的方程为x=my+t,

\y2-4x

联立厂

[x=my+t

消x得，y2-4iny-4t=0,

方程y2-4〃?y-4/=0的判别式△=16机2+16f>0，

设A&,%）,网孙％）,则y+%=4。y%=-47,

22

所以中2=]■吟"

因为NAQ5=90°,

所以。4・08=0，所以xw+x%=°，

所以产-4/=0，

又AB异于坐标原点。，所以乱%40,所以，力（），

所以，=4,

所以直线AB的方程为％=殁+4,

且MM=V1+/H21%-%|=71+/M25/16/M2+64=4j"+<"+4）

所以直线AB与x轴的交点为（4,0）,

所以点〃的坐标为（4,0）,

所以直线C。的方程为工=—上丁+4,

m

y2=4x

联立11,

x=----y+4

、m

,4

消x得，/+-y-16=0,

m

416

方程产+—y-16=0的判别式△=—?+64＞（）,

mm"

设。（芍%）,。（毛,％）,则y3+y4=—,必必=-16,

所以3|=>'必一刃=’1+:小5+64=2>/"+1乂4〃?2+

由已知AB，CD，

所以四边形4c8。面积s=；x|A6|x|cq=W^Jp包丽可，

设加=3则A。，s=8产与3,

所以川

由基本不等式可得九+2？2,当且仅当4=1时等号成立，此时加=土1,

2

设〃=XH--,可得S=8,4/+25〃+34=8

A

所以当〃=2时，即〃?=±1时，S取最小值，最小值为80,

所以四边形4c8。面积的最小值为80.

故答案为：80.

【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去

M或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量

关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊

情形.

四、解答题（共6小题，共70分）

17.在.A8C中，角A&C所对的边分别为a,瓦c,c=a（cosB+gsin3）.

（1）求角A；

（2）若"C的面积为且，且a=l,求一ABC的周长.

4

【？千案】（1）—,

⑵6+2

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解；

(2)利用三角形面积公式与余弦定理分别得到儿与的值，从而求得6+。，由此得解.

【小问1详解】

c=a(cosB+V3sinB),

由正弦定理得sinC=sinA(cos5+sinB),即

sin(A+B)=sinAcosB+^3sinAsinB,

即sinAcosB+cosAsinB=sinAcosZ?+>/3sinAsinB»cosAsinB=>/3sinAsin8，

fie(0,7i),.\sinBwO,

cosA=A/3sinA,/.tanA=,

3

7T

Ae(0,7i)..-.A=-.

6

【小问2详解】

S=—ZJCsinA=—bcsin—=bc=-Ji>，

ABC2264

又a=l,.\cosA="+'------=b2+c2=4.

2bc2

所以S+c)2=4+2bc=4+2百=(百+l)t即b+c=J5+l(负值舍去)，

又a=l,所以.ABC的周长为a+/?+c=6+2.

18.已知数列｛4｝的首项4=1,且满足用+4“=3x2".

(1)求证：｛4-2"｝是等比数列；

(2)求数列｛可｝的前项和S,.

【答案】（1）证明见解析

、0[2川一2,〃为偶数

(2)S—<

"12"+「3,〃为奇数

【解析】

【分析】(1)根据题意结合等比数列的定义分析证明；

(2)先根据等比数列的通项公式可得%=(-1)"+2",再利用分组求和结合等比数列的求和公

式运算求解.

【小问1详解】

因为4“+|+。“=3x2",即an+l-+3*2”,

_a,,+3x2“_2〃Tj

=4-2"=

又因为q=1,可得q-2i=—1工0,

所以数列｛«„-2"｝表示首项为-1,公比为T的等比数列.

【小问2详解】

由⑴2"=-1x(-1)"-'=(-1)",所以可=(—1)"+2".

所以5“=q+^^a”=(―1+2])+(1+2~)H1-[(—1)"+2"]

=(2'+22++2")+[(-1)+1++(-1)”卜^21^十一¥；(”

=2(2"-1)一¥，

当n为偶数时，可得S“=2(2”-1)——■=2,1+1-2；

当〃为奇数时，可得S,=2(2"-1)—9=2n+,-3：

2向-2,〃为偶数

综上所述：S.=

2"“-3,〃为奇数

19.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年

4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100

位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，

如图所示.

(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数最(单位：分钟)；

(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)

(2)若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布N(〃/00),其中〃近似为样本平均数

L求P(64<XW94)；

(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于

分组[50,60),[60,70),[80,90)的年轻人中抽取1()人，再从中任选3人进行调查，求抽到

每天阅读时间位于[80,90)的人数自的分布列和数学期望.

附参考数据：若，则①尸-5<X<〃+5)=0.6827；②尸(〃-25<X<〃+25)=0.9545；

③

P(〃-35<X4〃+3S)=0.9973.

【答案】(1)74

(2)0.8186

(3)分布列见解析；期望为2

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；

(2)依据尸(〃一S<X4〃+23)=P(64<XW94),利用正态分布的对称性计算即可；

(3)先由题意得到随机变量自的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望

公式计算即可.

【小问1详解】

根据频率分布直方图得:

x=(55x0.0l+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)x10=74.

【小问2详解】

由题意知X~N(74,100),即〃=74,10,

0.6827+0.9545

所以P(64<X<94)=P(〃—b<XK〃+2S)==0.8186.

2

【小问3详解】

由题意可知［50,60),［60,70)和［80,90)的频率之比为：1：2:2,

故抽取的10人中［50,60),［60,70)和［80,90)分别为:2人,4人,4人,

随机变量J的取值可以为0,1,2,3,

C2clI

PC=0)=%=1)=,=不

C：o6joZ

23

PC=2)=C^'yC^=3上，PC=3)=CV=1-!-

C：o10C：o30

故J的分布列为:

0123

j_31

P

62To30

所以E(4)=0x』+lxL+2xa+3x'=9.

621()3()5

20.如图所示，在三棱锥产一ABC中，已知平面A8C,平面PA5_L平面PBC.

(1)证明：上平面RW；

(2)若R4=AB=6,8C=3,在线段PC上(不含端点)，是否存在点。，使得二面角

B—A。—。的余弦值为巫，若存在，确定点。的位置；若不存在，说明理由.

5

【答案】（1）证明见解析

（2）存在：。是PC上靠近C的三等分点

【解析】

【分析】（1）过点A作于点E，由面面垂直性质定理可得AE_L平面PBC,由此证

明AEL8C,再证明P4_L8C，根据线面垂直判定定理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求平面ACD,平面4肛的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹

角，由条件列方程确定点D的位置；

【小问1详解】

过点A作AELP3于点E，

因为平面平面P8C,且平面P45c平面依C=P8,A£u平面Q43,

所以平面P8C,

又BCu平面P8C,所以A£J.3C,

又B4_L平面ABC,BCu平面BBC,

所以Q4_L8C,

又因为AEPA=A,AE，PAu平面B45，

所以BC1平面R43.

【小问2详解】

假设在线段PC上（不含端点），存在点。，使得二面角3—A£>-C的余弦值为巫，

5

以B为原点，分别以BC、BA为*轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则4（0,6,0）,8（0,0,0）,C（3,0,0）,P（0,6,6）,

AC=（3,-6,0）,AP=（O,O,6）,PC=（3,-6,-6）,朋=（0,6,0）,

设平面ACD的一个法向量为m=（x,y,z）,

m-AC=0,3x-6y=0,

<取x=2,y=l,z=0,

m-AP=0,6z=0,

所以机=（2,1,0）为平面ACD的一个法向量,

因为。在线段PC上(不含端点)，所以可设PO=/lPC=(3；l,-6/l,—6/l),O<A<1,

所以A。=AP+PD=(3%—64,6-6A),

设平面的一个法向量为n=(x,y,z),

n-BA=O,16y=0,

n.AD=0,即［3/lx-62j+(6-62)z=0,'

取x=22—2,y=。，z=4,

所以n=(24—2,0,/l)为平面AB。的一个法向量，

/\2x(22-2)+lx()+0x/l

vM(2fM，又。““

2x(24-2)J10

由已知可得忑而二而N=_于

解得4=金或；1=2(舍去)，所以，存在点D,使得二面角5-A£>-C的余弦值为巫,

35

此时。是PC上靠近C的三等分点.

21.在平面直角坐标系xQy中，已知点耳(一6,0)、F2(6,0),△知耳工的内切圆与直线右外

相切于点。(4,0),记点M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x=2上，过7的两条直线分别交C于A、B两点和P,。两点，连接

BP,AQ.若直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0,试比较cos/84。与cosZBP。的

大小,

22

【答案】(1)工-匕=1(x24)

1620

(2)cosZBAQ=cosZ-BPQ

【解析】

【分析】⑴根据内切圆的性质得到|A曲|一|A七卜忻口一店。=8V|Gg|=12,从而结合双

曲线的定义得到轨迹方程；

（2）根据条件设旗B=4伏2>》，kpQ=_k,A（x，x）,3（/,%），C（W，%），

/、16"2一

。（/，乂），根据直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到％+々=2，

(4氏-+80

，结合弦长公式得到|7X||TB|=（1+公）4厂：6°,从而证明

中2=以二-54k5

।闭r@=i力4口力8|,进而可得相似于&T3。，由四点共圆的知识即可得到答案.

【小问1详解】

因为点耳（—6,0）、居（6,0）,△〃耳居的内切圆与直线£鸟相切于点3（4,0）,

所以用一眼用=忻。一怩。=10-2=8<忻局=⑵

因此根据双曲线的定义可知，点”的轨迹为以耳，B为焦点的双曲线的右支，

22

设点M的轨迹C的方程为彳一彳=1（a>0">0）,焦距为2c（c>0）,

所以闺闾=2c=12,|摩|一|螭|=2a=8,

所以a=4,c=6,b~-c1-a1-

所以点”的轨迹方程C为三—上=1（x24）

1620

【小问2详解】

由题意，直线ABP。的斜率互为相反数，记号"=左伏2>；）,

则”=-％,A（x"）,见々,%），。（不，%），。（％4，乂），

设T(2,f),则直线AB:y=Z(x-2)+f,PQ.y=-k(x-2)+t.

y=k(x-2)+t

联立直线AB和双曲线方程|fy2,

———=]

,1620

整理得(20-16%2b2+(6必2-32必卜-(8%-4/)2-320=0.

该方程有两个不等实根巧，4，

[20-16V^0

则]△=(64%2-32灯)2-4(2()—16标)[一(8%—4。2-32()]>0

小，口士斗士由-r/曰1642・8公(4攵一2炉+8()

根据韦达定理可得%+々=——j------，x,x=--------J-------

4k—524k—5

1Tm—rZ|g16Z;"+Skt(44+27)2+80

同理口J得刍+已=462_」'%3'%4=

4左2一5

又因为|啊=Jl+右(5—2)，|啊=J1+/-2).

\TP\=J1+F(七-2),|TQ|=J1+/(4-2).

则附附=(1+巧&-2)(々-2)=(1+巧[痞一2(%+X2)+4]=(1+阴^^

4k_