人教版初中数学同步讲义八年级上册第02讲 约分与通分（解析版）

第02讲约分与通分课程标准学习目标①最简分式②公因式与约分③最简公分母与通分掌握最简分式的概念，并能够熟练的进行判断。掌握公因式的概念能够熟练的求分子分母的公因式，然后利用分式的性质进行约分。掌握最简公分母的概念，能够熟练的求最简公分母，然后利用分式的性质进行分式之间的通分。知识点01公因式公因式的概念：一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。公因式的求法：对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次幂。他们的乘积为公因式。题型考点：①求分子分母的公因式。【即学即练1】1．分式中分子、分母的公因式为4mn．【解答】解：分式中分子、分母的公因式为4mn；故答案为：4mn．【即学即练2】2．在分式中，分子与分母的公因式是xy．【解答】解：原分式中：分母＝2xy；分子＝xy（x+y）；因此分子与分母的公因式为xy．知识点02最简分式最简分式的概念：分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。题型考点：①判断最简分式。【即学即练1】3．下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．【即学即练2】4．下列分式中，属于最简分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、原式＝，不是最简分式，不符合题意；B、原式＝，不是最简分式，不符合题意；C、原式＝，不是最简分式，不符合题意；D、是最简分式，符合题意；故选：D．【即学即练3】5．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（）（填序号即可）．①；②；③；④．A．① B．② C．③ D．④【解答】解：①，分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意；②＝，分母可以因式分解，是最简分式，是“和谐分式”，符合题意；③＝＝，分母可以因式分解，不是最简分式，不是“和谐分式”，不符合题意；④＝＝，分子、分母可以因式分解，不是最简分式，不是“和谐分式”，不符合题意；故选：B．知识点03约分约分的概念：根据分式的基本性质，把分子分母的公因式约去，这个过程叫约分。约分的步骤：①对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。②约去分子分母的公因式即可。题型考点：①约分。【即学即练1】6．分式约分为﹣．【解答】解：原式＝＝﹣．故答案为：﹣．【即学即练2】7．下列约分正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原式＝＝a+b，此选项正确；B．原式＝＝﹣1，此选项错误；C．原式＝＝a+2b，此选项错误；D．原式＝，此选项错误；故选：A．【即学即练3】8．若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（）A．1 B．x C．﹣x D．4【解答】解：A＝1或x或4时，分子分母有公因式，可以约分．故选：C．知识点04最简公分母与通分通分的概念：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母。最简公分母的求法：最简公分母＝所有系数的最小公倍数×所有因式的最高次幂。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定所含有的因式。通分的步骤：①将所有能分解因式的分母分解因式。②求出最简公分母。③利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成最简公分母。题型考点：①求公分母。②对分式进行通分。【即学即练1】9．分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2 C．6x6y6 D．x3y3【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．【即学即练2】10．分式与的最简公分母是（）A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5） C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）【解答】解：分式与的最简公分母是x（x+5）（x﹣5）．故选：D．【即学即练3】11．分式，，﹣的最简公分母是（）A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2，∴分式，，﹣的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2．故选：C．【即学即练4】12．通分：（1）与；（2）与．【解答】解：（1）∵与的最简公分母是6y2，∴＝，＝；（2）∵与的最简公分母是3a2b2，∴＝，＝．【即学即练5】13．通分：（1），，；（2），，．【解答】解：（1），，；（2），，．题型01最简分式的判断【典例1】下列各式中，最简分式是（）A． B． C． D．【解答】解：A、A的分子分母有最大公约数17，不是最简分式；B、B的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；C、＝＝y﹣x；D、＝＝；故选：B．【典例2】下列分式是最简分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝﹣x﹣y，不是最简分式，不符合题意；C、，是最简分式，符合题意；D、＝＝，不是最简分式，不符合题意；故选：C．【典例3】下列分式是最简分式的个数为（）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①是最简分式；②是最简分式；③，不是最简分式；④，不是最简分式；综上分析可知，最简分式有2个，故B正确．故选：B．【典例4】下列分式：，其中最简分式的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：＝﹣2y，故不是最简分式；＝＝﹣x﹣y，故不是最简分式；是最简分式；＝＝，故不是最简分式；故最简分式的个数有1个．故选：A．题型02公因式与公分母【典例1】要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（）A．xy B．5xy C．5xyz D．20xy【解答】解：＝＝，则将化成最简分式，应将分子分母同时约去的公因式为5xy，故选：B．【典例2】下列各式①；②；③；④；⑤中分子与分母没有公因式的分式是③⑤．（填序号）．【解答】解：①公因式是：3；②公因式是：（x+y）；③没有公因式；④公因式是：m．⑤没有公因式；则没有公因式的是③、⑤．故答案为：③⑤．【典例3】分式，的最简公分母是（）A．x2﹣y2 B．x2+xy C．（x+y）（x﹣y） D．x（x+y）（x﹣y）【解答】解：＝，＝，∴分式，的最简公分母是x（x+y）（x﹣y），故选：D．【典例4】分式、、的最简公分母是（）A．（x+y）（x﹣y） B．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2） C．（x+y）（x2﹣y2） D．（x﹣y）（x2﹣y2）【解答】解：分式、、的最简公分母是（x+y）（x﹣y），故选：A．【典例5】已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且，则x的值为（）A． B． C． D．【解答】解：两分式分母的公因式为a＝x+1，最简公分母为b＝2（x+1）（x﹣1），∴＝＝＝3，即x＝．故选：B．题型03约分【典例1】约分的结果是（）A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y【解答】解：，故选：B．【典例2】计算的结果为（）A． B． C． D．x﹣y【解答】解：＝＝，故选：A．【典例3】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝x+y，故选项A不符合题意；的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意；＝，故选项C符合题意；＝＝，故选项D不符合题意；故选：C．【典例4】，则？等于（）A．x+1 B．x﹣1 C．x+2 D．x﹣2【解答】解：∵，∴？等于x﹣1，故选：B．【典例5】小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（）A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1【解答】解：∵，∴＝＝，故*部分的式子应该是x2﹣2x+1．故选：A．题型04通分【典例1】分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（）A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）【解答】解：＝＝．故选：C．【典例2】将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（）A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a【解答】解：两分式的最简公分母为（1+a）（1﹣a）2，∴＝＝，则的分子变为1﹣a．故选：A．【典例3】若将分式与通分，则分式的分子应变为（）A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n）【解答】解：分式与的公分母是2（m+n）（m﹣n），则分式的分子应变为6m（m﹣n）＝6m2﹣6mn．故选：A．【典例4】按照下列要求解答：（1）约分：；（2）通分：与．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝，＝．【典例5】通分，，．【解答】解：它们的最简公分母是3（x﹣3）2（x+3），，，．1．下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；B、是最简分式，故此选项符合题意；C、＝＝，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；D、＝﹣＝﹣，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；故选：B．2．下列说法正确的是（）A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为﹣3 D．分式是最简分式【解答】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；B、分式中x，y都扩大3倍后的值为＝3×，即分式的值扩大3倍，故本选项说法错误，不符合题意；C、分式的值为0时，x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得x＝﹣3，故本选项说法正确，C符合题意；D、分式＝，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C．3．下列结论中，正确的是（）A．x为任何实数时，分式总有意义 B．当x＝±2时，分式的值为0 C．和的最简公分母是6m（2x﹣y）（y﹣2x） D．将分式中的x，y的值都变为原来的10倍，分式的值不变【解答】解：A、当x＝0时，分式没有意义，不符合题意；B、当x＝2时，分式无意义，不符合题意；C、和的最简公分母是6m（2x﹣y），不符合题意；D、将分式中的x，y的值都变为原来的10倍，则＝，即分式的值不变，符合题意．故选：D．4．化简分式的结果是（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝．故选：C．5．若m为整数，则能使也为整数的m有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵＝＝，∴能使也为整数的m有：m＝﹣2或m＝﹣3或m＝0，故选：C．6．若，则x等于（）A．a+2 B．a﹣2 C．a﹣1 D．a+1【解答】解：等式左边＝＝，∴x＝a﹣1，故选：C．7．把，，通分过程中，不正确的是（）A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；B、＝，通分正确；C、＝，通分正确；D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4；故选：D．8．把与通分后，的分母为（1﹣a）（a+1）2，则的分子变为（）A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a【解答】解：＝＝，故的分子为1+a．故选：B．9．约分：①＝，②＝．【解答】解：①＝；②＝．10．有分别写有x，x+1，x﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有x的卡片．【解答】解：∵＝＝，＝＝，∴，都不是最简分式，无法化简，是最简分式，故使得分式为最简分式，则应选择写有x的卡片．故答案为：x．11．以下三个分式的最简公分母是2x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：∵2x+2＝2（x+1），x2+x＝x（x+1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），∴，，的最简公分母是2x（x+1）（x﹣1），故答案为：2x（x+1）（x﹣1）．12．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的x值之和为﹣4．【解答】解：＝＝＝x+1﹣3+＝x﹣2+，∵分式的值为整数，∴x+1＝±1，±2，∴x＝0，﹣2，1，﹣3．∴0+（﹣2）+1+（﹣3）＝﹣4．故答案为：﹣4．13．通分（1），（2），（3），（4），．【解答】解：（1）最简公分母：12x3y2，＝，＝；（2）最简公分母：2（a+3）（a﹣3），＝，＝；（3）最简公分母：（a﹣3）2（a+3），＝，＝；（4）最简公分母：2（a+3）（a﹣1），＝＝＝，＝＝﹣＝﹣．14．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如．（1）下列分式中，属于真分式的是CA、B、C、D、（2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式．【解答】解：（1）根据题意得﹣是真分式．故选C．（2）＝＝+＝