人教版初中数学同步讲义八年级上册第01讲 轴对称（解析版）

第01讲轴对称课程标准学习目标①轴对称与轴对称图形的概念②轴对称与轴对称图形的性质③线段的垂直平分线认识轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练判断。掌握轴对称与轴对称图形的性质，并能够熟练应用其解决相关题目。掌握垂直平分线的定义，性质，判定，并能够熟练应用垂直平分线的性质与判定。知识点01轴对称图形的概念轴对称图形的概念：若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的对称轴。可以有多条对称轴。题型考点：①轴对称图形的判断。②对称轴的判断。【即学即练1】1．下列交通安全图标不是轴对称图形的是（）（图中的三角形是等边三角形）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：C．【即学即练2】2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的直线，有无数条．故选：D．知识点02轴对称轴对称的概念：一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够完全重合，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的对称轴。只有一条对称轴。重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。重合的点叫做对应点。注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。题型考点：①判断轴对称。【即学即练1】3．下列选项中左右两图成轴对称的为（）A． B． C． D．【解答】解：根据轴对称的概念．只有C成轴对称．故选：C．知识点03轴对称与轴对称图形的性质轴对称与轴对称图形的性质：①轴对称图形对称轴两旁的部分全等，成轴对称的两个图形全等。②对应边相等，对应角相等。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。③对称轴经过任何一组对应点连线的中点且与线段垂直。④对应点的连线之间相互平行。题型考点：①对性质的理解。②利用性质计算。【即学即练1】4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴①△ABC≌△A′B′C′，正确；②∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAC+∠CAC′＝∠B′AC′+∠CAC′，即∠BAC′＝∠B′AC，正确；③l垂直平分CC′，正确；④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误．综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：B．【即学即练2】5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（）A．90° B．100° C．70° D．80°【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：B．【即学即练3】6．如图，△ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝6，△BCD的周长为17，那么AC边的长是11．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∵△BCD的周长为17，∴CD+BD+BC＝17，∴CD+AD+BC＝17，即AC+BC＝17，∵BC＝6，∴AC＝11，故答案为：11．知识点04垂直平分线垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若C点事AB的中点，则MN是线段AB的垂直平分线。垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分线段。则∠PCA＝∠PCB＝90°，AC＝BC。②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。即PA＝PB。所以△PAB是等腰三角形。在Rt△PAC与Rt△PBC中∴Rt△PAC≌Rt△PBC∴∠A＝∠B；∠APC＝∠BPC。垂直平分线的判定到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的垂直平分线上。题型考点：①利用垂直平分线的性质求值。②垂直平分线的判定。【即学即练1】7．如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【解答】解：在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B＝∠BAD∵∠CAD：∠DAB＝2：1∴4∠B＝90°∴∠B＝22.5°故选：B．【即学即练2】8．如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝，则BE两点间的距离是（）A． B． C． D．【解答】解：连接BE，∵DE垂直平分线AB∴BE＝AE＝2．故选：C．【即学即练3】9．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC＝8，AB＝6，BC＝4，则△ADB的周长为（）A．14 B．13 C．12 D．10【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∵AC＝AD+CD，∴AC＝AD+BD＝8，∴△ADB的周长＝AD+DB+AB＝AC+BC＝8+6＝14，故选：A．【即学即练4】10．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．证明：BD垂直平分AE．【解答】证明：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴∠ABD＝∠EBD，∠BAD＝∠BED＝90°，在△BAD和△BED中∴△BAD≌△BED（AAS），∴AB＝BE，∵BD平分∠ABE，∴BD垂直平分AE（三线合一），题型01轴对称与轴对称图形的判断【典例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；D．是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【典例2】下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；故选：D．【典例3】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（）A． B． C． D．【解答】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．故选：C．【典例4】观察下图中各组图形，其中成轴对称的为（只写序号1，2等）．【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④故填①②④题型02镜面对称的规律题【典例1】如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个球袋，如果一个球从A（﹣2，0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面B的坐标是（0，2），则该球第二次碰到台球桌面的坐标是（2，0），该球最后落入的球袋是2号袋．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：因为一个球从A（﹣2，0）按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面B的坐标是（0，2），所以该球第二次碰到台球桌面的坐标是（2，0），该球最后落入的球袋是2号袋．故答案为：（2，0），2．【典例2】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2020的坐标是（）A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020÷6＝336……4，即点P2020的坐标是（﹣2，4），故选：B．【典例3】在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从（0，2）出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2022次碰到长方形的边时，点P2022的坐标为（0，2）．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵P（0，2），P1（2，0），P2（6，4），∴P3（8，2），P4（6，0），P5（2，4），P6（0，2），P7（2，0），…，∴Pn的坐标以6为循环单位循环．∵2022÷6＝337，∴点P2022的坐标是（0，2），故答案为：（0，2）．【典例4】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为（4，3）．【解答】解：如图：根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2021÷6＝336…5，即点P2021的坐标是（4，3）．故答案为：（4，3）．【典例5】如图所示，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标是（1，4）．【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2021÷6＝336…5，当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．题型03轴对称的性质理解【典例1】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，下列结论：①AB＝A'B'；②OB＝OB′；③AA'∥BB'中，正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴OB＝OB′，△ABC≌△A′B′C′，AA′∥BB′，故②③正确，∴AB＝A′B′，故①正确，所以正确的一共有3个，故选：A．【典例2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′交对称轴l于点M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则下列说法不正确的是（）A．三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等 B．AM＝A′M且AA′⊥l C．∠B＝100° D．连接BB′，CC′，则AA′，BB′，CC′三条线段不仅平行而且相等【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等，AM＝A′M且AA′⊥l，∠C＝∠C′＝30°，AA′∥BB′∥CC′，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，∴A，B，C不符合题意；D符合题意．故选：D．【典例3】如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，∴（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．综上所述，正确的结论有4个，故选：D．题型04利用轴对称的性质计算【典例1】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则AC＝（）A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AC＝A'C′．故选：D．【典例2】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A＝54°，∠C'＝26°，则∠B等于（）A．36° B．154° C．80° D．100°【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C′＝26°，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣54°﹣26°＝100°．故选：D．【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（）A．18° B．19° C．20° D．21°【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°，故选：C．【典例4】在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝12°，则∠EAF的度数为39°．【解答】解：∵∠B'AD'＝12°，∴2∠EAF＝90°﹣12°＝78°，∴∠EAF＝39°．故答案为：39°．【典例5】如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的面积是9．【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，BC＝2BD＝2×3＝6，AD⊥BC，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面积是：＝，∴图中阴影部分的面积是．故答案为：9．题型05利用垂直平分线的性质计算【典例1】如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为12cm，则AB+AC＝12cm．【解答】解：∵l是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∵△ABD的周长为12cm，∴AB+AD+BD＝12cm，∴AB+AD+DC＝12cm，∴AB+AC＝12cm，故答案为：12．【典例2】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝4，∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，故选：B．【典例3】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为（）A．40 B．20 C．15 D．10【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，∴EB＝EA，GA＝GC，∵△AEG的周长是20，∴AE+EG+AG＝20，∴BE+EG+GC＝20，∴BC＝20．故选：B．【典例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．22° B．27° C．32° D．40°【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣42°）＝69°，∵MN垂直平分线AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝42°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．故选：B．【典例5】如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（）A．115° B．116° C．117° D．118°【解答】解：∵∠ABC＝52°，∴∠BMN+∠BNM＝128°．∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM＝PM，PN＝CN．∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，∴∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM．∴∠MPA+∠CPN＝（∠BMN+∠BNM）＝×128°＝64°．∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．故选：B．【典例6】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB的度数为（）A．56° B．58° C．60° D．63°【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵BE＝AC，∴CE＝AC，∵∠ACE＝20°，∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝80°，∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，∴∠EBC＝∠ECB＝40°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠EBC＝20°，∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，故选：C．【典例7】如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），故选：B．【典例8】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．6cm B．12cm C．15cm D．24cm【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，BE＝AE＝3cm，∵△ADC的周长为9cm，∴CD+DA+AC＝9cm，∴CD+BD+AC＝9cm，∴BC+AC＝9cm，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝BC+AC+2AE＝9+2×3＝15（cm），故选：C．【典例9】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周长是5cm，∴P1P2＝5cm．故选：C．1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【解答】解：如图所示，，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，下列说法不正确的是（）A．AP＝A′P B．MN垂直平分AA′，CC′ C．这两个三角形的面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上【解答】解：A、P到点A、点A′的距离相等正确，不符合题意；B、点C、点C′到直线MN的距离相等正确，点A、点A′到直线MN的距离相等正确，不符合题意；C、∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴这两个三角形的面积相等，不符合题意；D、直线AB，A′B′的交点一定在MN上，此选项错误，符合题意．故选：D．4．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝3，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0 B．5 C．6 D．7【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝3，OP＝OP2＝3，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜6，故选：B．5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点B′落在BC边上．若∠C＝2∠B′AC，AB′平分∠DAC，则∠B的度数为（）A．67.5° B．50° C．45° D．22.5°【解答】解：设∠B′AC＝x，则∠C＝2x，∵AB′平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠B′AC＝2x，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠DAC＝90°，∴2x+2x＝90°，∴x＝22.5°．∴∠AB′D＝∠C+∠B′AC＝3x＝67.5°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠B＝∠AB′D＝67.5°．故选：A．6．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（）A．144° B．108° C．72° D．54°【解答】解：由折叠的定义知：∠ABC＝∠A′BC，∠ACB＝∠A′CB，∵∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣54°＝126°∴∠ABA′+∠ACA′＝2×126°＝252°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣（∠ABA′+∠ACA′）＝360°﹣252°＝108°，故选：B．7．如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2＝α，则∠1的度数为（）A．2α B．90°﹣α C． D．【解答】解：由折叠可得：∠AEF＝∠A'EF，∴，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴，故选：D．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、N，以下说法：①∠P＝60°；②∠EAF＝∠B+∠C；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：∵PM⊥AC，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∵∠BAC+∠PMA+∠PNA+∠P＝360°，∠BAC＝120°，∴∠P＝60°，故①符合题意；∵AC的垂直平分线是PM，∴EC＝EA，∴∠EAC＝∠C，同理：∠EAB＝∠B，∴∠EAC+∠EAB＝∠B+∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠EAC+∠EAB＝∠B+∠C＝60°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAC+∠EAB）＝60°，∴∠EAF＝∠B+∠C，故②符合题意；∵∠PEF＝∠CEM＝90°﹣∠C，∠PFE＝∠BEN＝90°﹣∠B，∠B不一定等于∠C，∴∠PEF不一定等于∠PFE，∴PE不一定等于PF，故③不符合题意；∵PM，PN分别平分AC，AB，∴P是△ABC的外心，∴点P到点B和点C的距离相等，故④符合题意．∴正确的是①②④．故选：B．9．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝70°，则∠BOC＝140°．【解答】解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，∴点O为△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠BAC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝140°，故答案为：140°．10．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若△AEF的周长为7，则BC的长是（）A．7 B．8 C．9 D．无法确定【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分线交BC于点F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周长＝7．故选：A．11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为6cm．【解答】解：∵OM、ON分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，OA＝OB，EA＝EC，OA＝OC，∵△ADE的周长为11cm，∴AD+DE+EA＝11cm，∴BD+DE+EC＝11cm，即BC＝11cm，∵△OBC的周长为23cm，∴OB+BC+OC＝23cm，∴OB+OC＝23﹣11＝12（cm），∴OA＝6cm，故答案为：6cm．12．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝39．​【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，∵DE是线段BC的中垂线，∴∠EDC＝90°，CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBD，∵∠EBD＝25°，∴∠ECB＝25°，∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，∵ER⊥AC，ED⊥BC，∴∠QRC＝∠QDE＝90°，∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，∵∠CQR＝∠EQD，∴∠ACB＝∠QED，∵∠ACB＝26°，∴∠QED＝26°，∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，∴ER＝EF，在Rt△ERC和Rt△EFB中，，∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，∵∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，∵∠ARE＝∠AFE＝90°，∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∵AE平分∠CAM，∴∠CAE＝CAM＝25°，∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，故答案为：39．13．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂在平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE．（1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝15°，求∠CDE的度数．【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，∴AB+BE+EC+CD+AD＝19，C