1.1.1空间向量及其线性运算课件高二上学期数学人教A版选择性2

第一章

空间向量与立体几何第一章

空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算

1.1.1

空间向量及其线性运算一二三学习目标经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的相关概念经历由平面向量的线性运算与法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算掌握空间向量的线性运算与简单运用学习目标平面向量及其应用平面向量的基本概念(相等/相反/共线/零/单位向量)平面向量的加/减/数乘/数量积运算及其坐标表示平面向量基本定理、共线向量的充要条件及推论平面向量在平面几何中的应用(向量的基底法和坐标法)空间向量类比推广空间向量的基础概念(相等/相反/共线/零/单位向量)空间向量的加/减/数乘/数量积运算及其坐标表示空间向量基本定理、共面向量的充要条件及推论空间向量在立体几何中的应用(向量的基底法和坐标法)应用：解决平面或空间中的平行、垂直、距离、角度等问题章前导读我们在必修第二册《平面向量及其应用》中学习过了：新课导入

在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?

下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。类比新知探究问题1平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？能否类比平面向量给出空间向量的概念及表示吗？平面向量空间向量概

念

表

示平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量。空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量。(1)有向线段A(起点)B(终点)(2)字母…

(1)有向线段(2)字母

…

？概念生成空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致。空间向量

在空间,我们把具有

和

的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的

.

大小方向

长度或模起点终点表示几何表示法：有向线段符号表示法：a

，bAB长度（模）：向量的大小，记作或平面向量零向量单位向量相等向量相反向量共线向量

模为1的向量.

空间向量中这些概念适用吗？方向相同或相反的向量叫做共线向量（平行向量），记作：零向量与任意向量共线。概念的本质是一样的新知探究问题2

在学习平面向量时，还学习了一些相关的概念，你还记得有哪些吗？空间向量若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作：规定：零向量与任意向量共线。新知讲解在空间中，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.AOB

以任意点O为起点，作，，我们就可以把它们平移到同一个平面α内。α这样就使得所有空间向量问题都可以转变成平面向量解决.这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.概念生成我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算:(1)(2)(3)OABCOAPQNM加法：减法：数乘：追问

向量线性运算的结果与向量起点的选择有关系吗？问题3

空间向量与平面向量是否也有相同的运算率？新知探究与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R):交换律：结合律：分配律：

你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？abcOABCab+abcOABCbc+空间向量ab+c+()ab+c+()(a+b)+c=a+(b+c)向量加法结合律：

由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.新知探究新知探究问题4

如图示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′(底面是平行四边形的四棱柱)中，分别标出，表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律及结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ACDBC′D′B′A′三个不共面的向量的和与这三个向量的关系：三个不共面的向量的和就是以这三个不共面的向量为邻边的平行六面体的对角线所在向量.另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.ACDBC′D′B′A′•E•F巩固练习课本P5巩固练习课本P5ACDBC′D′B′A′巩固练习课本P5CDBFEA4.如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量.【考查要点】空间向量的加法法则(平行四边形&三角形法则)、

减法法则(三角形法则)巩固练习课本P55.如图，已知正方体ABCD−A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值.BDCA′B′C′D′AE••F巩固练习课本P10【考查要点】向量的表示：以向量加减法的平行四边形或三角形法则为切入点，寻找目标向量与已知向量的关系。A问题5

对任意两个空间向量

与

，如果

，

与

有什么位置关系？反过来，

与

有什么位置关系时，

？

类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量

与

，

的充要条件是存在实数λ，使.新知探究空间共线向量定理Ol

我们把与向量

平行的非零向量称为直线l的

.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得.方向向量

P注意：(1)直线的方向向量一定是非零向量(2)一条直线的所有方向向量都互相平行新知讲解如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量

平行于平面α.

αlOA如图，如果表示向量

的有向线段

所在的直线OA与直线

l平行或重合，那么称向量

平行于直线

l.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.ababOABb结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.追问

它们确定的平面是否唯一？问题6

空间任意两个向量是否可能异面？新知探究追问

空间任意两个向量是共面的，那么空间任意三个向量呢？既可能共面，也可能不共面dbac问题7

那么什么情况下三个向量共面呢？新知探究新知探究问题7

那么什么情况下三个向量共面呢？

C

概念生成共面向量定理

（该定理实际上就是平面向量基本定理）ABPC推论1空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y),使

推论2

对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是OA，B，P三点共线的充要条件是什么？P与A，B，C四点共面的充要条件是什么？P与A，B，C共面P与A，B共线类比归纳典例解析例1

如图示,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使

求证：E,F,G,H四点共面.证明：由于四边形ABCD是平行四边形，∴由向量共面的充要条件知，E,F,G,H四点共面.AEHGFDCBO四点共面→有公共起点的三个向量共面尝试用空间向量解决立体几何问题巩固练习课本P106.

如图，已知E，F，G，H