新高考数学一轮复习讲与练第19讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）（解析版）

第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系（练）一、单选题1．如图所示，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，由题可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角，结合条件及余弦定理即得.【详解】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角，由题可知直三棱柱SKIPIF1<0为正棱柱,设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0．故选：A．2．下列能保证直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行的条件是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【分析】由线面平行的判定定理可知ACD不满足条件.【详解】A中，直线SKIPIF1<0可能在平面SKIPIF1<0内，A错误；B中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据线面平行的判定，可知SKIPIF1<0，B正确；C中，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，则直线SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，C错误.D中，直线SKIPIF1<0可能在平面SKIPIF1<0内，D错误.故选：B3．在三棱锥SKIPIF1<0中SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0边的中点，且SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【分析】根据中位线的性质及平行公理可得四边形SKIPIF1<0是平行四边形，再利用SKIPIF1<0可得四边形SKIPIF1<0是矩形.【详解】因为SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0边的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；同理可得SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形；又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即四边形SKIPIF1<0是矩形.故选：B.4．对于直线m、n和平面SKIPIF1<0，下面命题中的真命题是（

）A．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m、n是异面直线，那么SKIPIF1<0B．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m、n是异面直线，那么n与SKIPIF1<0相交C．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m、n共面，那么SKIPIF1<0D．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m、n共面，那么SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案【详解】解：对于A，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m、n是异面直线，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交，故A错；对于B，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m、n是异面直线，那么n与SKIPIF1<0相交或平行，故B错；对于C，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得SKIPIF1<0，故C对；对于D，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m、n共面，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交，故D错故选：C5．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面【答案】D【分析】根据空间中两直线的位置关系，即可求解：【详解】如图（1）所示，此时直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0为异面直线，其中SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为相交直线；如图（2）所示，此时直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0为异面直线，其中SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为异面直线，综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.故选:D.6．正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系是（

）A．异面垂直 B．异面不垂直 C．可能相交可能异面 D．可能相交、平行或异面【答案】A【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明线线垂直，得到正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系.【详解】如图，正方体的对角线SKIPIF1<0，与其不共端点的面对角线SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且两直线异面，同理可证明正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线垂直且异面，综上：正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系为异面垂直.故选：A二、填空题7．已知四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，且异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合异面直线夹角的定义求解即可.【详解】如图，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0相等或者互补，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）【答案】①③④【分析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可．【详解】①中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面；②中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是异面直线，故四点不共面；③中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面；④中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面；故答案为：①③④9．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出SKIPIF1<0条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则SKIPIF1<0的最大值为______．【答案】4【分析】根据正方体的结构特征，先确定至多可选出4条，再确定选出4条两两异面的线，即可得到结论．【详解】正方体共有8个顶点，若选出的SKIPIF1<0条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线（如图SKIPIF1<0），故所求SKIPIF1<0的最大值是4．故答案为：4．10．对于任意给定的两条异面直线，存在______条直线与这两条直线都垂直．【答案】无数【分析】平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答.【详解】令给定的两条异面直线分别为直线SKIPIF1<0，平移直线SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，如图，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0确定平面SKIPIF1<0，点A是平面SKIPIF1<0内任意一点，过点A有唯一直线SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由于点A的任意性，所以有无数条直线与异面直线SKIPIF1<0都垂直.故答案为：无数三、解答题11．如图，SKIPIF1<0为空间四边形，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面；(2)求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必相交且交点在直线SKIPIF1<0上．【解析】（1）证明：连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面．（2）证明：易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合（1）的结论可知，四边形SKIPIF1<0是梯形，因此直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不平行．设它们交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必相交且交点在直线SKIPIF1<0上．一、单选题1．在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的点且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的点，记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在正方体中求得它们的正切值比较大小后可得结论．【详解】作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由正方体性质易知SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为锐角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，三角相等．故选：B．2．如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，球O的表面积为SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）．A．SKIPIF1<0B．平面SKIPIF1<0平面OBCC．OB与平面ABC所成角的正弦值为SKIPIF1<0D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据条件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0计算出SKIPIF1<0的长度，从而知三角形SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，故知截面圆心为三角形SKIPIF1<0边SKIPIF1<0中点（记为SKIPIF1<0），进而知平面SKIPIF1<0平面ABC，再由球O的表面积为SKIPIF1<0得出球的半径R，然后逐个分析选项即可.【详解】如图1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三角形SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面ABC，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.据此，绘制出图2，则对A选项，如图2，若SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0不成立，故A错误；对B选项，如图2，假设平面SKIPIF1<0平面OBC，过点C作OB垂线交OB于Q点，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，即三角形SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，而在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0，故矛盾，因此，故B不成立；对C选项，如图1，SKIPIF1<0平面ABC，OB与平面ABC所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C成立；对D选项，如图2，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平SKIPIF1<0平面OAB与平面ABC所成角的平面角，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D不成立．故选：C．3．已知正方体SKIPIF1<0中，点M在线段SKIPIF1<0上，记平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与l所成角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由直线的平行关系可得出SKIPIF1<0即为所求角.【详解】由图可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面BDM，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面BDM，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即为异面直线SKIPIF1<0与l所成角，易知SKIPIF1<0是等边三角形，所以SKIPIF1<0．故选：C4．已知正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】B【分析】对于A，作图直接观察，由异面直线的定义，可得答案；对于B，由线面垂直的定义，通过证明线面垂直，可得答案；对于C，根据正方体的性质，结合线面垂直判定定理，找出垂线，判断其垂直与已知直线的位置关系，可得答案；对于D，过所求平面中的点，作已知直线的平行线，根据线面位置关系，可得答案.【详解】对于A，由题意可作图如下：因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异面，故A错误；对于B，连接SKIPIF1<0在正方体SKIPIF1<0中，如下图：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C，连接SKIPIF1<0，如下图：可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，所以SKIPIF1<0不垂直平面SKIPIF1<0，故C错误；对于D，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如下图：则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不平行平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不平行平面SKIPIF1<0，故D错误．故选：B.5．如图所示，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，四边形ABCD为梯形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0，C，D三点的平面记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为Q，则以下四个结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③四棱柱被平面SKIPIF1<0分成的上下两部分的体积相等，④几何体SKIPIF1<0是三棱台．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，可证明SKIPIF1<0，即可判断④；通过线段之间的比例即可判断①②；通过对四棱柱被平面SKIPIF1<0分成的上下两部分的体积进行计算，即可判断③【详解】解：延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0与平面ABCD的交线SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及棱柱的性质可得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，所以几何体SKIPIF1<0可看做是三棱锥SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0截剩下的一部分，故几何体SKIPIF1<0是三棱台，故④正确；因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故②正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③错误；故选：C.6．如图，在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，M､N､P分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，Q是线段SKIPIF1<0上的动点，则下列选项中错误的是（

）A．存在点Q，使B､N､P､Q四点共面 B．存在点Q，使SKIPIF1<0平面MBNC．三棱锥P-MBN的体积为SKIPIF1<0D．经过C､M､B､N四点的球的表面积为SKIPIF1<0.【答案】C【分析】利用空间中的平行关系的转化可判断AB的正误，利用体积公式可判断C的正误，利用补体可求经过C、M、B、N四点的球的半径，从而可判断D的正误.【详解】如图，在正方体SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为N，P分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B，N，P四点共面，即当Q与SKIPIF1<0重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，SKIPIF1<0，当Q是SKIPIF1<0的中点时，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面BMN，SKIPIF1<0平面BMN，所以SKIPIF1<0平面BMN，故选项B正确；连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行且相等（都与SKIPIF1<0平行且相等）得SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0分别是正方形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项C错误；分别取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即SKIPIF1<0，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：C二、填空题7．如图，圆锥的底面直径SKIPIF1<0，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为___________.【答案】SKIPIF1<0##0.25【分析】分别取SA，BC，OA的中点M,N,P，连接OM，ON，MN，PM，PN，根据O为AB的中点，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角（或补角）求解.【详解】解：如图所示：分别取SA，BC，OA的中点M,N,P，连接OM，ON，MN，PM，PN，因为O为AB的中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角（或补角），因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为圆锥的底面直径SKIPIF1<0，其侧面展开图为半圆，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<08．过正方体SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0在空间作直线SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0所成的角都等于SKIPIF1<0，则这样的直线SKIPIF1<0共有______条．【答案】2【分析】由题可转化为过点A与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都成SKIPIF1<0的直线有几条，即可判断.【详解】在正方体中，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都成SKIPIF1<0的直线有几条．考虑到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，所以同一平面的角平分线与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角大小为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，从而存在两条直线满足条件．而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外角为120度，所以不存在外角平分线满足条件．综上，满足条件的直线共2条．故答案为：2.9．正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离等于______．【答案】SKIPIF1<0【分析】作辅助线，找出异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公垂线段，求出公垂线段可得答案.【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，由正方体的性质可知SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似可得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的公垂线段，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离等于SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.10．空间四边形SKIPIF1<0的各边与两条对角线的长都为1，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上移动，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上移动，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最短距离为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】由已知条件可知几何体为正四面体，由此可知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最短距离即为相对棱的中点之间的距离，可求得答案.【详解】由于空间四边形SKIPIF1<0的各边与两条对角线的长都为1，故该几何体为正四面体，如图当P,Q分别为AB,CD的中点时，连接AQ,BQ,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,同理SKIPIF1<0,即当P,Q分别为AB,CD的中点时，PQ为异面直线AB,CD的公垂线，此时点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离最短；因为空间四边形SKIPIF1<0的各边与两条对角线的长都为1，故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<0三、解答题11．如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是SKIPIF1<0上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．【解析】（1）证明：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正方体SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴EC与SKIPIF1<0相交，设交点为P，∵PSKIPIF1<0EC，ECSKIPIF1<0平面ABCD，∴PSKIPIF1<0平面ABCD；又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴P为两平面的公共点，∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0三线交于点P；（2）在（1）的结论中，G是SKIPIF1<0上一点，FG交平面ABCD于点H，则FHSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面ABCD，同理，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面ABCD，∴P，E，H都在平面SKIPIF1<0与平面ABCD的交线上，∴P，E，H三点共线．一、单选题1．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱SKIPIF1<0，E，F分别是棱SKIPIF1<0上的点．记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先用几何法表示出SKIPIF1<0，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A．2．（2020·山东·高考真题）已知正方体SKIPIF1<0（如图所示），则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.【详解】A.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异面，故A错误；B.SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异面，故B错误；C.四边形SKIPIF1<0是矩形，不是菱形，所以对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，故C错误；D.连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：D3．（2021·全国·高考真题（理））在正方体SKIPIF1<0中，P为SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】平移直线SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或其补角为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设正方体棱长为2，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D二、多选题4．（2022·全国·高考真题）已知正方体SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0与平面ABCD所成的角为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角即为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，因为四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，A正确；连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，设正方体棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，故C错误；因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，易得SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD5．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足SKIPIF1<0的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线SKIPIF1<0构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为SKIPIF1<0，对于A，如图（1）所示，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（或其补角）为异面直线SKIPIF1<0所成的角，在直角三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正方体SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B正确.对于C，如图（3），连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由B的判断可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C正确.对于D，如图（4），取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0