山东省青岛市格兰德中学2023-2024学年下学期八年级期初考试数学试题（解析版）

2023－2024学年度第二学期八年级数学期初测试（考试时间：90分钟试卷满分：120分）第Ⅰ卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列各组数中，是勾股数的是（）A.1，2，3 B.，， C.6，8，10 D.10，20，24【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握知识点是解题的关键．判断是否为勾股数，须满足勾股数必须为正整数，且两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A：，不是勾股数，不符合题意，B：，但不是整数，因此不是勾股数，不符合题意；C：，是勾股数，符合题意；D：，不是勾股数，不符合题意；故选C．2.下列各点中位于第二象限的点是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点所在象限的坐标特点解答即可；【详解】解：A、（1，5）在第一象限，故本选项错误；B、（1，-5）在第四象限，故本选项错误；C、（-1，5）在第二象限，故本选项正确.D、（-1，-5）在第三象限，故本选项错误；故答案为C.【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住四个象限的符号特点分别是：第一象限（十，+）；第二象限（-，+）；第三象限（一，一）；第四象限（+，一）是解答本题的关键.3.下列条件中，不能判断是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据用勾股定理逆定理判断A、B，，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．【详解】解：A.∵，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=25k2=AC2，是直角三角形，故此选项不符合题意；B.∵，设AB=k，则BC=2k，AC=k，∴AB2+AC2=4k2=BC2，是直角三角形，故此选项不符合题意；C.∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．4.某城市几条道路的位置如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想修一条新道路，要求，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角性质求解即可．【详解】∵道路与道路的夹角为，∴∵∴∵∴．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质，等边对等角性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．5.两条直线与在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一次函数的中的的符号，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：A．由图象可知，；由图象可知，，A错误；B．由图象可知，；由图象可知，，B正确；C．由图象可知，；由图象可知，，C错误；D．由图象可知，；由图象可知，，D错误，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．6.下列四个命题中，真命题的是()A.三角形中至少有两个锐角 B.内错角相等C.三角形的一个外角大于任何一个内角 D.两直线平行，同旁内角相等【答案】A【解析】【分析】利用三角形的性质、对顶角的定义、平行线的性质和判定进行判断即可.【详解】解：三角形中至少有两个锐角，A是真命题；两直线平行，内错角相等，B是假命题；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，C是假命题；两直线平行，同旁内角互补，D是假命题；故答案为A.【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握判断命题的真假的方法是解答本题的关键.7.如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点落在点处，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据由将正方形的一角折叠，折痕为，点落在点处，比大的等量关系即可列出方程组．【详解】解：设和的度数分别为和，由题意可得：，故选：D．8.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE大小是（）A.45° B.54° C.40° D.50°【答案】C【解析】【详解】试题分析：解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理.9.如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标．【详解】解：当线段最短时，，∵直线为，∴当时，；当时，，∴，∴．∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴．作于点H，则，∴，即点B的横坐标为，把点B横坐标代入，可得：，∴．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，正确作出辅助线是解答本题的关键．10.如图所示的图象(折线)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离(千米)与行驶时间(时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】根据函数图像上的特殊点以及函数图像自身的实际意义进行判断即可.【详解】解：由图象可知，汽车走到距离出发点140千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了280千米，①错；从3时开始到4时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了4-3=1小时，②对；汽车用9小时走了280千米，平均速度为：280÷9≠30米/时，③错.汽车自出发后6小时至9小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错.故答案为A.【点睛】本题考查由函数图象的实际意义，理解函数图像所反映的运动过程是解答本题的关键.第Ⅱ卷二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.一组数据：、3、、、5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是__________．【答案】3【解析】【分析】本题考查了众数和中位数．由众数的定义，得到，再将这组数据从小到大排列，根据中位数的定义，即可得到答案．熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键．【详解】解：、3、、、5有唯一的众数是3，，将这组数据从小到大排列为：、、、、，中位数是，故答案为：3．12.一次函数y=ax+b在直角坐标系中的图像如图所示，则化简得结果是_________.【答案】-a+b【解析】【分析】根据题意和函数图象可以得到a+b=0，a＞0，b＜0，从而可以将题目中的式子化简．【详解】由图可得：a+b=0，a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，a＞0，∴原式=0﹣（a﹣b）=﹣a+b．故答案为﹣a+b．【点睛】本题考查了一次函数的图象与二次根式的性质．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13.如图，已知函数和图象交于点M，则根据图象可知，关于x、y的二元一次方程组的解为____________．【答案】【解析】【分析】一次函数y=ax+b和y=cx+d交于点（-5，7）；因此点（-5，7）必为两函数解析式所组方程组的解．【详解】解：由图可知：直线y=ax+b和直线y=cx+d的交点坐标为（-5，7）；因此关于x、y二元一次方程组的解为：，故答案为：．【点睛】考查了一次函数与二元一次方程（组）方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．14.已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【解析】【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）；当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．15.如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点C的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为______．【答案】3【解析】【分析】过点作于，由轴对称性质得，从而有，进而即可求解．【详解】解：过点作于H，∵点是边的中点，，∴，，∵将沿折叠至，点的对应点为，∴，，即∴，∴，当，即点与点重合时，的面积最大，最大面积为，故答案为：3．【点睛】本题考查了轴对称的性质，二次根式的乘法以及与中点有关的计算，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分75分）16.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）先化简各二次根式，然后再进行合并即可；（2）先进行二次根式的化简，然后再进行乘除法运算，最后进行减法运算即可．【小问1详解】；【小问2详解】．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．17.解方程组（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用加减消元法，即可求解；

（2）利用加减消元法，即可求解．【小问1详解】，①×2，得2x﹣2y＝8③，③+②，得6x＝7，解得，将代入①，得y＝﹣，∴方程组的解为；【小问2详解】①﹣②得，，解得，y＝9，将y＝9代入①，得x＝6，∴方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，准确消元把二元一次方程组变为一元一次方程是解决问题的关键．18.如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据全等三角形的判定证明结论即可；（2）根据三角形的内角和定理求解即可．【小问1详解】证明：∵平分，∴，在和中∴；【小问2详解】解：∵，∴由（1）可知，∴，∴．【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和三角形的内角和定理是解答的关键．19某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元．（1）求A、B两种纪念品每件的进价．（2）该店计划将2500元全部用于购进A，B两种纪念品，设购进A纪念品x件，B纪念品y件．该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元（2）当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元【解析】【分析】（1）设A种纪念品每件的进价为a元，B种纪念品每件的进价为b元，根据“购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元．”列出方程组，即可求解；（2）根据题意可得，再列出W关于x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：设A种纪念品每件的进价为a元，B种纪念品每件的进价为b元，根据题意得：，解得：，答：A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元；【小问2详解】解：根据题意得：，∴，∴，∵，∴W随x的增大而增大，∵，∴当时，W最大，最大值为580，此时，答：当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．20.今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由向移动，已知点为一海港，且点与直线AB上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域．（1）求的度数；（2）经过查阅资料，小周同学发现若到AB的距离大于，则海港不受台风影响；若到AB的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到AB的距离，判断海港是否受台风影响？【答案】（1）见解析（2）海港受台风影响，理由见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，从而可求得．（2）利用三角形面积得出长，即可得出结论．【小问1详解】，，，是直角三角形，．【小问2详解】海港受台风影响，理由如下：过点作于点，是直角三角形，，，，海港会受台风影响．【点睛】本题考查三角形面积，勾股定理应用，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股逆定理是解题的关键．21.在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【答案】（1）DE＝BD+CE##DE=CE+BD（2）成立，证明见详解（3）等边三角形，理由见详解【解析】【分析】（1）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；（2）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；（3）先由α=120°和AF平分∠BAC得到∠BAF=∠CAF=60°，然后结合AB=AF=AC得到△ABF和△ACF是等边三角形，然后得到FA=FC、∠FCA=∠FAB=60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD=∠ACE、AD=CE，从而得到∠FAD=∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF=EF、∠DFA=∠EFC，最后得到∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=60°，即可得证△DEF是等边三角形．【小问1详解】DE=BD+CE，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=BD+CE，故答案为：DE=BD+CE．【小问2详解】DE=BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；【小问3详解】△DEF是等边三角形，由（2）知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB=AF=AC∴△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE·10分在△DBF和△EAF中，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等．22.如图，在平面