2021年山东中考数学提优集锦

2021年山东中考数学提优集锦

一.选择题(共9小题)

1.新定义：在平面直角坐标系中，对于点P(m,〃)和点P(m,n1),若满足加20时,

n'—n-4；m<0时，--n,则称点P'(m,n')是点P(m,n)的限变点.例

如：点尸1(2,5)的限变点是P'(2,1),点P2(-2,3)的限变点是放'(-2,

-3).若点尸(血，〃)在二次函数y=-/+4x+2的图象上，则当-1WsW3时，其限变

点P的纵坐标"'的取值范围是()

A.-2W"'W2B.1W〃'W3C.IWfi'W2D.-2W〃'W3

2.如图，在△ABC中，ZXBC=90°,ZC=30°,以点A为圆心，以AB的长为半径作弧

交AC于点。，连接8。，再分别以点B,。为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交

2

于点P，作射线AP交BC于点E,连接。E,则下列结论中不正确的是()

B.OE垂直平分线段AC

C.SAgP£D.B0=BC，BE

^AABC3

3.如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC,AB=10,ZB=60°,将纸片折叠，使点B

落在A。边上的点G处，折痕为EF,若/BFE=45°,则BF的长为()

4.已知反比例函数尸也•的图象如图所示，则一次函数y=cx+a和二次函数y=a/+〃x+c在

X

同一平面直角坐标系中的图象可能是()

5.如图，在矩形ABC。中，AB=5,BC=5«,点P在线段BC上运动（含8、C两点），

连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到A。，连接。。，则线段。。的

最小值为（）

6.如图，在平面直角坐标系中，四边形的边OB与x轴的正半轴重合，AD//OB,

OB_Lr轴，对角线AB,交于点M.已知AO：。8=2：3,△4WO的面积为4.若反

比例函数y=K的图象恰好经过点M,则k的值为（）

X

A.ALB.21C.四D.12

555

7.如图，AABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且N£)BE=30°,

过点£>、E分别作AB、BC的平行线相交于点凡分别交8C、AB于点H、G.现有以下

结论：①SAABC=亨；②当点。与点C重合时，F//=-l；③AE+C£>=«DE；④当AE

=8时，四边形B7/FG为菱形，其中正确结论为()

A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④

8.抛物线>=/+灰+c(aWO)的对称轴是直线x=-l,其图象如图所示.下列结论：①

abc<0；②(4«+c)2<(2b)2；③若(xi,yi)和(必”)是抛物线上的两点，则当|xi+l|

>|x2+l|时，yi<”；④抛物线的顶点坐标为(-1,m),则关于x的方程o^+Ox+cu，〃-

1无实数根.其中正确结论的个数是()

9.记实数XI,X2，…,X”中的最小数为加〃{XI,X2f…，Xn)9例如疝〃{-1,1,2}=-1,

则函数y=mi〃{2x-1,x,4-x}的图象大致为()

3

2

1

A.B.

二.填空题（共9小题）

10.已知正方形A8CC的边长为3,E为CD上一点、,连接AE并延长，交BC的延长线于

点F,过点。作QGLAF,交AF于点”，交BF于点、G,N为EF的中点，M为上

q

一动点，分别连接MC,MN.若功。则MN+MC的最小值为

2AFCE4

11.如图，点Bi在直线/：y=L上，点Bi的横坐标为2,过点Bi作BiAi，/,交x轴于

2

点4,以4B1为边，向右作正方形4&B2cI,延长82cl交x轴于点42；以42B2为边,

向右作正方形A28283c2，延长B3c2交X轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A38384c3,

延长84c3交X轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第〃个正方形的边

长为（结果用含正整数"的代数式表示）.

12.两张宽为3c,"的纸条交叉重叠成四边形ABCQ,如图所示.若Na=30°,则对角线

上的动点P到A,B,C三点距离之和的最小值是.

D

13.数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确

的是（只填写序号）.

①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”;

②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”;

③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平

分

④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”.

14.如图，正方形ABCB1中，AB=gAB与直线/所夹锐角为60°,延长CBi交直线/

于点A1,作正方形4181C182,延长C182交直线/于点A2,作正方形A282c2a,延长C2B3

交直线/于点A3，作正方形A383c3及…，依此规律，则线段A2020A2021=.

交x轴于点&作84〃0A,交反比例函数图象于点4；过点Ai作A181L48交X轴于

点8；再作B|A2〃8A1,交反比例函数图象于点A2,依次进行下去，…，则点A2021的横

坐标为_______

16.在直角坐标系中，点4从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为:

A2(1,0),A3(1,1),A4(-1,1),As(-1,-1),46(2,-1),A1(2,2),若

到达终点4(506,-505),则"的值为.

5-

17.如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y=且与>=电(a>6>0)在第一象限的

XX

图象分别为曲线。，C2,点尸为曲线。上的任意一点，过点尸作)，轴的垂线交C2于点

A,作x轴的垂线交C2于点3,则阴影部分的面积SzxAOB=.(结果用a,6表示)

18.综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2,其中一边5c为8c机的锐角三角形纸片

(如图1),经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形5CDE(如图2),则矩形

的周长为cm.

图1图2

三.解答题(共23小题)

19.抛物线y=o?+fec+3过点A(-1,0),点B(3,0),顶点为C.

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)如图1,点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点。，连接AC,若4c是

以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点，连接

PE,作边E尸交x轴于点F,设点F的横坐标为〃?，求机的取值范围.

3

。顺时针旋转至。E,记旋转角为a,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰直角

三角形CEF,连接AF.

(1)如图1,当a=180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；

(2)当0°<a<180"时，

①如图2,(1)中线段A厂与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,当B,E,尸三点共线时，连接4E,判断四边形AEC尸的形状，并说明理由.

21.已知：如图，在矩形ABC。和等腰中，48=8cs,AD^AE^6cm,/D4E=

90°.点P从点8出发，沿8A方向匀速运动，速度为kvn/s；同时，点。从点。出发,

沿QB方向匀速运动，速度为lc,"/s.过点。作QM〃BE,交A。于点从交DE于点、M,

过点。作QN〃8C,交C。于点N.分别连接PQ,PM,设运动时间为f(s)(0<f<8).解

答下列问题：

(1)当PQJ_B。时，求f的值；

(2)设五边形的面积为S(c〃？)，求S与，之间的函数关系式：

(3)当PQ=PM时，求f的值；

(4)若PM与AO相交于点W,分别连接QW和EW.在运动过程中，是否存在某一时

刻f,使/AWE=/QWD?若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

最长边长为128的整数边三角形有多少个？(整数边三角形是指三边长度都是整数的三

角形.)

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般

性的结论.

(1)如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1,第三边长也是1.按

照(最长边长，最短边长，第三边长)的形式记为(1,1,1),有1个，所以总共有1

Xl=l个整数边三角形.

表①

最长边长最短边长（最长边整数边三计算方法算式

长，最短角形个数

边长，第

三边长）

11(1,1,1)11个11X1

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边

之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2,记为（2,1,2）,有1个；当

最短边长为2时，显然第三边长也是2,记为（2,2,2）,有1个，所以总共有1+1=1

X2=2个整数边三角形.

表②

最长边长最短边长（最长边整数边三计算方法算式

长，最短角形个数

边长，第

三边长）

21(2,1,2)12个11X2

2(2,2,2)1

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况:

表③

最长边长最短边长（最长边长，整数边三计算方法算式

最短边长，第角形个数

三边长

31(3,1,3)12个22X2

2(3,2,2),(3,2

2,3)

3(3,3,3)1

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：

表④

最长边长最短边长（最长边长，最整数边三计算方法算式

短边长，第三边角形个数

长）

41(4,1,4)13个22X3

2(4,2,3),(4,2

2,4)

3(4,3,3),(4,2

3,4)

4(4,4,4)1

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空:

表⑤

最长边长最短边长（最长边整数边三计算方法算式

长，最短边角形个数

长，三边长

51(5,1,5)1____—

2(5,2,4)2

(5,2,5)

3——

4(5,4,4)2

(5,4,5)

5(5,5,5)1

问题解决:

（1）最长边长为6的整数边三角形有个.

（2）在整数边三角形中，设最长边长为”，总结上述探究过程，当〃为奇数或〃为偶数

时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为〃的整数边三角形的个数.

（3）最长边长为128的整数边三角形有个.

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有个.

23.四边形ABCQ为矩形，E是AB延长线上的一点.

(1)若AC=EC,如图1,求证：四边形8ECC为平行四边形；

(2)若AB=A£>,点F是AB上的点，AF=BE,EG_LAC于点G,如图2,求证：△OGF

是等腰直角三角形.

图1图2

24.二次函数y二症+^^超(aWO)的图象经过点A(-4,0),8(1,0),与y轴交于点C,

点尸为第二象限内抛物线上一点，连接8P、AC,交于点。，过点P作PCx轴于点D

(1)求二次函数的表达式;

连接BC,当NOPB=2NBCO时，求直线8P的表达式;

(3)请判断：毁是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理

QB

25.C、。为半圆上的两点，且BD=CD.连接AC并延长，与

8。的延长线相交于点£

(1)求证：CD=ED-,

(2)AQ与OC,BC分别交于点F,H.

①若CF=CH,如图2,求证：CF・AF=FO,AH；

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

E

E

E

图1图2图3

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=变ll・x+㈣(加＞0)与x轴交于A(-1,

,222

0),B(w,0)两点，与y轴交于点C,连接8c.

(1)若OC=2OA,求抛物线对应的函数表达式;

(2)在(1)的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△P8C面积最大时，求

点P的坐标：

(3)设直线y=L+。与抛物线交于8,G两点，问是否存在点E(在抛物线上)，点F

2

(在抛物线的对称轴上)，使得以B,G,E,F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出

点E,F的坐标；若不存在，说明理由.

27.已知：在正方形A8CO的边8c上任取一点F,连接AF,一条与AP垂直的直线/(垂

足为点尸)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E.

图1图2

(1)当直线/经过正方形A8CO的顶点。时，如图1所示.求证：AE=BF；

(2)当直线/经过AF的中点时，与对角线80交于点Q,连接F。，如图2所示.求N

AFQ的度数；

(3)直线/继续向下平移，当点尸恰好落在对角线8D上时，交边CD于点G,如图3

所示.设48=2,BF=x,DG=y,求y与x之间的关系式.

28.如图，已知正方形ABCQ,点E是BC边上一点，将AABE沿直线A£折叠，点B落在

F处，连接B尸并延长，与ND4F的平分线相交于点”，与AE,CQ分别相交于点G,M,

连接HC.

(1)求证：AG=GH-,

(2)若AB=3,BE=\,求点。到直线的距离；

(3)当点E在8C边上(端点除外)运动时，N84C的大小是否变化？为什么？

29.如图，抛物线丫=/+法+。经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C,

且OC=2OA,抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E.直线)，=松+〃经过8,C两点.

(1)求抛物线及直线BC的函数表达式；

(2)点尸是抛物线对称轴上一点，当物+FC的值最小时，求出点尸的坐标及用+FC的

最小值；

(3)连接AC,若点尸是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是

否存在以点E为直角顶点的RtZ^PEQ,且满足tan/EQP=tan/OC4.若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

30.有公共顶点A的正方形ABC。与正方形AEG尸按如图1所示放置，点E,尸分别在边

A8和A。上，连接8F,DE,M是8尸的中点，连接AM交。E于点N.

【观察猜想】

(1)线段。后与AM之间的数量关系是，位置关系是

【探究证明】

(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边48上，如图2,

其他条件不变，线段力E与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由.

图2

点P是直线1上的任意一点，分别过点A和点B作直线I

的垂线，垂足分别为点C和点D我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.

(1)［猜想验证］如图1,当点P与点。重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”

OC和的数量关系是

(2)［探究证明］如图2,当点P是线段A8上的任意一点时，“足中距”OC和。。的数

量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)［拓展延伸］如图3,①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和

。。的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

②若/COO=60°,请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系.

32.如图，抛物线y=-Xx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,直线y=-」*+2

22

过B、C两点，连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：2AOCs匕ACB：

(3)点”(3,2)是抛物线上的一点，点。为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点

D作。后，》轴交直线BC于点E,点、P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最

33.已知：抛物线y=o?+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P为直线8c上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO,PO交直线BC

于点E,设更=晨求当及取最大值时点尸的坐标，并求此时上的值.

0E

(3)如图2,点。为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D.

①求△BZJQ的周长及tanZBDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tanN8MQ=1G为大于0的常数)，求点M的坐

标.

如图1,在矩形ABC。中，AB=2jj,NAB£)=30°,点E是边A8的中点，过点E作

E尸_L4B交8。于点尺

实验探究：

(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的aBEF绕点8按逆时针方向旋转90°,

如图2所示，得到结论：①姻•=_______；②直线AE与DF所夹锐角的度数为_______.

DF-

(2)小王同学继续将aBE尸绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探

究(I)中的结论是否仍然成立？并说明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，当△BEF旋转至£)、E、/三点共线时，则△AOE的面积为

图3

35.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=0?+--4交x轴于A(-1,0)、B(4,

0)两点，交y轴于点C.

备用图

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点尸为第四象限内抛物线上一点，连接尸8,过点C作CQ〃BP交x轴于点Q,连

接P。，求△P8Q面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线了=火2+公-4向右平移经过点(工，0)时，得到新抛

2

物线y=m/+6x+ci,点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F,使得

以A、P、E、尸为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

参考：若点P1(XI,yi)、P2(X2,)2),则线段P1P2的中点Po的坐标为(3――,———

22

36.在矩形ABC。中，BC=-/jCD,点E、尸分别是边A。、BC上的动点，S.AE=CF,连

接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点。落在点”处.

(1)如图1,当E”与线段BC交于点P时，求证：PE=PF；

(2)如图2,当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M,求证：点M在线段

EF的垂直平分线上；

(3)当4B=5时，在点E由点A移动到中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

图1图2备用图

37.如图所示，直线丫=依1+人与双曲线y="交于A、B两点,已知点8的纵坐标为-3,

直线AB与x轴交于点C,与y轴交于点。(0,-2),OA=娓,tanZAOC=.1.

(1)求直线AB的解析式；

(2)若点尸是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△OQB的面积的

2倍，求点P的坐标；

(3)直接写出不等式％x+8W”的解集.

38.如图，半圆形薄铁皮的直径AB=8,点。为圆心，C是半圆上一动点(不与4B重合),

连接AC并延长到点。，使AC=C£>,过点。作AB的垂线OH交融，CB,AB于点E,

F,H,连接。C,记N4BC=0,8随点C的移动而变化.

(1)移动点C,当点H,。重合时，求sin。的值;

(2)当。<45°时，求证：BH・AH=DH・FH；

(3)当8=45°时，将扇形04c剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和

高.

-2区)，抛物线与

39.如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M(2,

3

x轴的一个交点为A(4,0),点B(2,2M)与点C关于y轴对称.

(1)判断点C是否在该抛物线上，并说明理由;

(2)顺次连接A8,BC,CO,判断四边形A8CO的形状并证明；

(3)设点P是抛物线上的动点，连接以、PC、AC,△以C的面积S随点P的运动而变

化，请探究S的大小变化并填写表格①〜④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐

标的值.

直线AC的函数表达S取的一个特殊值满足条件的P点的个S的可能取值范围

式数

①_______64个③______

②______3个\

102个④______

40.如图1,在△ABC中，/C=90°,ZABC=30°,AC=1,。为△ABC内部的一动点

(不在边上)，连接8£>,将线段BO绕点。逆时针旋转60°,使点B到达点F的位置；

将线段AB绕点B顺时针旋转60°,使点4到达点E的位置，连接A。，CD,AE,AF,

BF,EF.

(1)求证：ABDAmABFE；

(2)①C£>+Df+FE的最小值为；

②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF.

(3)如图2,M,N,P分别是。F,AF,AE的中点，连接MP,NP,在点。运动的过

程中，请判断/MPN的大小是否为定值.若是，求出其度数；若不是，请说明理由.

41.如图，已知RtzXABC中，ZC=90°.

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）.

①作NB4c的角平分线A。，交8c于点力；

②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点0；

③以点。为圆心，以。。长为半径画圆，交边AB于点

（2）在（1）的条件下，求证：8c是。。的切线；

（3）若4M=4BM,4c=10,求。。的半径.

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参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

1.新定义：在平面直角坐标系中，对于点尸（机，〃）和点尸‘（加，n'）,若满足时，

n'=n-4；zn<0时，n'=-n,则称点P'（机，n'）是点P（相，n）的限变点.例

如：点尸1（2,5）的限变点是Pi'（2,1）,点P2（-2,3）的限变点是尸2,（-2,

-3）.若点〃）在二次函数y=-W+4x+2的图象上，则当-1WWW3时，其限变

点P'的纵坐标〃’的取值范围是（）

A.-2，'<2B.1W”'W3C.IfW2D.—'W3

【解答】解：由题意可知，

当机20时，n'=-n^+4m+2-4=-（nj-2）2+2,

.•.当时，-2W"'<2,

当机<0时，n'—nr-4m-2—Cm-2）2-6,

.,.当时，-2<〃'W3,

综上，当-lWmW3时，其限变点P'的纵坐标H的取值范围是-2W〃'W3,

故选：D.

2.如图，在aABC中，/ABC=90°,NC=30°,以点A为圆心，以AB的长为半径作弧

交AC于点。，连接8D,再分别以点B,。为圆心，大于工2。的长为半径作弧，两弧交

2

于点P,作射线AP交BC于点E,连接QE,则下列结论中不正确的是（）

c.SaedcD.B0=BC，BE

2AABC3

【解答】解：由题意可得NA8C=90°,ZC=30°,AB=AD,A尸为8。的垂直平分线,

；.BE=DE,

：.ZBAE^ZDAE=30°,

...△AEC是等腰三角形，

\'AB=^AD,AC=2AB,

.•.点。为AC的中点，

•••QE垂直平分线段AC,

故选项A,8正确，不符合题意；

在△ABC和△EDC中，ZC=ZC,ZABC=ZEDC=90°,

AABCs△8£＞（7,

.ABACBC

"ED"EC"DC"

；,二cos30°3DC=.

・•记辛，

上沁=（如）2=3，

bAEDC

s

AEDC故选项c错误，符合题意；

2△ABC3

在△A8O中，'：AB=AD,ZBAD=60°,

...△A8O是等边三角形，

AZABD=ZADB=60°,

NO8E=NBDE=30°,

在和△8QC中，NDBC=NEBD=30°,ZBDE=ZC=30°,

：.ABEDs/XBDC,

.BEBD

,,瓦文

:.B》=BOBE,故选项。正确，不符合题意.

故选：C.

3.如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC,AB=10,ZB=60°,将纸片折叠，使点B

落在A。边上的点G处，折痕为EF,若/8FE=45°,则的长为（）

C.5-73D.返

5

【解答】解:由折叠知：BF=GF,/BFE=/GFE,

VZBF£=45°,

：.ZBFG=90°,

过点A作于"，

■:AD//BC,

：.ZGAH=ZAHB=90°,

AZGAH=ZAHB=ZBFG=90°,

・•・四边形AHFG是矩形，

:・FG=AH=5g

：.BF=GF=5yf3.

故选：C.

4.已知反比例函数y=2的图象如图所示，则一次函数y=cx+〃和二次函数yuo^+^x+c在

x

同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

【解答】解：•••反比例函数的图象在二、四象限，

A、•.•二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交），轴的负半轴,

二。>0,b<0,c<0,

一次函数图象应该过第一、二、四象限，4错误；

8、•.•二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，

.'.a<0,Z?>0,

...与b<0矛盾，8错误；

C、•.•二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，

.".a<0,h>0,

...与b〈0矛盾，C错误；

•二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交），轴的负半轴，

，。>0,b<0,c<0,

•次函数图象应该过第一、二、四象限，。正确.

故选：D.

5.如图，在矩形ABC。中，AB=5,BC=5«,点P在线段BC上运动（含B、C两点），

连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°至UA。，连接OQ,则线段。。的

最小值为（）

BPC

A.互B.5J2C.包1D.3

23

【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交A。于点E,过点。作

DHLQE于H.

:四边形ABCD是矩形，

NABP=NBAD=90°,

「△ABF,AAP。都是等边三角形，

：.ZBAF^ZPAQ=60Q,BA=FA,PA=QA,

：.4BAP=2FAQ,

在△BAP和△或。中，

'BA=FA

-ZBAP=ZFAQ>

PA=QA

.'.△BAP丝△EAQ(SAS),

.•.NABP=NAF2=90°,

,：ZFAE=90°-60°=30°,

：.ZAEF=90°-30°=60°,

"：AB=AF=5,AE=AF+cos30°=口强,

3

...点Q在射线FE上运动，

,:AD=BC=5g

.\DE=AD-AE=^&,

3

'：DH±EF,NDEH=NAEF=60°,

.•.DH=Dfsin600=&Zlx返=5,

322

根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，。。的值最小，最小值为

2

故选:A.

6.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBO的边。8与x轴的正半轴重合，AO〃OB,

Q8_Lx轴，对角线AB,。。交于点M.已知A。：0B=2：3,△AM。的面积为4.若反

比例函数＞=区的图象恰好经过点M,则k的值为（）

D.12

555

【解答】解：过点M作MHLOB于H.

25

“=里

5

故选：B.

7.如图，ZiABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且N£>BE=30°,

过点力、E分别作AB、BC的平行线相交于点F,分别交BC、4B于点"、G.现有以下

结论：①SAA8C=Y2；②当点。与点C重合时，FH=L；®AE+CD=^]3DE,④当AE

42

=C。时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（）

C.①②③④D.②③④

【解答】解：①过点A作APLBC于点尸，如图1：

图1

•.•△A8C是边长为1的等边三角形，AP1BC,

.•.BP=JL8C=L

22

/MP=VAB2-BP2=2y,

SAABC-|BCxAP=aXIX喙故①正确；

②当点。与点C重合时，H,D,C三点重合，如图2：

A

；NDBE=30°,ZABC=60°,

.♦.BE是/ABC的平分线，

\'AB=BC,

:.AE=EC=1AC=^,

22

'：CF//AB,

.".ZFCA=ZA=60°,

VGF//BC,

...NFEC=NACB=60°,

:.NFCE=NFEC=60°,

：.NFCE=NFEC=NF=60°,

...△EFC为等边三角形，

：.FC=EC^^,

2

即尸”=上.故②正确；

2

③如图3,将△CB。绕点B逆时针旋转60°,得到△A8M连接NE,过点N作NPLAC,

交CA的延长线于P,

图3

：.BD=BN,CD=AN,NBAN=NC=60°,NCBD=/ABN,

9：ZDBE=30°,

ZCBD+ZABE=30Q=ZABE+ZABN=/EBN,

EBN=NDBE=30°,

又・：BD=BN,BE=BE,

:ADBE沿/\NBE（SAS）,

:・DE=NE,

VZM4P=180°-ZBAC-ZNAB=60Q,

：.AP=^AN,NP^J3AP=J^AN=J^-CD,

222

,：NP2+PE2=NE2,

：.3.CD2+（AE+l.CD）2=DE2,

42

AAEr+CI^+AE'CD=DE2,故③错误；

「△ABC是等边三角形，

二/A=ZABC=ZC=60°,

'：GF//BH,BG//HF,

：.四边形BHFG是平行四边形，

,JGF//BH,BG//HF,

；./AGE=/4BC=60°,NDHC=NABC=60°,

/.AAGE,△OCH都是等边三角形，

：.AG=AE,CH=CD,

'：AE=CD,

：.AG=CH,

：.BH=BG,

.♦.口84人7是菱形，故④正确，

故选：B,

8.抛物线y=a/+加叶。（aWO）的对称轴是直线x=-1,其图象如图所示.下列结论：①

abc<0；②（4〃+c）2<（2b）2；③若（xi,yi）和（地，”）是抛物线上的两点，则当阳+1|

>仅2+11时，yiV”；④抛物线的顶点坐标为（-1,加），则关于X的方程4/+〃刈^="2-

1无实数根.其中正确结论的个数是（）

【解答】解：①•・•抛物线图象开口向上，

・・,对称轴在直线y轴左侧，

:・a,b同号，b>Of

;抛物线与y轴交点在x轴下方，

Ac<0,

abc<Of故①正确.

②(4〃+c)2-(2b)2=(4a+c+2h)(4〃+c-2b),

当x=2时ax^+bx+c=4(7+C+2Z?,由图象可得4〃+c+2b>0,

由图象知，当x=-2时，a^+bx-^-c=4a+c-2b,由图象可得4a+c-2。<0,

・・・(4〃+c)2-(2b)2<0,BP(4〃+c)2<(28)2,

故②正确.

③㈤+1|=田-|X2+1|=|X2-(-1)|,

V|X1+1|>|X2+1|,

・••点(xi,yi)到对称轴的距离大于点(必”)到对称轴的距离，

故③错误.

④•・,抛物线的顶点坐标为(-1,m)，

.\ax2'+bx+c=m-1无实数根.

故④正确，

综上所述，①②④正确，

故选：B.

9.记实数XI,X2,…，X〃中的最小数为相加｛xi,X2,

则函数y=〃z%｛2x-1,x,4-x｝的图象大致为（

AB

CD

【解答】解：如图，由2x-l=x得：尤=1,

・・・点A的横坐标为1,

由4-x=x得：x=2,

・••点C的横坐标为2,

当xW1时,y=min{2x-1,x,4-x}=2x-1,

当1VXW2时，y=min{2x-1,x,4-x}=x,

二.填空题（共9小题）

10.已知正方形A8CO的边长为3,E为CD上一点、,连接AE并延长，交BC的延长线于

点F,过点。作QGLAF,交AF于点、H,交8F于点G,N为EF的中点，M为BD上

c

一动点，分别连接MGMN.若ZCG」则MN+MC的最小值为2J二历.

,△FCE4

【解答】解：・・•四边形A3CQ是正方形，

・・・A点与。点关于3。对称，

，CM=AM,