高中数学真题与经典题一题多解

困教篇

【试题1】(2016全国新课标II卷理16)若直线y=Ax+b是曲线y=lnx+2的切线，也

是曲线y=ln(x+l)的切线，b=.

【标准答案】1—ln2

解法一：设直线y=丘+6与曲线y=lnx+2和夕=ln(x+l)切点分别是(占,Inx1+2)和

(x2,ln(x2+1)).

1ir2

则切线分别为：y=—,x+lnX|+l,歹=——-x+ln(x2+l)-------

$x2+1x2+l

T_1

.玉x2+l

Inx,+1=ln(x2+1)---

解得玉=；x2="1

解得=InX,4-1=1-In2

解法二：设直线y=+b与曲线y=lnx+2和y=ln(x+l)切点分别是(%，乂)和

(%,力),

•.•曲线y=lnx+2通过向量(1,2)平移得到曲线y=ln(x+l)

(x2-xl,y2-y,)=(l,2)

1c1

.•.两曲线公切线的斜率上=2,即一=2,所以b=ln—+1=1—M2

玉2

【试题2】【2015新课标12题】设函数/(x)=e'(2x-l)-"+。，其中a<1,若存在唯一的

整数%,使得〃/)<0,则“的取值范围是()

r3,、，33、333

A.[---,1)B(----,—)C.[一)D.[—,1)

2e2e42e42e

解法一:由题意可知存在唯一的整数与使得设

g(x)=ex(2x-1),h(x)-ax-a由g(x)=e'(2x+1),可知g(x)在(一,一1)上单调递减,

2

在(-L+OO)上单调递增，故

2

fM0)>g(0)3

得

2e

解法二:由题意/(x)<0可得，(2x—l)<a(x—1)

①当x=l时，不成立；

「，令g(x)=冲，贝Ug，(x)=£^^

②当x>1时，a>

x-1x-\(x-1)

当工£(1，5)时，g(x)单调递减，当%£(5，+8)时;g(x)单调递增

所以g(x)mm=g(')=4e5,即a>4",与题目中的a<1矛盾，舍去。

xx

三W,«•+eC2x-\)A/、e(2x-1)

③当x<l时，a<-------,令g(x)==-------

x-1x-1

同理可得：当工£(-8,0)时，g(x)单调递增，当XE(0,1)时，g(x)单调递减

所以g(x)max=g(°)=1，即〃<1，满足题意。

又因为存在唯一的整数x0,则a2g(-l)=3

2e

此时

综上所述，a的取值范围是,1)

解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。

当a=0时，f(x)=ex(2x-l),f\x)=e'(2x+\),可知/(x)在(-8,-；)递减，在(一;,+8)递

增，又/(0)=-1<0,/(-1)=-3^'<0,不符合题意，故。=0不成立，排除答案A、B.

当a=3时,/(x)=ex(2x-l)--x+-,/V)=^(2x+1)--,因为/(%)=/(21+1)-士为

44444

?1，

增函数，且尸(0)=1--=一>0,=-一<0,所以存在旦使得/'。)=0,

444

则/(X)在(—,/)递减，在&+<»)递增，又/(0)=-1+工<0,/(-l)=-3eT+万>0,

/(l)=e>0,易判断存在唯一的整数0,使得/(0)<0,故。=士成立，排除答案C.

4

解法四：x=0带入/(x)中可以得到〃O)=a-l,由题意可知所以/(0)<0,满足题

3

目中存在唯一的整数，使得/(%)<0,所以只需要得至lj_<a<\

Xo-2e

【试题3】(2016年全国I卷文科第12题)

若函数/(%)=》一；5吊2》+45m》在(一8,+8)单调递增，则。的取值范围是()

B.-1,-

3

12

解法一：函数/(x)=x-§sin2x+asinx的导数为/'(x)=1-3cos2X+QCOSX

由题意可得/'(x)20恒成立,

即为1——cos2x+acosx>0

3

54)

即有----cosx+tzcosx>0

33

设£=cosx(-l</<1),即有5—4产+3at20,

当/=0时，不等式显然成立；

当时，3a>4t-~,

t

由4/一』在(0J递增，可得，=1时，取得最大值一1,

t

可得3aN-l,即a?-1；

3

当一1W/V0时，3aW4f—2,

t

由47-；在［—1,0)递增，可得f=—1时，取得最小值1,

可得3a21,即aW1.

3

综上可得a的范围是

故选：C.

12

解法二：函数/(x)=x-§sin2x+Qsinx的导数为f\x)=\--cos2x+acosx

由题意可得/'(x)20恒成立，

2

即为1——COS2X+QCOSX>0

54,

即有----cosx+acosx2020,

33

设/二cosx(-l<1),即有5-4t2+3公20,

由于二次函数g(7)=—4/+3〃+5(—14W1)的开口方向向上，

因此只需要[g°)wo

[g(7)W0

解得，即故选：c.

33

解法三：应用结论“奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数”

由题可得,因为函数/(》)=丫-；5由2》+。5m》的定义域为(一8,+8)

且一/(%)=/(-%)，所以/(X)是奇函数.

根据结论可得，/'(X)是偶函数.

又因为函数/(x)=x--sin28+。5沦》在(-8,+8)单调递增

则/'(%)20在(-8,+8)上恒成立

21

因而必须满足了'(0)20=l-§cos0+acos020=42—耳

因而根据选项，只有C符合题意

故选C

【试题6】(2014年全国课标1理科数学第11题)已知函数/*)="3_3/+1，若/(X)

存在唯一的零点％,且%>0,则。的取值范围为

A.(2,+8)B.-2)C.(1,+8)D.(一8,-1)

解法一:求导得/'(%)=3"2-6x=3x(ox-2),若〃=0,则/(1)=一3一+1,不合题意，舍

7

去；若"0,令/")=0解得x=0或x=—。

当a<0时，易知〃尤)在(v1)上单调递减，在上单调递增，在(0,+-)上单调递减,

结合〃X)的图像，只需有/(彳)>0,解得〃<-2。

当°>0时，易知f(x)在(7,0)上单调递增,由〃-1)=-°-2<0,/(0)=1>0,知/(x)

在(-1,0)上有零点，不合题意，舍去;

综上所述，。的取值范围为(-00,-2),选B。

14

解法二:由题意知，方程加-3d+1=0有唯一正根小,显然则--^+-，令

XX

[=14(),等价于方程”=-户+3.(fHO)有唯一正根，作出夕=-r+3/(f=0)的图像,

X

数形结合，〃的取值范围为(70,-2),选B。

4

解法三：取a=3,/(X)=3X3-3X2+1,检验知不合题意，排除A,C；取“=

A

32

/(X)=-1X-3X+1,检验知不合题意，排除D,故选B。

0,0<%<1

【试题7】：(2015江苏高考13).已知函数/(x)=|lnx|,g(x)={,,,

则方程/(x)+g(x)|=1实根的个数为A.

解法1：：|/(x)+g(x)|=l=g(x)=±l—|lnx|,所以方程方程|/(x)+g(x)|=l实根的个

数即为曲线夕=g(x)和曲线y=±l-|lnx|的公共点个数之和。

曲线_V=g(x)和曲线y=l-|lnx|显然有2个公共点,

g(l)=O>-l-|lnl|

又因为《，所以曲线y=g(x)和曲线y=-l—|lnx|也有2个公共点,

g(2)=-2<-l-|ln2|

如图2所示

所以方程|/(x)+g(x)|=1实根的个数为4个。

解法2：：(1)当0<xWl时，/(x)=|lnx|=-lnx,g(x)=O,原方程即为

-lnx+l=O=>x=-,所以当0<xWl时，原方程有一个实根；

⑵当1<XW2时，/(x)=lnx,g(x)=2-x2,原方程即为|lnx+2—=1

.,1

令F(x)=Inx+2-x2(1<x<2),F(x)=——2x<0,

x

所以尸(x)在xe(1,2]上单调递减，得尸(x)e[ln2—2,l),得何1+2-引=1只有一个实

根。

(3)当x>2时，/(x)=Inx,g(x)=x2-6,

2

原方程即为Rnx+x?-6]=1nInx+f=~iorlnx+x=5»

令6。)=1!1丫+》2在》6(2,+8)上单调递增，所以G(x)e(ln2+4,+8),因此

\nx+x2=lorlnx+x2=5各有一个实根。

综上，方程|〃＞）+8。）|=1实根的个数为4。

解法3：首先去掉绝对值符号，有

oo<x<1

-Inx0<x<1

/(x)=,g(x)=<2-x2l<x<2

Inxx>1

x2—6x>2

|-lnx|0<x<l

2

|/(x)+g(x)|=<|lnx+2-x|l<x<2

|lnx+x2-6|x>2

故对|/（X）+g（x）l=1，应该分3种情况讨论.

(1)0<%41时,有：|一111H=1=>工=1或工=0

（与xWl不符,舍去）；

e

(2)时，有：1nx+2-x]=l=>lnx=x2-1,or,lnx=x2-3

Inx=x?—1时，显然x=1适合;

Inx=x2-3时，・.・x£[1,2],/.InxG[0,In2],

/一3打一1』,而[0,ln2]c[-l,l]

如解图，两曲线y=》2-3与歹=lnx在区间[1,2]内有1个交点;

y,

汩y=x2-3”

\°r

(3)x>2时，|lnx+x2-6|=l=>Inx=7-x2^clnx=5-x2

Vx>2,故前者有一解而后者无解.

综上,原方程实根的个数为4.

【试题1](2012年重庆卷文科第12题)函数/(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数

a=.

解法1：从偶函数的定义出发，并结合特殊值，这样运算量很小，尤其对一些运算量较

大的问题特别有效.

偶函数=/(-%)=/(X)对任意R恒成立n/'(-«)=/(a)(aH0)

n0=2a(a-4)na=4.

解法2：因为函数/(x)=(x+a)(x-4)是二次函数且为偶函数，所以函数图像的对称

轴是x=0,即x=—^^=0na=4.

2

解法3：从另一个角度来看待偶函数的图像：既然图像关于y轴对称，说明该函数在

x=0处取得极值，因此x=0是该函数的极值点，由导数性质可得/(0)=0,即a=4.

解法4：自从将导数引入高中教材，使得我们可以站在更高、更宽的视野来处理问题，

同时导数作为一种强有力的工具，使得很多看似难以解决的问题得以轻松解答.我们知道在

可导的前提下，偶函数的导函数必为奇函数，因此

f(x)=/+(〃-4)X一4。为偶函数n/(x)=2x+(a-4)为奇函数(这是一次函数)

=>/(x)=2x+(q-4)必为正比例函数。=4.

lx2-11

【试题1】(2012年高考数学天津卷(理科)14题)已知函数>；=J——^的图像与

X—1

函数》=依一2的图像恰有两个交点，则实数%的取值范围是

|^2-1||(x-l)(x+l)|

解法1：函数y

x-1X—1

xv-l时，y=x+l；当一1<X<1时，歹=-x-l；当X>1时，y=x+l.所以,

x+Lx<-1

—X—L—1<X<1.做出函数的图像.

x+l,x>1

直线歹=b-2恒过定点(0,-2),要使两函数图像有两个不同的交点，将直线

尸船-2绕点(0,-2)按逆时针方向从4旋转到。的过程中滁。和4外，均满足・

所以，实数攵的取值范围是：0<4<1或1<左<4.

k2-l|「,

解法2：由题意可得，七1=丘一2有两个不同实根，即丘-2)(》-1)有两个非

1的实根，当/一1>0,即XE(-OO,-1)U(L—)时，原方程即x+l=去一2,根为X二」一；

k-i

当V-iwo,即xc[-Ll)时、原方程即一x-l=Ax-2,根为x=―-—.

k+\

3

W------

7^1左+1

-1>0可得，左w(0,i)U(L4).

一140

2"-a,x<1,

【试题1】(2015北京理科第14题)设函数/(x)=<

4(x-a)(x-2a),x..A.

①若a=1,则/(x)的最小值为；

②若/(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是o

解：①略；

②解法1：/(》)=2'-。在(-8,1)内是增函数，

当“<0时，/(x)=2'-a>0在(-8,1)内恒成立，故无零点。

则/(x)=4(x—a)(x—2a)在口,+8)内恰有两个零点，故a>2a…1,无解；

当0<。<2时，易知在(一8,1)内有一个零点。

则/(刈=4(》一。)(工一2编在[1,+8)内有且仅有一个零点，故2a…l>a,得;,，。<1；

当。…2时，易知/(X)=2v—a在(—8,1)内无零点。

则/(x)=4(x-a)(x-2a)在口,+8)内恰有两个零点，故2a>a庞l,a2。

综上，实数a的取值范围为!”。<1或。…2。

2

解法2：易知/(x)最多有三个零点log2。、a.2a.

log2a<l,log2a…1,

1

/(x)恰有两个零点=或｛a,,A,<=>一〃<1或。...2。

2”

2a...1.2a..A.

所以aeg,l)U[2,+8)。

【试题1】2015年安徽卷文科第14题：在平面直角坐标系X0中，若直线y=2a与函数

歹=,一4一1的图像只有一个交点，则a的值为。

解法1：直线y=2。与函数y=|x-a|-l的图像只有一个交点，等价于方程|x-a|=2a+l

有且仅有一个实根，显然2a+1=0,即a=-，符合题意。

2

解法2：由题意，,一4一1=2。只有一个根，即上一4=2。+1,所以x-a=±(2a+l),

解得x=3a+l或％=-。一1,因为只有一个根，所以3。+1=-。-1,解得&=一,。

2

解法3：同解法2得到：,一。|=2“+1,即(x—a>=(2a+l)2只有一个根，即

x2-2ax-3a2-4a-l=0,A=(2a)2-4(-3a2-4a-1)=0,解得。=一；。

解法4：在同一坐标系下分别作出函数丁=上一4一1和y=2a的大致图像(图1)。

可以看出，要使直线丁=2。与函数y=|x-a|-l的图像只有一个交点，则必须满

足2。=一1,解得。=一,。

2

【试题1】2015年安徽卷理科第15题：设》3+办+6=0,其中。、b均为实数，下列条

件中，使得该三次方程仅有一个实根的是。(写出所有正确条件的编号)

①、a=—3,b=—3；②、a=—3,b=2；③、a=—3,Z?>2；④、a=0,b=2；⑤、

a=1,力=20

解法1：令/(x)=x，+ax+b,求导得/”(x)=3x?+a。

当a20时，f\x)>0,所以/(x)在R上单调递增，且x-时，/(x)-»-oo;

X—>+8时，/(x)—>+8。所以/(x)=/+狈+8必有一个零点，即方程x，+ax+b=0

仅有一个实根，故④⑤正确;

若“<0,由三次函数图像特点，/(x)在(一8,--9及(+8)上是增函数，在

上是减函数。

要使/(x)在衣上只有一个零点，则只需三)3+。(小一三)+6>0和

"(Mmax=(一/守+/一J—f+b<0有一个成立即可。

故①③正确，于是填①③④⑤。

【试题1】(2012年浙江卷理科第17题)设。eR,若x>0时均有[(0一1•-1](》2—中

—1)>0,则4=.

解法1：当a=l时，y=(a-l)x—l=-l,不合题意,

故awl.因为一次函数

y=(a-l)x-l和二次函数歹-ax-l的图象均过定

点(0,-1),如图，当尤>0时均有[(。-l)x—1](x之一ax一

1)>0,所以这两个函数的图象在y轴的右边且同时在x轴

的上方或同时在x轴的下方，因为M(—,0)在乃=3

a-1

—l)x—1上，所以函数yi=x2—ax-\的图象一定也过点M(」一，0),代入得

47-1

2③

——-——1=0,解得。=—(舍去。=0).

a-12

赏析1：此解法的优美之处在于把一个一元高次不等式问题转化为函数的图象来解决,

使解题过程运算简单，思路简捷，充分体现数形结合思想的强大魅力。

赏析2：不等式问题涉及到恒成立方面的知识，数形结合，简洁明快.

赏析3：把握动函数图象过定点，利用一次函数和二次函数的图像性质，且它们的函数

值同号进行解题.

赏析4：把握不等式的特点：一个一次函数与一个二次函数的函数值同号。结合函数图

像，将问题转化为两个函数图像的另一个交点在x轴上的问题进行求解。

解法2：设/(x)=[(a—l)x—1](》2一。》一1)(x〉0),由/(1)20且/(2)20,

31,1

检验，当a=Q,x＞0时，/(x)=](x—2)~(x+5)20成立。

赏析1：试题内涵丰富，考查函数性质和不等式的综合运用，突出了思维的灵活性与广

阔性，体现了特殊性存在于一般性之中的哲学思想，体现了“多考点想，少考点算”的命题理

念。

赏析2：解填空题不妨试试特殊值法。

赏析3：恒成立问题中求参数的值，取特殊值也是一个好方法.

解法3：[(a-l)x-l](x2-ax-\)~(ax-x-1)(-ax+x2-1)

20在》＞0时均成立,

x2-\

《0在工〉0时均成立.

x~~1x+1x~-x-2(x-2)(x+1)

/—]r4-1X2-1x4-1

当0<xW2时，因为^~所以^~■，又因为当0<xW2时

丫2_]1_i_11

不等式恒成立，考虑到/(x)=^-^=x—士在(0,2]上单调递增，g(x)=」Y=l+上在

XXXX

(0,2]上单调递减，又/⑴皿=/⑵=牙g(x)min=g(2)=-,所以/WaW,,得到

3

2,

丫2—]X4-1X4-12_1

当xN2时，因为^—所以＞r~当xN2时恒成立，考虑

XXXX

_11I11

到/(x)=-----=x——在［2,+8)上单调递增，g(x)=--r---=1+—在【2,+<>。)上单调递

XXXX

减，又/(x)min=/'⑵=?所以羡W4W：，得到

3

综上可知：a=±符合题意。

2

赏析1：分离参数法是求参数问题的一般性方法(不等式问题转化为恒成立问题求解).

解法4：结合三次函数的图象，由韦达定理得出/一如-1=0对应的

两根为一正一负。当a=\时代入显然不成立，因此对应方程的第三根是

x=」一，要使对x>0均有关于x的一元三次函数值非负，又/(0)=1>0,

47-1

对应函数只能是如右图的图象，即要求且对应方程的第三根与前

面一元二次方程的正根是重根。将第三根x=」一代入二次方程1=0,解得满足

a—1

条件的a=2(舍去〃=0)。

2

赏析1：几何对代数的辅助作用，代数对几何的确定作用。涉及函数方程思想，数形结

合思想，分类讨论思想。

赏析2：函数与方程、化归与转化的数学思想，体现了“多考点想，少考点算”的命

题理念。

【试题1)2015年湖南高考文科第14题

【题目】若函数/(%)=,一2卜力有两个零点，则实数b的取值范围是.

【基本解法11由函数/(%)=|2'-2卜6有两个零点，可得方程,-2|=b有两个解，则

函数y=|2V-2|与函数y=b的图像有两个交点，结合图像可得6的取值范围是(0,2).

［基本解法2】由函数/(x)=12'-2卜6有两个零点，

可知方程|2、一2卜6=0有两个相异的根.

原方程可转化为|(2'—2>-〃=0|(6>0),

令1=2%/>0),则方程可转化为「一4f+4—〃=0。>0,b>0).

b>0,

要使该方程有两个相异的根，则6应满足如下条件，0-4x0+4-62>0,

解得0<b<2.

因此6的取值范围是(0,2).

【试题1】2015年湖北文科第17题：。为实数，函数/(%)=卜2一仪|在区间［0,1］上的最

大值为g(a)，当。=时g(a)的值最小。

解法1：当。=0时，/(x)=x2在［0,1］上的最大值为g(a)=l；

当a<0时,/(功=》2一ox在［0J上单调递增,故g5)=/(l)=l一=此时g(a)>l；

当。>0时，/(x)=,—闻在(_8,0)上递减，(0卷)上递增，年。)上递减，(/一)上

递增。

(1)、若iw］，即时，g(a)=y⑴=|1-4=。-1,此时g(a)21；

(2)、若即14。<2时，g(a)=/(^)=y.此时;Wg(a)<l；

⑶、若0ygg⑷…“(|)J⑴卜m“小一”

当］21一。，即一2+2&《。<1时，g(q)=?,此时3—2&Wg(a)<；；

当幺<l-a,即0<。<一2+2>/^时，g(a)=l-a,此时3-2近<g(o)<1；

4

综上，g⑷>3—2g,当且仅当a=—2+2行时取等号。即当a=—2+2加时，g⑷的

值最小。

解法2、因为函数y=/(x)的图像与x轴交点为(0,0),(a,0),函数〃(x)=x2-分的图像

的对称轴为x=|,所以当aWO或。22时，/(x)在［0,1］上是增函数，

g(a)=g(l)=|l-a|«

,2

当0<Q<2时，g(a)=max=max

1-a,。<2V2—2

2

综上，g(a)=<—,2V2-2<a<2

4

a-\,a>2

当a<2V2—2时；g(。)—g(2\f^-2)=3—2V2；

当28-2<a<2时，g(a)>g(20-2)=3-20；

当a22时，g(a)>g(2)=1=3—2亚»

所以，当。=2近一211寸，g(a)有最小值3—2血。

解法3：依题意g(a)=max[/⑴,/('|■)}=max<|1-a],(>。

2

在同一坐标系下画出函数g(a)=|l-4和g(a)=》(图2)。

由土=1—。，得。=2血一2。故当。=2行一2时，即图像中的Z点处，g(a)取最小值

4

3-25/2o

[0,0<x<1

【试题1】(2015江苏13)已知函数/(x)=|lnx|,g(x)=(？，则方程

|x-4|-2,x>l

I/(x)+g(x)|=1实根的个数为▲.

解法一："(x)+g(x)|=l=g(x)=±l—|lnx],所以方程方程|/'(幻+8(切=1实根的个

数即为曲线y=g(x)和曲线y=±l-|lnx|的公共点个数之和.

曲线y=g(x)和曲线y=l-|lnx|显然有2个公共点,

g(D=0>-l-|lnl|।,

又因为《(2)2<।|j2|,所以曲线V=g(x)和曲线y=-l—|lnx|也有2个公共点,

如图2所示

所以方程|/(x)+g(x)|=1实根的个数为4个.

解法2：(1)当0<xWl时，/(x)=|lnx|=—lnx,g(x)=O,原方程即为

—lnx+l=O=x=‘，所以当0<xWl时，原方程有一个实根;

e

(2)当l<x<2时，/(x)=lnx,g(x)=2-x2,原方程即为|卜工+2-工2卜1

.,1

令F(x)=Inx+2-x2(1<x<2),F(x)=——2x<0,

x

所以/(x)在xe(1,2]上单调递减，得f(x)e[ln2-2,1),得弧1+2-q=1只有一个实

(3)当x>2时，/(x)=lnx,g(x)=x2—6,

原方程即为pnx+x?一61=1nInx+x?=lorlnx+x2=5.

令G(x)=Inx+x?在xe(2,+8)上单调递增,所以G(x)e(ln2+4,+<»),因此

lnx+x2=lorlnx+x2=5各有一个实根.

综上,方程|/(》)+8(切=1实根的个数为4.

00<x<l

【试题1】已知函数/(x)=|lnx|,g(x)=♦

x2-4-2x>1

则方程(x)+g⑹=1实根的个数为

【解析】首先去掉绝对值符号，有

0o<x<\

-Inx0<x<l

=<g(x)=<2-J1cx<2

/WInxx>1

,x2-x>2

xl0<x<l

|/1(x)+g(x)|=<|lnx+2—x2|1<x<2

|lnx+x2-6|x>2

故对|./'(x)+g(x)卜1，应该分3种情况讨论.

(1)CKxWl时，有：lnx|=l=>x=—或x=(与xWl不符,舍去)；

e

(2)l〈xW2时，有：|lnx+2-x2|=l^lnx储—Inx=-3

Inx=x2—1时，显然x=l适合；

lnx=x2—3时，・.,x€Inxw[0,In2],

x2—3G[—1,1],TFn[0,In2]cz[—1,1]

如解图,两曲线y=、2-3与歹二111%在

区间［1,2］内有1个交点；

(3)x>2时，|lnx+f-6|=l

=>Inx=7-X?或Inx=5-%2

Vx>2,故前者有一解而后者无解.

综上,原方程实根的个数为4.

【试题1】2015年陕西理15设曲线y=e"在点(0,1)处的切线与曲线y=’(x>0)上点尸处

x

的切线垂直，则。的坐标为.

解法1：因为_y=e1所以y=e*,所以曲线歹=e*在点(0,1)处的切线的斜率

勺=yLo=e0=1.设尸的坐标为(x°jo)(%>0),则打=-!-,因为y=,，所以

x0X

y，=—二，故曲线y=L在点P处的切线的斜率左2=引门=一二.因此匕・左2=-1，所

10

XXx0

以一二=一1,即x：=l,解得/=±1.因为/>0,所以x0=l,得％=1，故P点的

X。

坐标是(1,1).

解法2：易知曲线歹=/在点(0,1)处的切线方程为y=x+l,将反比例函数转换成等轴双

曲线，即将y=x当作x轴(原点不变，第一象限部分为正半轴)，则曲线y='(x>0)转

X

换为/一；？=2(x>0),切线y=x+l转换为歹=?,与其垂直的直线的斜率不存在，

且要与双曲线-=2(x>0)相切，符合条件的切线应为x=正.

所以尸在新坐标系下的坐标为(、历,0),还原到原坐标系中的坐标为(1,1).

[+X

【试题1】2015年北京理科第18题己知函数/(x)=ln-.

1-x

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(H)求证：当xe(0,l)时，/*)>21+牙)

(III)设实数左使得/(》)>左(》+上)对xw(0,l)恒成立，求左的最大值.

1V*2

解：(I)/(x)=ln-—,xe(-1,1),/(%)=--r，r(0)=2,/(0)=0,

l-xl-x

所以切线方程为y=2x.

1+X

(II)解法1：当x£(0,1)时，f(x)=In---=ln(l+x)—ln(l-x)

l-x

X3.X2X3x2x\

而2a+§)=(zx__^+"7x_zf__2---3~

x2x3

记加(x)=ln(l4-x)，n(x)=x-----+—

23

x

要证”X)>2(X+T),只需证明掰⑶一皿一X)>〃(X)-“(T)

2

xd

记A/(x)=m(x)-〃(x)=ln(l+x)-(x-3+§),A/(0)-0

222

]xxx

因为当X€(—1,1)时，M\x)=--—(l-x+—)=————>0

1+x21+x2

所以M(x)在(-1,1)上单调递增.

当xw(—1,0)时，Af(x)<A/(0)=0；当xw(0,1)时，M(x)>M(0)=0.

当xw(0,1)时，m(x)>M(X),m(—x)<n(-x),

x

即当xe(0,1)时，/(》)>2*+5)恒成立.

(H)解法2:⑵原命题等价于小(。』)人)-2。+»。

[+t/丫'

设函数尸(x)=ln——2(x+J)=ln(l+x)-ln(l-x)—2(x+=)

1-x33

2r4

F'(x)=——7,when,xe(0,1),F\x)>0

\—x~

故厂(x)在xe(0,1)单调递增的，F(x)>F(0)=0

因此，当xe(0,1)时，/(x)>2(x+y)

x3

(III)解法1由(II)知当xe(0,1)时，/(x)>2(x+y)

x3x3

故当AW2时，/(x)>2(x+\)2/x+女)成立；

X，1+X

当左>2时，另g(x)=/(x)—仪X+上)二111"!~^一女(%+上)，g(0)=0

31-x3

22-左(1一/)

2

因为g'(x)=^—T-K\+X)=

l-x1-x2

l-|e(O,l).

另g'(x)=0,解得x=力

当xe(O,j-/)时，g(x)单调递减，当时，g(x)单调递增.

故当—时,g(x)<g(O)=O,与g(x)>0对xw(O,l)恒成立矛盾.

综上所述，可知左42,故左的最大值为2.

Y

解法2因为/(x)>2(%+可)对X£(0,1)恒成立

11+X

In----

=左<匕对Xe(0,1)恒成立

X

X---

3

.ln(l4-x)—ln(l—x),1、卜一井一

=k<-----——?-----对x€(/0A,1)怛成乂，

x

X4---

3

令〃(x)Jn(l+£.)Tn(l二),xe(0,l)

X

XH---

3

则左

r3

2(x4---)—(1—x4)[ln(l4-x)—ln(l—x)]

因为h\x)=-------------------------------------

(》+1)“1-彳了

另例x)=2(x+y)-(l-x4)[ln(l+x)-ln(l-x)],则(p(x｝与h\x)同号

又(p\x)=4x3[ln(l+x)-ln(l-x)]>0,所以l(x)>0

函数力(x)在(0,1)上单调递增.

1_____1_

所以M(x)]->/?(O)=limln(l+qT：(D=iim]+x1(洛必达法则)

2

L"mmXTO/10J+X

XH---

3

所以上的最大值为2.

x2x3

解法3记m(x)=ln(l+x),n(x)=x---+—

26

x3

当xw(0,1)时，/(%)>2。+上)恒成立

k

Q当(0,1)时，/n(x)>—；7(x).

kkx2r3

记N(x)=m(x)--n(x)=ln(l+x)一一(x——+—),N(0)=0,则

2226

1kr2

N，(x)=-------(1—XH---)

1+x22

11kX2

当％W0时，X6(0,1)=>----G(—,1),—(1—Xd---)>0=>N\x)>0

1+x222

所以N(x)>N(0)=0满足题意.

(l--)+-x2(l-x)

当0〈人W2时，X€(O,1)=M(x)=——2_4-------->0

1+x

所以N(x)>N(O)=O满足题意.

当人>2时，因为N'(0)=1-1<0,所以存在(OJ)c(0,1)使得N(x)在(0,。上单调递减,

所以xe(0,。时,N(x)<N(0)=0不满足题意.

综上，左€(­,2],即左的最大值为2.

【试题1】2015年湖北文科第21题设函数“X)、g(x)的定义域均为R,且〃x)是奇

函数，g(x)是偶函数，/(x)+g(x)=e"，其中e为自然对数的底数。

(I)求〃x),g(x)的解析式,并证明：当x>