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数学文化第一章20211.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE、四边形CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF

AB.若这个刍甍的体积为,求异面直线AB与CF所成角的余弦值.解

(方法1)取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分,设E到平面ABCD的距离为h,(方法2)取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分,设E到平面ABCD的距离为h,如图,以D为坐标原点,以DC为x轴,DA为y轴,垂直于平面ABCD且过点D的直线为z轴,建立空间直角坐标系.由已知得2.中国古代数学名著《九章算术·商攻》中阐述:“斜解立方,得两壍堵.斜解壍堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一.”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,则PA与BC所成的角等于

,PB与平面PDC所成角的正弦值等于

.

解析

(方法1)如图,∵底面ABCD为矩形,∴AD∥BC,则∠PAD为PA与BC所成的角.∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.在Rt△PDA中,∵PD=AD,∴∠PAD=45°,即PA与BC所成的角等于45°.∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PDC,则平面PDC⊥平面ABCD.又平面ABCD∩平面PDC=DC,AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC.又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC.∴∠BPC是PB与平面PDC所成角.∵PD=3,DC=4,∴PC=5.(方法2)分别以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.由题意可知,P(0,0,3),A(3,0,0),B(3,4,0),C(0,4,0),3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学专著,在《九章算术》卷第一《方田》中,将直角梯形称之为“邪田”,当直角梯形底边横放时,以“头”称其上下底,以“正从”称其高,如图,在“邪田”ABCD中,E,F分别在“正从”和“下头”上,沿EF,FD,DE将图形翻折起来,使A,B,C重合为一点O.(1)求证:OE⊥DF;(2)若在“邪田”ABCD中,“正从”AB=4,“上头”AD=5,试求平面ODF与平面EFD的夹角的余弦值.(1)证明

依题意E,F分别为AB,BC的中点,且由AD⊥AE,BF⊥BE,得OD⊥OE,OE⊥OF,∵OF∩OD=O,∴OE⊥平面ODF.∵DF⊂平面ODF,∴OE⊥DF.(2)解

如图①,过点D作DG⊥BC于点G,则CD=AD=5,DG=AB=4,∴CG=3,∴BC=8,BF=CF=4,∴FG=1,∴DF=.由(1)知OE⊥平面ODF,如图②,以O

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