湖北省2024届高三普通高中5月联合质量测评数学试卷

湖北省2024届高三普通高中5月联合质量测评数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（）A．90 B．89 C．88 D．88.52．在复平面内，若zi+1=2−iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+aA．3 B．2 C．1 D．-14．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A．y=xexC．y=x(ex−5．若正数a，b满足：a3+bA．13 B．14 C．26．在△ABC中，已知AB=x，BC=22，C=π4，若存在两个这样的三角形ABCA．[22,+∞) B．(0,227．在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角α(0<α<π2)交单位圆于A点、顺时针旋转角β(π4<β<π2)交单位圆于A．−22 B．−17226 8．已知函数f(x)=lnx，g(x)为f(x)的反函数，若f(x)、g(x)的图像与直线y=−x交点的横坐标分别为x1，xA．x2>lnxC．x1∈(0,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知集合A={1,2}，B={0,1,2A．1∈C，2∈C B．集合C可以为{1C．集合C的个数为7 D．集合C的个数为810．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)A．a+c=2bB．bC．E的离心率为5D．若E上的点P满足∠F211．在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别为面ABCD，面AA1D1D的中心.已知与点M关于平面ABA．AA1>ABC．55<cosθ<3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，设T为f(x)的最小正周期，若f(T413．(x−2x)6展开式中14．已知正方形PQRS的边长为22，两个点A，B（两点不重合）都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线SQ的异侧），A，B关于直线PR对称，若PA⋅RB=0，则四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数f(x)=lnx，g(x)=ax−1（1）过原点作f(x)图象的切线l，求直线l的方程；（2）若∃x∈(0,+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求16．某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，记X为一个会员所获得的红包总金额，求X的分布列和数学期望.17．如图，AB，CD是圆锥底面圆O的两条互相垂直的直径，过CD的平面与PB交于点E，若E为PB的中点，OA=2，圆锥的体积为8π3（1）求证：CD⊥OE；（2）若圆O上的点F满足AF=125，求平面CED与平面18．已知F为抛物线Γ：y2=mx(m>0)的焦点，A，B，C是Γ上三个不同的点，直线AB，BC，AC分别与x轴交于F，D，E，其中（1）求Γ的标准方程；（2）△ABC的重心G位于x轴上，且D，G，E的横坐标分别为d，g，e，3219．数列{an}满足a（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；（2）设cn=dn+en，其中{dn}，（3）若正项下凸数列的前n项和为Sn，且Sn≤1

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】A,C10．【答案】B,C,D11．【答案】B,C12．【答案】π13．【答案】3014．【答案】(215．【答案】（1）解：f设切点坐标为(t,lnt)，则切线方程为因为切线经过原点O，所以−lnt=1t(−t)所以切线的斜率为1e，所以l的方程为x−ey=0（2）解：∃x∈(0,+∞)，f(x)≤g(x)，即则得a≥x(lnx+1)在(0,故有x∈(0,+∞)时，令ℎ(x)=x(lnx+1)，x>0，ℎ'令ℎ'(x)>0得x∈(1e故ℎ(x)在(0,1e所以ℎ(x)则a≥−1e2，故a16．【答案】（1）解：设事件A=“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，因为每次摸出的球不放回袋中，所以P(A)=1−C（2）解：由已知得，X=80,因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为25，25，所以P(X=80)=(25P(X=100)=(P(X=110)=A22所以得分布列为X8090100110120P48841所以E(X)=80×417．【答案】（1）证明：因为AB，CD是圆锥底面圆O的两条互相垂直的直径，所以CD⊥AB，PO⊥底面圆O，而CD⊂底面圆O，则CD⊥PO，PO∩AB=O，PO，AB⊂平面PAB，所以CD⊥平面PAB，因为OE⊂平面PAB，所以CD⊥OE.（2）解：因为OA=2，圆锥的体积为8π3，所以13π×因为OP=OB=2，E为PB的中点，所以PB⊥OE，因为CD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以CD⊥PB，因为CD∩OE=O，CD,OE⊂平面CED，所以PB⊥平面即平面CED的法向量为PB，显然OD⊥OB，又PO⊥底面圆O，OD,OB⊂底面圆所以PO⊥OD,所以OD，OB，OP两两垂直，以O为原点，分别以直线OD，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz如图所示：D(2,0,0)，E(0,1,点F在圆O上，则AF⊥BF，如图所示：在Rt△ABF中，cos∠BAF=AFAB过F作y轴的垂线，垂足为H，有HA=AFcos∠BAF=3625，HF=AFsin所以DF=(−225,−设平面DEF的法向量为n=(x,y令y=−1，则x=7,z=15，所以设平面CED与平面DEF的夹角为θ，则cosθ=|所以平面CED与平面DEF夹角的余弦值为82218．【答案】（1）解：已知如图所示：

因为直线AB通过抛物线Γ的焦点F，所以线段AB为抛物线Γ的焦点弦，如图，设A(x1,y1)，由抛物线的定义可得|AB|=x由平面几何的性质得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为m，所以m=4，所以抛物线Γ的标准方程为y2（2）解：32g−d−e为定值1，理由如下，已知如图所示：

依题知直线AB的倾斜角不为0，则设直线AB的方程为x=ky+1设A(x1,y1由x=ky+1y2=4x，得y因为△ABC的重心G位于x轴上，所以y1所以y3=−4k，x3AC=(x3因为A，E，C三点共线，所以AC//所以y3显然y1≠y3，解得，又g==(则3=4k2+1+19．【答案】（1）解：设正项等比数列{bn}则bn+1−b所以任意一个正项等比数列{b（2）解：显然cnc=(=(=−[d所以正项数列{c下面证明：正项数列{c若{cn}所以dn+1因为数列{dn}所以dn+12=所以2d所以2d因为dnen所以(q2−q1所以数列{c（3）解：假设存在一个常数k∈N∗，使得a1因为an+1≤a将an+2≥2a