高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）不等关系与不等式

也-H-

第一"P不等关系与不等式

■他知溟工打牢

1强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.实数大小顺序与运算性质之间的关系

a-b>Ooa>。t'a-b-04〃二b\a-b<00/<0.

2,不等式的基本性质

性质性质内容注意

对称性a>b<=^b^a=

传递性a>b,b>c=>a>c=>

可加性a>6=c>b+c今

a>b\

ac>bc

c>Oj。的符

可乘性

号

a>Z?l

ac^bc

c<Oj

a'>b\

同向可加性r=>a+c>b+d=>

c>d\

a>b>0]

同向同正可乘性ac>bd=>

c>小Oj

可乘方性a>6>0=^2£5eN,〃22)

同正

可开方性3>/?>o=>g^>g^(7?EN,刀22)

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）下列命题正确的是（）

A.若ac>bc=>a>bB.若，才>廿0a>b

C.若:>(n,a<bD.若寸^<a<b

答案：D

2.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的值（）

A.大于0B.等于0

C.小于0D,不确定

解析：选A由a〈0,ay>0知正0,又x+y〉O,所以x〉0.故x-y〉0.

3.已知a,b,c,d均为实数，且c>d,贝卜'a〉6”是“a-c>6-d”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B若a-d>b-d,c>d,

则a>6.但c>d,Gb=Ia-c>b-d.

如a=2,6=1,c=-1,d=-3时，a-c《b-d.

1（填“〉”或“〈”）,

解析：加工=镜+1<4+1.

答案：〈

5.已知a,b、cGR,有以下命题：

①若a>b,贝IJacybcf；②若acybc,贝IJa>b；

③若a>b,则a-2c>b•2：

其中正确的是（请把正确命题的序号都填上）.

解析：①若c=0则命题不成立.②正确.③中由2。>0知成立.

答案：②③

1.使用不等式性质时应注意的问题：

在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”

才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意.

2.作差法是比较两数（式）大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法.要注意强化化归意识，同

时注意函数性质在比较大小中的作用.

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比较两个数（式）的大小

典题导入

CC.

［例1］已知等比数列｛a｝中，a>0,q>0,前〃项和为S,试比较一与一的大小.

［自主解答］当<7=1时，7=-3,3=5,所以

续05Q3Q5

当g>0且oWl时，

152-1315

(SS5Hl1一。ai1-qQ1-0-1-(7-Q-iW

--2一4141=/<°，所以

&全1-<7aiq1-qq1-Q

综上可知

氏@5

»>一题多变

若本例中若>0然改为若<0"，试比较它们的大小.

WW-Q~1

解：由例题解法知当月1时，一--=--4—.

03«35Q

当一1<1<0时，一一一<0,即一<一；

83石5石3含

当g=_l时，___=0,即_=一；

3.33,5金刘5

当g<T时,--—>0,即®>

&氏&氏

由题悟法

比较大小的常用方法

(1)作差法：

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化

等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

⑵作商法:

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.

(3)特值法：

若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法

判断.

［注意］用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论.

以题试法

1.（•吉林联考）已知实数a、b、c满足6+c=6-4〃+3才，c-Z?=4-4a+a,则a、b、。的大小关

系是（）

A.Cb>aB.a>c?b

C.c>b>aD.a>c>b

解析：选Ac—6=4-4z+才=(2—a)?》。，

c?b.将题中两式作差得2b=2+2a,即b=l+a.

,/1+a2-a=--j2+^>0,1+a.

「.6=1+/>ac》6>a

不等式的性质

典题导入

［例2］(1)(•大纲全国卷)下面四个条件中，使於6成立的充分而不必要的条件是()

A.a>b+1B,a)b-1

C.ayt}D.

ab

(2)(•包头模拟)若a>0>b>-a,c<0,则下歹tl结论：①ad>be；O^+-<0；③3一c>b-d\

④〃•(d-6)>b{d-c)中成立的个数是()

A.1B.2

C.3D,4

［自主解答］⑴由A+l得a>6+l>8,即。>6；且由8不能得出6+1.因此，使6成

立的充分不必要条件是己>6+L

(2),/a>0>ZJ,C<t/<0,/.ad<0,bc>0,

ad<be,故①错误.

*/a>0>Z?>-a,：.a>-b>0,

c<d<0,-c>-d>0,

a(-c)>(一6)(一初,

abac+bd

ac+bd<0,=---:-<0,

dccd

故②正确.

c<d、:.一c>一d、

♦:a>b,/.a+(-c)>6+(一#,

a—c>b-d,故③正确.

♦［a>b,d-c>0,:•a(d-d)>b(d-ci)、

故④正确，故选C.

［答案］(DA(2)C

由题悟法

1.判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命

题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指

数函数的性质.

2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到

一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题.

以题试法

2.若a、b、。为实数，则下列命题正确的是()

A.若a>6,c>d,则ac>方d

B.若a<方<0,贝lj才>乃6>Z/

11

P

则J<-

C.右a<6<0,a8

一,ba

D.右a<Z?<0,贝卜>~

au

解析：选BA中，只有a>6>0,c>d>0时，才成立；B中，由a<6<0,得a?>a6>//成立；C,

D通过取a=-2,b=-1验证均不正确.

3不等式性质的应用

典题导入

［例3］已知函数f(x)=aV+6x,且lWf(-l)W2,2W/•⑴W4.求f(-2)的取值范围.

［自主解答］/,(-1)=a-b,Al)=a+b.

A-2)=4a-2b.

设m(a+Z?)+-6)=4a-2b.

n-4,m=1,

则解得，

m-n--2,77=3.

—2)=(a+6)+3(a—6)=/'(1)+3f(—I).

•.TWF(-l)W2,2Wf(l)W4,

.•.5W『(-2)WlO.即『(-2)的取值范围为［5,10］.

由题悟法

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二

是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知

范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

以题试法

I―lWa+£W1,

3.若£满足,一°Q…试求。+3£的取值范围.

a+2£W3,

解：设°+3£=x(a+£)+y(a+2£)=(x+y)a+(x+2y)J3.

x+y=1,x=-1,

则解得

x+2y=3,y=2.

・・,-1W-(a+£)Wl,2W2(a+2£)W6,

两式相加，得lWa+3£W7.

.,・a+3£的取值范围为[1,7].

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A级全员必做题

1.已知&,a2G(0,1),记〃=&勿，N=a\+az-\,则〃与”的大小关系是()

卜.帐NB.M>N

C.M=ND.不确定

解析.选B由题意得M-N—aiS2—a：—az+1=(si-1),(a?—1)〉0,故M>N.

2.若必<0,〃>0且0+,〃<0,则下列不等式中成立的是()

A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<n

C.m<-n<-m<nD.m<-n<n<-m

解析：选D法一：(取特殊值法)令〃=-3,〃=2分别代入各选项检验即可.

法二：m+n<Q=>m<-gn<-m,又由于0<0<〃，故-n<n<-/成立.

3,“1WXW4”是“lWfW16"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析选A由1WXW4可得1W/W16,但由1W1W16可得1WXW4或-4W后-1,所以“1WK4”

是“IWfWIG”的充分不必要条件.

111ab

4.已知0<a<z，且〃+7V=+YTb,贝的大小关系是（）

k.M>NB.M<N

C.M=ND.不能确定

解析：选A•,-0<a<|

1+a>0,1+Z>>0,1-aZ）>0,

1—a1-Z?2—2ab

M—N—+-：7=:1;>0.

1+a1+61+a1+Z?

5.若R〈0,则下列结论不正确的是（）

A./<Z?2.B.ab<B

C.a+6<0D.|a|+|Z?|>|a+Z?|

解析：选D•1•^<0,0>a>6.

a<Z?2,ab<€、a+/KO,\a\+\b\=\a+b\.

6.设a,6是非零实数，若水瓦则下列不等式成立的是（）

A.才B.at）^ab

解析：选C当水0时，才不一定成立，故A错.

因为a匕一Mb=ab（b-协、b-a>0,,M符号不确定，

所以己方与才6的大小不能确定，故B错.

11a-b11—

因为^一其=肃<°，所以/刘，故C正确―

D项中1与=的大小不能确定.

aU

7.若1<。<3,-4<£<2,贝|的取值范围是.

解析：-4<£<2,；.0W|£|<4.

-4<-|]W0.「■-3<。-|£|<3.

答案：（-3,3）

fa,a<b,

8.（•深圳模拟）定义a*6=《，、，已知a=3：6=0.3、c=log30.3,贝lj（a*6）*c

[b,Bb.

.（结果用包b、c表示）

解析：.・Tog30.3<0<0.33<1<3°：:.c<b<a、

(a*6)*c=b^c-c.

答案：°

9.已知a+6>0,则看+授与X的大小关系是

ab(11、a—bb—a

解析：螃+7弋+刃=丁+下

4r

=(j)-72~-2

、ba,

a+ba-b2

二帮1

a+Z?>0,(3一Z?)?》。,

a+ba-b

20.

ab\1

:下+言7+%

内4ab\1

答案：了+了气+%

ee

10.若a>6>0,c<d<0,e<0.求证a-c2>b-d

证明：./c<0,-c>-d>0.

又,：a>b>G,.,.a-c>b-d>0.

(a-c)2>(A-d)z>0.

11

a-c2<b7-d3~~2.

xy

11.已知6>a>0,x>p>0,求证：-

xiQ,y\u

xvxy+b-yx+a

证明：———一二------£-7——

x+ay+bx+ay+b

bx-ay

x+ay+b'

'：b>0,x>y>0,

...bx>ay,x+a>0,y+Z?>0,

bx-ay

------------->0,

x+ay+b

Xy

x+a,y+b

Q

12.已知函数f{x}=ax+bx+。满足/(l)=0,且3＞c,求二的取值范围.

解：,.•广(1)=0,/.a+b+0,

b--(a+c).又a>b>c,

a>-(a+c)>c,且乃>0,c<0,

a+cccc

.」＞一丁二即1＞一1一二＞力

ac1

丁•《解得-2<二<--

caz

->-2,

la

0级重点选做题

1.已知a、6为实数，贝IJ“a>b>l”是“々〈占”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A由

,,11

当"°」=2时，R(口，

a>b>\,故选A.

5—1D~1

2.(-洛阳模拟)若-l<a<6<l,-2<c<3则(a-6)•c的取值范围是

解析：-1<a<Z><1,

—2,<a~b<0,2>-(a-6)>0.

当一2<c<0时，2>-c>0,

-'-4>(-c)[-(a-6)]>0,

即4>c•(a-6)>0；

当c=0时，(a-6)•c=0；

当0<c<3时0<c-[-(a-Z>)]<6,

-6<(a-Z?),c<0.

综上得当-2<c<3时，-6<(a-6)-c<4.

答案：(-6,4)

3.某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每

年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增8人.

（1）若a=10,在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？

（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？

解：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元.

2000+60x

(aEN*.lWx(10).

贝(Iy=800+ax

2000+60x

假设会超过3万元，则=彳二>3,

oUU十1UJT

解得10.

所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元.

⑵设IWxi<X2WIO,

则/（X2）-F（X1）

2000+60^22000+60的

800+ax2800+ax\

60X800-2000aX2-x\

>0,

800+ax2800+ax\

所以60X800-2000a>0,得a<24.

所以，为使人均,年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.

|.师备选题|

1.已知0<a<6,且a+6=l,下列不等式成立的是（）

a-

A.log2a>0B.2S1

C.2瑟>2D.Iog2（a6）<-2

1

a-<o<a6<-o<2

解析：选D由已知，0<a<l,0<6<l,o,4g2

2.若a>6>0,则下列不等式中一定成立的是（）

11A6+

A+->+---

6aaa+

112a+ba

C.a-~>b--D.->7

baa+2bb

解析：选A取a=2,6=1,排除B与D；另外，函数广（x）=x-%（0,+8）上的增函数，但函数

g（x）=x在（0,1］上递减，在［