黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025届高三数学上学期开学考试8月试题理

PAGEPAGE5黑龙江省哈尔滨师范高校青冈试验中学校2025届高三数学上学期开学考试（8月）试题理一.选择题(本大题共12道小题，每道小题5分，共60分)1.设集合则（）2.已知命题，那么是（）3.函数的定义域为（）4.下列函数中，既是偶函数又是在上单调递增的函数是（）5.在中，，则（）A．B．C．D．6.已知QUOTE与QUOTE均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A.

B.

C.

D.7.的内角，，的对边分别为，，．若,（）A． B． C． D．8.已知函数的导函数，且满意，则（）9.已知，则（）10.函数的图像的一条对称轴方程是（）11.将函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，若在内只有两个最值（即最大值和最小值），则的最大正整数值为（）12.若函数恰有两个零点且，则（）二.填空题（本大题共4道小题，每题5分，共20分）13.已知，则曲线在点处的切线方程是______________.14.已知函数，若，则________．15.某船起先望见一座灯塔在南偏东30°方向,该船沿南偏东60°方向航行45km后,望见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是km.

16.若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中全部具有性质的函数的序号为.① ② ③ ④三.解答题：本题共6道小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(10分)已知向量.（1）求（2）若，求实数的值18.（12分）的内角的对边分别为,已知.（1）求和的值；

（2）求的值．19.(12分)已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)．(1)将曲线C的参数方程化为一般方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．20.的内角的对边分别为,已知．(1)求(2)若,面积为2,求21..已知.

求的最小正周期及单调递减区间；

求函数在区间上的最大值和最小值．

22．(12分).（12分）已知函数（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数的单调区间；（2）当时，函数有三个不同的零点求证：．参考答案一.选择题123456789101112CDCDACCBDBBD二.填空题13.14.15.16.①④.16.解析=1\*GB3①在上单调递增，故具有性质；=2\*GB3②在上单调递减，故不具有性质；=3\*GB3③，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；=4\*GB3④.令，则，所以在上单调递增，故具有性质．综上所述，具有性质的函数的序号为①④.三.解答题：17.解：（1）；（2）18.解：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，

故由sinB=，可得cosB=．

由已知及余弦定理，有=13，

∴b=．

由正弦定理，得sinA=．

∴b=，sinA=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，

cos2A=1﹣2sin2A=﹣．

故sin（2A+）==．19.解：(1)由曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))得x2＋y2＝16，所以曲线C的一般方程为x2＋y2＝16.(2)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))代入x2＋y2＝16，整理，得t2＋3eq\r(3)t－9＝0.设A，B对应的参数为t1，t2，则t1＋t2＝－3eq\r(3)，t1t2＝－9.|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝3eq\r(7).20.解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2，

∴sinB=4（1﹣cosB），

∵sin2B+cos2B=1，

∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，

∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，

∴cosB=；

（Ⅱ）由（1）可知sinB=，

∵S△ABC=ac•sinB=2，

∴ac=，

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××

=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，

∴b=2．

21.解：(1)，，

由,

∴f（x）的最小正周期,

由，得：,

∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z；

（2）在区间​上时，可得：

当,时，函数f（x）取得最小值为

当时，函数f（x）取得最大值为

故得函数f（x）在区间上的最大值为3，最小值为0．22.解：【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数零点，由导函数零点对定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号得到原函数的单调区间；（2）由f（0）＝0，可得x＝0是函数的一个零点，不妨设x3＝0，把问题转化为证，即证．由f（x）＝0，得ex﹣a（x+2）＝0，结合x1，x2是方程ex﹣a（x+2）＝0的两个实根，得到，代入，只需证，不妨设x1＞x2．转化为证．设，则等价于e2t﹣2tet﹣1＞0（t＞0）．设g（t）＝e2t﹣2tet﹣1（t＞0），利用导数证明g（t）＞0即可．【解答】（1）解：f′（x）＝ex+xex﹣（2x+2）＝（x+1）（ex﹣2），令f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝ln2．当x＜﹣1或x＞ln2时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜ln2时，f′（x）＜0．∴f（x）增区间为（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）；减区间为（﹣1，ln2）；（2）证明：∵f（0）＝0，∴x＝0是函数的一个零点，不妨设x3＝0，则要证，只需证．由f（x）＝0，得ex﹣a（x+2）＝0，∵x1，x2是方程ex﹣a（x+2）＝0的两个实根，∴，①，②，①﹣②得：，代入，只需证，不妨设x1＞x2．∵x1﹣x2＞0，∴只需证．∵，∴只需证．设，则等价于e2t﹣2tet﹣1＞0（t＞0）．设g（t）＝e2