2024秋新教材高中数学阶段验收评价三函数的概念与性质新人教A版必修第一册

PAGEPAGE6阶段验收评价（三）函数的概念与性质(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．函数f(x)＝eq\f(\r(x－1),x－2)的定义域为()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)解析：选D依据题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥1且x≠2.2．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1，,2，1＜x＜2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0，＋∞)C．[0,3] D．[0,2]∪{3}解析：选D当x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝eq\f(1,x) D．y＝－x2＋4解析：选AB中函数非奇非偶，C中函数是奇函数，均不符合题意，A、D中函数均为偶函数，A中函数在(0，＋∞)上递增，D中函数在(0，＋∞)上递减，因此A中函数符合题意，故选A.4．已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是()A．f(－2)>f(1) B．f(－2)<f(1)C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1)解析：选B由幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)＝f(2)＝eq\f(1,4)，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故选B.5．已知函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(2，＋∞) B．[2,6)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2,6) D．(0,6)解析：选C函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得0＜a≤eq\f(1,2)或2≤a＜6，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2,6)．6.已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是()A．(－2，－1)∪(1,2)B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)解析：选D当x>0时，f(x)<0由图象关于原点对称，∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；当x<0时，f(x)>0，∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．∴选D.7．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有()A．最小值－8 B．最大值－8C．最小值－6 D．最小值－4解析：选D∵f(x)和g(x)都是奇函数，∴f(x)＋g(x)也是奇函数．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.8．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，g(3)的大小关系为()A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0)<g(3) B．g(0)<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(3)C．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(3)<g(0) D．g(3)<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0)解析：选A由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,－a＝－a2，))解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2，所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(0)＝g(2)．又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(2)<g(3)，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0)<g(3)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选ABC函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值－4，x＝m时有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.则当m＞2时，最小值为－8，而f(0)＝－4，由对称性可知，m≤4.∴实数m的值可能为2,3,4.10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是()A．f(x)的最大值为eq\f(1,4)B．f(x)在(－1,0)上单调递增C．f(x)＞0的解集为(－1,1)D．f(x)＋2x≥0的解集为[0,3]解析：选AD当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，∴f(x)的最大值为eq\f(1,4)，A正确；f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上单调递减，B错误；f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)，C错误；当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0,3]，当x＜0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确．11．下列说法正确的是()A．函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3,1]B．既是奇函数又是偶函数的函数有多数个C．若A∪B＝B，则A∩B＝AD．函数f(x)的定义域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的定义域为[－3,1]解析：选BCD由f(x)与f(x＋1)的值域相同知，A错误；设f(x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有多数个，故f(x)有多数个，B正确；由A∪B＝B得，A⊆B，从而A∩B＝A，C正确；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正确．故选B、C、D.12．狄利克雷是德国闻名数学家，函数D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数))被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论中正确的是()A．若x是无理数，则D(D(x))＝0B．函数D(x)的值域是[0,1]C．D(－x)＝D(x)D．若T≠0且T为有理数，则D(x＋T)＝D(x)对随意的x∈R恒成立解析：选CD对于A，∵当x为有理数时，D(x)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，∴当x为有理数时，D(D(x))＝D(1)＝1；当x为无理数时，D(D(x))＝D(0)＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有D(D(x))＝1，故A不正确；对于B，函数D(x)的值域为{0,1}不是[0,1]，故B不正确；对于C，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对随意x∈R，都有D(－x)＝D(x)，故C正确；对于D，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴依据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D(x＋T)＝D(x)对随意的x∈R恒成立，故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f(x)＝x2＋2bx－3a＋1为定义在[2a－10,3a]上的偶函数，则aa＋b＝________.解析：依据题意，函数f(x)的定义域为[2a－10,3a]，则2a－10＋3a＝0，解得a＝2，所以f(x)＝x2＋2bx－5，是二次函数，其对称轴x＝－b，必有x＝－b＝0，即b＝0，则aa＋b＝22＋0＝4.答案：414．若函数g(x)＝f(2x)－x2是奇函数，且f(1)＝2，则f(－1)＝________.解析：依据题意，函数g(x)＝f(2x)－x2，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝f(1)－eq\f(1,4)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f(－1)－eq\f(1,4)，函数g(x)＝f(2x)－x2是奇函数，则有geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f－1－\f(1,4)))＝f(1)＋f(－1)－eq\f(1,2)＝0，又由f(1)＝2，则f(－1)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)15．已知汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米，若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为________米．解析：由汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，可设y＝kv2(k≠0)，当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米，∴20＝3600k，解得k＝eq\f(1,180)，∴y＝eq\f(1,180)v2，当v＝90千米/时时，y＝eq\f(1,180)×902＝45米，故答案为45.答案：4516．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.解析：f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.答案：－16四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)推断函数f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．解：设∀x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(ax2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax1x2＋1x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵xeq\o\al(2,1)－1<0，xeq\o\al(2,2)－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0，∴eq\f(x1x2＋1x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是减函数；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是增函数．18．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x＞0，,－fx，x＜0，))(1)若F(－1)＝0且对随意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解：(1)由已知可知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F－1＝－a－b＋1＝0，,a＞0，,b2－4a≤0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))则F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋1，x＞0，,－x2－2x－1，x＜0.))(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，所以g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，则g(x)的对称轴为x＝eq\f(k－2,2).由于g(x)在[－2,2]上是单调函数，故eq\f(k－2,2)≤－2或eq\f(k－2,2)≥2，即k≤－2或k≥6.所以实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．19．(12分)已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，点O为线段AB的中点，动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A.当点P运动过的路程为x时，记点P的运动轨迹与线段OP，OB围成的图形面积为f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)＝2，求x的值．解：(1)当x∈[0,1]时，f(x)＝eq\f(1,2)·OB·x＝x；当x∈(1,5]时，f(x)＝eq\f(2＋x－1×1,2)＝eq\f(1,2)(x＋1)；当x∈(5,6]时，f(x)＝4×1－eq\f(1,2)×2×(6－x)＝x－2.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,\f(1,2)x＋1，1＜x≤5，,x－2，5＜x≤6.))(2)若f(x)＝2，明显1<x≤5，所以f(x)＝eq\f(1,2)(x＋1)＝2，解得x＝3.20．(12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满意如下函数：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))其中x是仪器的产量．(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题意知f(x)＝R(x)－100x－20000＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－200000≤x≤400，,－100x＋60000x>400.))(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，即当x＝300时，f(x)有最大值25000，当x>400时，f(x)<20000.综上可知，当产量为300台时，公司获得最大利润25000元．21．(12分)已知函数f(x)＝eq\f(ax＋b,x2＋1)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(2,5).(1)求函数f(x)的解析式；(2)推断f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.解：(1)∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝eq\f(ax,x2＋1).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(2,5)，∴eq\f(\f(1,2)a,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq\f(2,5)，∴a＝－1，∴f(x)＝－eq\f(x,x2＋1).(2)f(x)在(－1,1)上是减函数．证明如下：设x1∈(－1,1)，x2∈(－1,1)，且x2－x1>0，∴x1x2<1，则f(x2)－f(x1)＝－eq\f(x2,x\o\al(2,2)＋1)＋eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)＝eq\f(x2－x1x1x2－1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1).∵x2－x1>0，x1x2－1<0，xeq\o\al(2,1)＋1>0，xeq\o\al(2,2)＋1>0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)．∴函数f(x)在(－1,1)上是减函数．(3)∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．∵f(x)是奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)<f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－1>－t，,－1<t－1<1，解得\f(1,2)<t<1.,－1<－t<1，))即不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<t<1)))).22．(12分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；(2)若函