2024年安徽省“江淮十校”协作体高考考前模拟数学试题（含解析）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,

4

在堑堵ABC—qqq中，AC1BC,A\=2,当阳马3—ACq4体积的最大值为可时，堑堵ABC—的外

接球的体积为（）

48J23264点

A.-71B.上一兀C.—71D.上注兀

3333

12/八兀、

2.若夕是第二象限角且sin"二百，则tan（e+/=

177177

A.―――B.———C.D.——

717717

3.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，

图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）

A.1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个

B.第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

C.8月是空气质量最好的一个月

D.6月份的空气质量最差.

4.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月=100）变化图表，则以下说

图表一图表

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆）

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

5.设a,。为两个平面，则a〃/?的充要条件是

A.a内有无数条直线与//平行

B.a内有两条相交直线与//平行

C.«,。平行于同一条直线

D.a,"垂直于同一平面

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

俯视图

7.要得到函数y=&sin[x-W图象，只需将函数y=JTsin[2x-g）图象上所有点的横坐标（）

K

A.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移/单位长度

71

B.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移二个单位长度

4

15兀

C.缩短到原来的凌倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移五个单位长度

11171

D.缩短到原来的]倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移讶个单位长度

8.函数y=/（x）在区间卜5,上的大致图象如图所示，则〃x）可能是（）

A./(x)=ln|sinx|

B./(%)=In(cosx)

C./(x)=-sin|tanx|

D./(x)=-tan|cosx|

9.设y=/（x）是定义域为R的偶函数，且在[。,内）单调递增，。=映/3/=1叫。.3,则（）

A.f(a+b)>f(ab)>f(Q)B.f(a+b)>f(Q)>f(ab)

C.f(ab)>f(a+b)>f(Q)D.f(ab)>f(Q)>f(a+b)

10.在ABC中，角A8,C的对边分别为a,b,c,若c-acos3=（2a-b）cosA,则ABC的形状为（）

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等喊直角三角形D.钝角三角形△

11.如图所示的程序框图输出的S是：126,则①应为（）

A.n<5?B."W6?C.n<7?D.n<8?

x+y<2

12.已知变量了,丁满足不等式组,VI,则2x—y的最小值为（）

x>0

A.—4B.—2C.0D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的

安排方式共有种（用数字作答）.

14.已知实数a,b,c满足。2+拉+2。2=1,则a"+c的最小值是.

x>0

15.满足线性的约束条件<xWy的目标函数z=2x-y的最大值为

x+y<2

已知函数/Q）=<X2+2x+,—2<x<0,若函数gQ）=a|/G）+l有6个零点，则实数。的取值范围

164x2+8%

+2x-1,x<-2,x>0

是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列M｝,｝满足。=3,b=l,a-2a=2b-b,a-a=b-b+1.

nn11n+1nnn+1n+lnn+1n

（1）求数列｛a｝,布｝的通项公式；

nn

（2）分别求数列%｝,fe｝的前“项和S,T.

nnnn

18.（12分）2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门

为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识''的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过

抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：

0.02SCr

0.0223------------------------------------------.........-

•.•2M----------------------------------------

------------

0.0100--------.............................................................

------------------------------------

Q.0S5------------------

・〃'---■•z

03。“，060，•SOM1。。转分

(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(|l,210),口近似为这1000人得分的平均

值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求尸(50.5<Z<94);

(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

⑴得分不低于口可获赠2次随机话费，得分低于四则只有1次：

(«)每次赠送的随机话费和对应概率如下：

赠送话费(单位：元)1020

21

概率

33

现有一位市民要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列.附：

751^=14.5,若ZNQ,B2),则<Z<|i+B)=0.6826,P(pi-25<Z<pi+25)=0.9544.

19.(12分)等比数列｛。｝中，a=2,a=4a.

n175

(I)求｛a｝的通项公式;

n

(H)记S为｛a｝的前"项和.若S=126,求机.

nnm

20.(12分)如图，四棱锥E-4BCZ)的侧棱OE与四棱锥歹-4BCD的侧棱5b都与底面HBCD垂直，AD1CD,

AB//CD,AB=3,AD=CD=4,AE=5,AF^3y/2.

(1)证明：〃平面BCE.

(2)设平面A3户与平面CD尸所成的二面角为仇求cos2®.

21.(12分)已知动圆过定点/(。/)，且与直线/：y=-i相切，动圆圆心的轨迹为C,过歹作斜率为左/*0)的直线

机与C交于两点4,8,过分别作。的切线，两切线的交点为P,直线尸歹与。交于两点"，N.

(1)证明：点尸始终在直线/上且依JLAB；

(2)求四边形AMBN的面积的最小值.

[x=COS0,

22.(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1.△以。为极点，》轴正半轴为极轴建立极坐标系,

1[y=sinU.

兀

设点A在曲线C:Psin®=1上，点8在曲线C:9=--(p>0)±,且A03为正三角形.

236

(1)求点A,B的极坐标；

⑵若点尸为曲线q上的动点，M为线段AP的中点，求18"I的最大猫.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

利用均值不等式可得V=^BCACAA=；BC-ACV：(BC2+AC2)=：AB2,即可求得A3,进而求得外接

B-ACC^31333

球的半径，即可求解.

【详解】

由题意易得BC±平面ACCA,

所以V=LBCACAA=-BCAC<L(BC2+AC2)=-AB^

B-ACC^3I333

当且仅当AC=BC时等号成立,

4

又阳马8-ACQAJ本积的最大值为-,

所以AB=2,

所以堑堵ABC-々qq的外接球的半径R

所以外接球的体积V='兀「3=WE兀，

33

故选:B

【点睛】

本题以中国传统文化为背景，考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用，体现了数学运算、直观

想象等核心素养.

2、B

【解析】

12—512

由夕是第二象限角且sim?二百知：cos0=-vl-sin20tanO

JItan0+tan45°7

所以tan(e+/=

l-tan0tan45°17

3、D

【解析】

由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差.故本题答案选D.

4、D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

5、B

【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质

定理即可作出判断.

【详解】

由面面平行的判定定理知：。内两条相交直线都与P平行是a//B的充分条件，由面面平行性质定理知，若a//B,

则a内任意一条直线都与P平行，所以。内两条相交直线都与P平行是a的必要条件，故选B.

【点睛】

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若

aua,bu§,al",则此类的错误.

6、A

【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积.

【详解】

几何体的三视图的直观图如图所示，

1,,C2

则该几何体的体积为：-xlxlx2=_.

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键.

7、B

【解析】

分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可.

详解：将函数y=/in12x-；］图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得至IJy=—三)=psiriQx—1),

再将得到的图象向左平移:个单位长度得到y=J3sin＜ix-=y/3sinCx-,

故选B.

点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合05和平的关系是解决本题的关键.

8、B

【解析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可；

【详解】

解：当尤=0时，sinO=O,ln|sinO|无意义，故排除A；

又cosO=l,贝。/(O)=-tan|cosO|=-tanlwO,故排除D；

对于C,当了＜0弓］时，|tanx|＞。，所以/(x)=—sin|tanx|不单调，故排除c；

故选：B

【点睛】

本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.

9、C

【解析】

根据偶函数的性质,比较|。+4,|附即可.

【详解】

解：|叫=|除。.3+%。川黑+需

1g0.3x1g|lgO.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\-|log0.3xlog0.3|二igoixigr

_-lg0.3xlg0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

_-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg!2

Ig5xlg2

显然lg^<lg曰，所以|a+b|<W|

y=fM是定义域为R的偶函数，且在b,+8）单调递增,

所以>f(a+b)>/(0)

故选：C

【点睛】

本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.

10、C

【解析】

利用正弦定理将边化角，再由sin（A+5）=sinC,化简可得sin5cosA=sinAcosA,最后分类讨论可得;

【详解】

解：因为c-〃cosB=(2。-b)cosA

所以sinC—sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC—sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcos5+sinBcosA-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

71

当8$4=0时4=,，AABC为直角三角形；

当cosAW0时sinA=sin5即A=5,AABC为等腰三角形；

・•・AABC的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

11、B

【解析】

试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n

的值，并输出满足循环的条件.

解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加S=2+22+…+211的值，

并输出满足循环的条件.

VS=2+22+...+21=121,

故①中应填n<l.

故选B

点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视.程序填空也是重要的考试题型，

这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题

型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误.

12、B

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.

【详解】

解：由变量工,丁满足不等式组（x-yvi,画出相应图形如下：

x>0

可知点A（l,l）/（0,2）,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1296

【解析】

先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.

【详解】

由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有

C2A3=36,同理女生的排法共有C2A3=36,故不同的安排共有C2A3.C2A3=1296种.

43434343

故答案为：1296

【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.

9

14、-16

【解析】

先分离出42+从，应用基本不等式转化为关于C的二次函数，进而求出最小值.

【详解】

解：若a0+c取最小值，则异号，c<0,

根据题意得：1一2。2=。2+。2,

又由成+加>2\ab\=-2ab,即有1一2。2之一2ab,

则a/?+c»c2+c一—=|c+—|-一，

214J16

即2ab+c的最小值为一2,

16

9

故答案为：一二

Io

【点睛】

本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.

15、1

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用z=2x-y的几何意义，可求出目标函数的最大值。

【详解】

由z=2x—y,得y=2x—z,作出可行域，如图所示:

平移直线y=2x-z,由图像知，当直线经过点C时，截距最小，此时z取得最大值。

x-y-0X=1

[x+y-2=。'解得*

由V1,代入直线z=2x—y,得z=2x1—1=1。

b=1

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。

一1」

、

16’5

【解析】

由题意首先研究函数y的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于。的不等式，求解不等式即可确定实

数a的取值范围.

【详解】

当-1<X<0时，函数f(X)=尤2+2龙在区间(-1,0)上单调递增,

很明显从x)e(-1,0),且存在唯一的实数X满足fG)=」,

112

1f,1上单调递减，在区间［-［o］上单调递增,

当一lWf<0时，由对勾函数的性质可知函数y=f+石在区间-1，”

At

1在区间(-1,\)上单调递减，在区间(\,0)上单调递增，且当

结合复合函数的单调性可知函数y=x2+2%+

4犬2+8x

x=%时，y=X2+2x+----------=1,

iJ4x2+8x

考查函数y=卜2+2x-在区间（0,仔O）上的性质，

由二次函数的性质可知函数y=g+2x-在区间（o,四一1）上单调递减，在区间（管-1,+8）上单调递增,

函数g（%）=。|/（x）|+1有6个零点,即方程a|/（砌+1=0有6个根,

也就是!/■（%）1=—1有6个根，即y=1/（X）I与y=--W6个不同交点，

aa

注意到函数y=整+2x关于直线x=-1对称，则函数y="（x）।关于直线x=-1对称，

综上可得，实数。的取值范围是

故答案为_1，一弓）.

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

_721,_721及233

17、(1)。=2〃+一+一―；b=2〃————(2)S=2〃+i—2+—+—n•T—2«+i—2————n

n22n22n44n44

【解析】

⑴a+b=2（a+8）,a+b=4,可得｛a+。｝为公比为2的等比数歹-b=a—b+1可得｛a_b｝

n+1n+1nn11nnn+1n+\nnnn

为公差为1的等差数列，再算出｛。+b｝,｛a-b｝的通项公式，解方程组即可；

nnnn

（2）利用分组求和法解决.

【详解】

a+b=2(Q+b)

(1)依题意有4向7〃+1nn

a-b=a—b+1

n+ln+1nn

又o+b=4；a-b=2

iiiit

可得数列〃+。｝为公比为2的等比数列，｛a-b｝为公差为1的等差数列,

nnnn

a+Z?=(a+b)x2«-ia+b=2«+i

由,nnz11x得j〃J1

a-b=\a-Z?)+(n-l)?a—b=n+l

nn11nn

=2〃+S

a

得广22

n1

a=2n

22

故数列｛a｝,%｝的通项公式分别为a=2R+：+：；b

nnn22n22

c、o2G-2〃)n(n+1)n__n23

«1-24244

2G-2〃)n(n+1)nn23

T=...............-..............——=2"+i—2———一〃♦

“1-24244

【点睛】

本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前“项和，考查学生的计算能力，是一道中档

题.

18、(1)0.8185(2)详见解析

【解析】

(1)利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.

(2)写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列.

【详解】

解：(1)从这1000人问卷调查得到的平均值口为

=35X0.025+45X0.15+55X0.20+65X0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75

=65

••・由于得分Z服从正态分布N(65,210),

P（50,5<Z<94）=P（65-14,5<Z<65+2x14.5）=。6826+0.9544=。用⑻

2

（2）设得分不低于口分的概率为p,p=P（Z>pi）=l

0.2251

（或由频率分布直方图知2=0・。25+0.15+0.2+—^—=0.5=］）

法一：X的取值为10,20,30,40

P（X=10）=1x3=l.

2331

P（X=2O）=L1+L3X3=2_.

23233181

P（X=30）=1x0=

22（33）9，

P（X=40）=—x_x_=—.

233181

所以X的分布列为

X10203040

1721

p

318918

法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下

2次话费总和203040

2211

P_x__x_

3333

X的取值为10,20,30,40

p（x=10）=L3=l.

2331

P（X=20）=—X—+—X—=—

2329181

P（X=30）=lxi=

299,

P（X=40）=1X£=J_.

29181

所以X的分布列为

X10203040

1721

p

318918

【点睛】

本题考查了正态分布、离散型随机变量的分布列，属于基础题.

19、(I)a=2“或a=—(-2)(11)12

nn

【解析】

(1)先设数列｛a｝的公比为夕，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；

n

(2)根据(1)的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】

(1)设数列3｝的公比为夕，

n

a

/=4A,

a，

5

4=±2,

「.4=2〃或a=-(-2)«.

nn

2(1—2”),

(2)q2时，s-.......=2〃—2=126，解得〃=6；

〃1-2

c2(1—(—2)“)2r1

q―-2贷，S=---------------=——(—2)«\=126，

«1+23L」

“无正整数解；

综上所述〃=6.

【点睛】

本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.

7

20、(1)证明见解析(2)--

【解析】

(1)根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF,然后根据勾股定理计算可得3尸最后利用线面平行的判定定理,

可得结果.

(2)利用建系的方法，可得平面A5F的一个法向量为“，平面C0F的法向量为加，然后利用向量的夹角公式以及

平方关系，可得结果.

【详解】一

(1)因为平面A5CD,所以。E_LA0,

因为AD=4,AE=5,DE=3,同理5尸=3,

又0EJ_平面A5CD,平面A3CD,

所以DE//BF,又BF=DE,

所以平行四边形3E0F,板DFHBE,

因为BEU平面5CE,平面5CE

所以。P〃平面BCE-

(2)建立如图空间直角坐标系,

则。(0,0,0),A(4,0,0),

C(0,4,0),F(4,3,-3),

DC=(0,4,0),DF=(4,3,-3),

设平面CDF的法向量为机=(x,y,z),

Im-DC=4y=0,令x=3,得加=(3,0,4),

由m-DF=4x+3y-3z=0

易知了面ABF的一个法向量为n=(1,0,0),

、3

所以«>=-,

7-

故cos2。=2COS20-1=-一,

【点睛】

本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.

21、(1)见解析(2)最小值为L

【解析】

(1)根据抛物线的定义，判断出。的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹C的方程.设出A3两点的坐标，利用导数求得

切线尸4,尸8的方程，由此求得尸点的坐标.写出直线用的方程，联立直线机的方程和曲线。的方程，根据韦达定理求

得尸点的坐标，并由此判断出P始终在直线/上，且PF_LAB.

(2)设直线AB的倾斜角为a,求得的表达式，求得\MN\的表达式，由此求得四边形AMBN的面积的表达式

进而求得四边形AMBN的面积的最小值.

【详解】

(1)：动圆过定点/(0/)，且与直线/：y=-1相切，，动圆圆心到定点/(0/)和定直线y=-1的距离相等，动圆圆

心的轨迹c是以尸(0,1)为焦点的抛物线，.•.轨迹c的方程为：X2=4y,

YY2Y

%2=4y,：.y==，.•.直线Bl的方程为：y--=—(x—x),即：4y=2xx—x2①,

242i11

同理，直线P6的方程为：4，=2xx-x2②，

22

__+XXX、

由①②可得：P(—12”方力

[y=kx+l

直线机方程为：y=kx+l,联立｛可得：