人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1 变化率问题 【同步教学课件】

第五章

5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.课标要求素养要求根据具体的实例计算平均变化率和瞬时变化率，并得到二者的关系，借此发展数学抽象与数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在__________的速度称为瞬时速度.某一时刻2.曲线的切线斜率斜率切线1.思考辨析，判断正误(1)平均变化率与瞬时变化率可能相等.(

)(2)在计算物体运动的瞬时速度时，h(t0＋Δt)>h(t0).(

)提示

也可能有h(t0＋Δt)≤h(t0).(3)瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量.(

)提示

瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量.(4)曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.(

)√××√2.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为(

) A.4 B.5 C.6

D.7C3.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为(

) A.2 B.3 C.－2 D.－3D4.抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为________.2课堂互动题型剖析2题型一求物体运动的平均速度(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.思维升华A【例2】

某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度.题型二求瞬时速度即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.【迁移1】若本例中的条件不变，试求物体的初速度.解

求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，∴

(1＋Δt)＝1.即物体的初速度为1m/s.【迁移2】

若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解

设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.思维升华【训练2】

一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解

质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.∵质点M在t＝2附近的平均速度为【例3】

求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.题型三求曲线在某点处切线的斜率或方程可得切线的斜率为k＝

Δx＝0.所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.求抛物线在某点处的切线方程的步骤思维升华【训练3】

求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为(

) A.4 B.16 C.8 D.2CC解析

由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(

) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1ABB故切线的倾斜角为45°.二、填空题6.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________.37.抛物线f(x)＝x2－4x在(－1，5)处的切线方程为_____________.6x＋y＋1＝0所以切线方程为y－5＝－6(x＋1)，即6x＋y＋1＝0.8.若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.1三、解答题9.曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；解

设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点.(3)倾斜角为135°.解

因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，11.(多选题)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是(

) A.此物体的初速度是3m/s B.此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1m/s，方向与初速度相反 C.t＝0到t＝2时平均速度1m/s D.t＝3s时的瞬时速度为0m/sABC即此物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度相反，即B正确.即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.即C正确.112.一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移，t表示时间，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________，在t＝2时的瞬时速度是________.7＋2Δt7解

∵物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3，5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×