陕西省学林2024届高考模拟考试数学（理科）试题（附答案解析）

陕西省学林2024届高考全真模拟考试数学（理科）试题

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一、单选题

1.已知R为实数集，集合4=［才g<11,B=p1<21<41,则图中阴影部分表示的集

合为（）

A.{x|-l<x<3}B.{尤［2<尤43}

C.1x|l<x<2}D.{尤|-1<无<2}

2.已知复数Z=a+i,z2=l-a\,aeR,^zt-z2=2,则在复平面内向对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办

法.如图，已知圆锥的高与底面半径均为2,过轴。。的截面为平面平行于平面

的平面a与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分.若双曲线C的两条渐近线分别平行于

OA,OB,则建立恰当的坐标系后，双曲线C的方程可以为（）

22

A.=1B.匕-炉=1

44

2

C.y2-x2=lD.--x2=l

2

4.若（21+1）"=4+卬:+生/+…+为/的展开式中的各项系数和为243,则

幺+$++2=（）

2222〃

A.32B.31C.16D.15

,「兀兀）什3（兀、sin2a/、

5.已知二£一不一;，若tan2a=—/ana+:，贝12cos+------=（）

<24J214yztana

A182厂2「18

A.——B.——C.-D.—

5555

2x-y+2>0

6.若点P（x,y）在平面区域，x-2y+lW。上，则Y+产一2x+2的最小值是（）

x+y-2<Q

49

A.—B.—C.1D.2

55

7.在平行六面体ABC。-AAGA中，已知A3=AD=A4=1,

ZA.AB=ZA.AD=ZBAD=60°,则下列选项中错误的一项是（）

A.直线AC与8。所成的角为90。

B.线段4c的长度为0

C.直线AC与B为所成的角为90。

D.直线AC与平面A3。所成角的正弦值为逅

3

8.今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首.某中学为了让高

三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新

质生产力''方面的公益讲座.己知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、

乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有()

A.48种B.84种C.24种D.12种

9.在，ABC中，角A,B,。所对的边分别为c,c(sinA-sinC)=(tz-Z?)(sinA+sinB),

若，ABC的面积为小，周长为外，则AC边上的高为()

4

试卷第2页，共6页

A."B.走C.V3D.273

32

10.设O为坐标原点，直线丁=百（％-2）过抛物线Uy?=2px（p>0）的焦点，且与。交

于A1,N两点，/为。的准线，则（）

A.p=2B.\MN\=^-

C.0MN的面积为蛆叵D.以MN为直径的圆与/有两个交点

3

11.将一个体积为36兀的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件,则该零件体积的最大值为（

A.8应B.8gC.4A/2D.4G

12.已矢口函数/（%）=2"+2一"+cos%+f,若a=/（51n4,，b=f^41n5n^,c=/（51n;i4）,

则（）

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、填空题

13.如图是某人设计的正八边形八角窗，若。是正八边形ABCDEFGH的中心，,@=1,

则AC。.

14.圆（》-4+（广2“-3）2=9上总存在两个点到（2,3）的距离为1,贝U°的取值范围是.

15.己知函数/（x）=sin（2s+[（。>0）在区间（0㈤上有且仅有3个极值点，则。的

取值范围是.

16.已知函数/（尤）=1。8.尤一（&『-1。8"2（。>1）仅有一个零点，则实数a的值为.

三、解答题

17.已知数歹U｛In4｝是等差数列，记S"为｛%｝的前兀项和，｛S.+4｝是等比数列，%=1.

⑴求。"；

⑵记2ulogMi+log?%"，求数列｛(T)"/；｝的前10项和.

18.体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案

(2020-2030)”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到

很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达

人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的

人数之比为1:3,男生中“运动达人”占白，女生中“运动达人”占

24

(1)根据所给数据完成下面的2x2列联表，并判断能否有90%的把握认为“运动达人”与性别

有关？

女生男生合计

运动达人

非运动达人

合计

(2)现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其

中男、女生独立闯关成功的概率分别为=与彳，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯

43

关成功的概率.

,n(ad-be}

附：K=-------——--------------------,n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(o+c)(b+d)

P(^K2>k)0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

19.如图，在五面体48cDE中，已知AC1BC,ED//AC,^.AC=BC=AE=2ED=2,

DC=DB=6

试卷第4页，共6页

(1)求证：平面3co_L平面ABC；

(2)线段8c上是否存在点儿使得二面角3-AE-产的余弦值为逆，若存在，求CE的长

3

度；若不存在，请说明理由.

20.已知动圆M经过定点£(-石,0),且与圆月：。-6)2+3；2=16内切.

⑴求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点42,点尸为轨迹C上异于A,B的动点，设直线

P8交直线x=4于点T,连接AT交轨迹C于点。；直线AP,A。的斜率分别为L，

(i)求证：左AP&Q为定值;

(ii)设直线42：%="+〃，证明：直线PQ过定点.

21.已知函数/(%)=〃lnx-%+l(tzeR),g(x)=sinx-x.

⑴讨论函数〃%)的单调性；

⑵证明：g(+]]<°(〃wN*);

(3)证明：ln2>sin^—+sin^—+sin^—++sin—(〃wN*).

n+1n+2n+32n

[x=cos/

22.在平面直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为,；(7为参数)，曲线C2的

[y=1+smy

1-5

X=-----

参数方程为(S为参数).以坐标原点为极点，龙轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

2s

=

Iyl~+S

IT

已知点A的极坐标为(1，力，直线/：。=上(peR).

4

⑴求曲线G的极坐标方程以及曲线C。的普通方程；

(2)过点A且平行于/的直线机与C|交于/、N两点，求|肱V|的直

23.已知函数/(x)=|2x+a+2|+2|x-6|(a>0,b>0).

(1)当。=4,6=1时，解不等式/(x)<10；

⑵若Ax)的最小值为6,求崖+从的最小值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】图中阴影部分表示B4A，根据分式不等式求出A的解集，利用指数不等式求出8

的解集，进而求出结果.

【详解】图中阴影部分表示8々A,

由---得x<l或%>3,所以々A={Rl«%«3},

由;<2"<4,解得—lvxv2,所以5={乂—l<x<2},

故5c4A={1W%<2},

故选：C.

2.A

【分析】由Z/Z2=2,利用复数的乘法和复数的相等求出。的值得复数4,可知在复平面内

4对应的点所在象限.

【详解】因为4=〃+为z2=l-ai,

所以4/2=(a+i)，(l-〃i)=2a+(l-a2)i=2,

_[2a=2

则有i八，解得。=1，

[1—Q2=0

所以Z]=l+i,复平面内Z1对应的点为(1,1),在第一象限.

故选：A.

3.C

—2—0a

【分析】建立坐标系，由自B=$^=T得出/=1，进而作出判断.

2-0b

22

【详解】设双曲线OC的方程为与-==1,(稣0,6>0).

将题设中双曲线C的一部分平移到平面OA8内，以点。为坐标原点，建立如下图所示的坐

标系：

_o_n

因为圆锥的高与底面半径均为2,所以3(2,-2),则自B=W^=T.

即渐近线。8的方程为〉=一%，即£=1,故。=6.

答案第1页，共19页

选项ABCD中满足a=Z?的只有选项C.

故选：C

【分析】令1=1根据各项系数和求出〃，再利用赋值法计算可得.

n

【详解】因为(2%+1)〃=%+〃1%+々2X2++anx,

令x=l可得4+4+。2++〃〃=(2+1)〃=243,解得〃=5,

令x=0可得%=1,

令X=g可得g+净争++/=[2X]1]=32,

所以1+$++墨=31.

故选：B

5.C

【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到tana=-3,化简得到

2cos2a+4112。=4cos2a,齐次化代入求值.

tana

71

tana+tan—

2tan。4

【详解】tanla=——tan即

21-tan2a兀

21I-tantan—

4

2tana_3tana+l

所以(l一tana)(l+tana)2I-tana'

因为]£(一，一：)，所以tanaw(—o,—I),

匚匚…2tana3(tana+l)

所以-------=-----------

I+tana2

故3tan2e+l0tana+3=0,解得tan(z=-3或tana=-；(舍去),

答案第2页，共19页

c2sin2。八22sinacosa

2cosa+--------=2cosa+------；---------=44cos2a

tanasma

cosa

4cos2a_4_4_2

sin2cr+cos2atan2a+19+15

故选：C

6.B

【分析】做出可行域，后将,+〉2-2》+2转化为距离模型求解即可.

【详解】如图，做出可行域，AB,C围成的阴影部分(含边界).

2222222

z=x+y-2x+2=(x-l)+y+l=(7(x-l)+(y-0))+1;

而7(x-i)2+(y-0)2表示P(x，y)与M(1，。)之间的距离.

2_竽，则

由图可以知道,MP的最小距离为M(l,0)到直线x-2y+l=0的距离d=

故选：B.

7.D

【分析】在平行六面体ABC。-AAGA中，^LAB=a,AD=b,AA[=c,利用空间向量的线

性运算及数量积运算，逐一分析选项，即可得出答案.

【详解】在平行六面体A5C。-43cl，中，令AB=〃，AD=b,AA,=c,

由=AD=朋=1,=ZA.AD=ZBAD=60°,

得|a|=|Z?|=|c|=l,a-b=b-c=a-c

对于A,显然AC=a+b-c，BD=—a+z?,

则40&0=(4+万一右＞(—&+万)=—笛+62+4.£:—儿£:=0,即4C_L8£),

答案第3页，共19页

因此直线AC与8。所成的角为90。，A正确；

对于B,|AC『=(a+6-c)2=a2+Z?+e2—处.右=2,即,。卜0,B正确；

对于C,={a+b-c)-c=a-c+b-c—c2,即ACLBg,

因此直线AC与B片所成的角为90。，C正确；

对于D,在平行六面体ABC。-中，四边形ABC。是菱形，即AC13O,

又AC上BD,ACcAC=C,ACACu平面AC4,于是平面&CA,

又RDu平面A3CD,则平面ACA_L平面ABC。,

连接AC交于点。，在平面4＜黑内过点4作A?，AC于点E,如图,

由平面ACA一平面ABCD=AC,因此AE，平面ABC。，即直线A。与平面ABC。所成角

为幺C4,

AC=a+b，则,丁=卜+6|2=6+62+2。/=3,即|AC|=G,

1_73

由A4.//B4及选项C知,/A4c=90°,贝!]sin/ACA=D错误.

1耳一石

故选：D

8.C

【分析】先排甲、乙两人，再排丙、丁，根据题意结合分步乘法计算原理分析求解.

【详解】由题意可知：先排甲、乙两人，因为同时开设了四场讲座，所以四场讲座是看作是

相同的，

则有C=6种;

再排丙、丁，每人均有2个选择，则有2x2=4种;

所以共有6x4=24.

答案第4页，共19页

故选：c.

9.B

【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.

【详解】在ABC中，由正弦定理及c(sinA-sinC)=(〃一，)(sinA+sin5),

得c(“-c)=(a-6)(a+6),a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB="一+-=_L,

2ac2

则sinB=^^,由ABC的面积为史得'csinB=g~ac=^~,解得〃c=l,

24244

由a?+，一〃=双，得(〃+c)2-〃=3〃c,又a+c=2Z?,因此Z?=l,

令AC边上的高为M则!必=正，所以力=3.

242

故选：B

10.C

【分析】对于A,求出直线MN与x轴的交点，可得抛物线的焦点，从而可求出乙对于B,

将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系,结合弦长公式可求得,对于C,

先求出点。到直线的距离，然后结合可求出OMN的面积，对于D,设线段MN的

中点为Q,求出点。到直线/的距离进行判断.

【详解】对于A,当y=0时，尤=2,所以抛物线的焦点为(2,0),所以]=2,得p=4,所

以A错误，

对于B,由选项A可知y2=8x,设”(占,%)小(%2，%)，

y2=8x

得3/_20彳+12=0,

y=6(x-2)

所以％+%——，

of)

所以|脑V|=%+X2+P=T+4=],所以B错误，

对于C,点0到直线的距离为1=^^=占，由选项B可知pvw|=¥，

V3+13

所以OMN的面积为Lx%x^=叵8,所以C正确，

233

对于D,抛物线的准线为了=-2,设线段的中点为Q,则q=T，

答案第5页，共19页

则点Q到准线/的距离为Xe+^=y+2=y=!|AW|,

所以以MN为直径的圆与准线/相切，所以以MN为直径的圆与准线/只有一个交点，所以D

错误，

故选：C

11.B

【分析】设正三棱锥的底面边长为。，高为"球半径为R,由球体积求得球半径R=3,根

据边长、高、外接球半径关系及棱锥体积公式得到零件体积关于%的函数，利用导数求体积

最大值.

【详解】设正三棱锥的底面边长为“，高为〃，球半径为R,

4,

由球的体积为36兀，则§西=36兀，解得R=3,

(/7-3)2=9,Bp|fl2+/z2-6/?=0,故/=_3/+18/7(0<//<6),

/a

二"'=台(一9"+36/7)，

由丫'>0得：0<〃<4,此时函数V单调递增，

由丫'<0得：4ch<6,此时函数V单调递减，

.••当％=4时，Y取得最大值，且最大值为*(-3x43+18x42)=8宕.

故选：B

12.D

【分析】先利用导数判断人无)的单调性，再构造函数g(©=也，利用导数判断得

X

Sinn4>5^4">41n5\从而得解.

【详解】=2%+2-x4-cosx+x2,

答案第6页，共19页

所以尸（X）=（2x-2-x）ln2+（2尤-sinx）,

^­/z（x）=2x-sinx,贝!]"（x）=2-cosx>0恒成立，

所以当尤>0时，/z（x）>/z（O）=O,HP2x—sinx>0,

又y=2,-2T在（0,+巧上单调递增,所以y=2'-2T>2°-2°=0,

所以/'（无）>0在（0,+“）上恒成立，则fM在（0,+e）上单调递增，

构造函数gQ）=g,则8'（无）=匕蝮，

XX

令g'O）>。，得0<x<e,令g'（x）<。，得x>e,

所以g（x）在（O,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减，

所以g（兀）>g（4）>g（5）,

即],可得41n7i>7rln4,51n4>41n5,

7145

所以In7t4>in4",5兀ln4>4兀ln5,

所以5如兀4>5比4",51n4">41n5",

即51n/>51114n>4in5"

4II,t

所以，f（51n7i）>/（51n4）>/（41n5）,

即.

故选：D.

【点睛】思路点睛：先利用导数判断〃元）的单调性，再构造函数g（©=.，利用导数判断

X

得51n兀4>51n4*>41n5Z是解决本题的关键.

13.受

2

【分析】利用向量的加法结合数量积的定义求解.

【详解】ACCD=^AB+BC^-CD=ABCD+BCCD=0+lxlxcos45=弓.

故答案为：变.

2

【分析】问题转化为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即

可.

答案第7页，共19页

【详解】圆(尤-a『+(y-2a-3)2=9上总存在两个点至I](2,3)的距离为1,

转化为：以(2,3)为圆心1为半径的圆与已知圆相交，

可得3-1<，(2-可+(3-2«-3)<3+1,即15/-4.-12<0'

解得一g<a<0或。<a<2,即a的取值范围是[一|,。][g2].

故答案为

<13191

【分析】由x的取值范围求出2s+：的取值范围，将问题转化为函数〃x)=sin(2s+T在

区间2s+me1,2如+：]上的极值点个数问题，计算求解即可.

【详解】因为兀£(0㈤且口〉0,

所以2cox+Icon+,

又因为函数/(X)=si"2s+5)在区间(0㈤上有且仅有3个极值点，

足~、"口。71(5717兀](1319

所以¥两足2G兀+可£彳，7,即。£不,不,

故答案为：

16.白正

X

【分析】令/=；,则r>0,则问题转化为函数y=bgj与y=。'在(。,+功上有1个交点，

且交点在y=f上，利用导数的几何意义求出y=log.r与y=储相切时的a的值.

2

【详解】/(x)=logax-[\[a^-loga2=loga^-a,令t=；则7>0,

,

y=\ogat-a,

因为函数/(x)=log“x-(，j)-loga2(a>l)仅有一个零点，

所以函数y=log/与y=a'(a>l)在(0,+s)上有1个交点，

因为y=log/与y=储(。>1)互为反函数，其图象关于直线>=/对称,

所以函数y=log.f与y="的交点在直线y=r上,

答案第8页，共19页

所以当直线y=t与，=1。8/和)=。'(“>1)相切时，两函数图象只有一个交点，

设切点为(见加)，y'=(logat)'=-^―,y=(")'=3lna(a>l)，

所以“In。-"lna-1,解得机=©,|；

log。m-dn

所以当〃一/时，、=1。8/与'=储在(°，+00)上有1个交点，

SPSlk/(x)=logax-(5/ay-log„2(a>l)仅有一个零点.

故答案为：/

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的几何意义，解题的关键

是将问题转化为函数y=1。8/与〉=储在(。,+°°)上有1个交点，再转化为直线y=f与

丫=1。8«1和了="(。>1)相切，考查数学转化思想，属于较难题.

17.⑴%=2"T

(2)760

【分析】(1)利用｛山为｝是等差数列和｛S“+%｝是等比数列列方程组解出出的值，由对数的

运算性质可得｛%｝等比，进而即可得｛%｝的通项公式；

(2)由⑴得1=4〃-3,令&=(-1)'如，则G“T+C2“=4(J+D(〃eN*),则数列｛Q｝

的前10项和北等于4倍数列｛2｝的前10项和.

【详解】(1)由题意得21n%=ln6+ln〃3,

所以。2?二〃口3①，

又｛s“+%｝是等比数列，

所以(邑+4)=(S]+q)(5+4),

因为4=1,所以(%+2『=2(2+/+%)②，

又a.>0,故由①②联立解得。2=2,

答案第9页，共19页

又｛In4｝是等差数列，所以In风-In%7=In」/522)为定值，即&(〃22)为定值，

an-\an-\

故｛%｝为等比数列，首项卬=1,公比夕=?=2,

所以｛4｝的通项公式为。"=2"一.

(2)由(1)得%=2"\

2-1-12-1

所以a=log2+logo电"=logo2"+log22"=2n-2+2n-l=4n-3,

即｛〃｝是以1为首项，4为公差的等差数列，

令Q=(-1)"我，则C2„_x+。2“=一或t+或=®+%.1)(怎-%)=4«+%)(〃eN*),

记｛C｝的前〃项和为北,

所以4=(£+02)+.+G+。)=4(。+/+…+%)=4x0+3?xl0=760,

数列仍小的前10项和为760.

18.(1)列联表见解析，有90%的把握认为“运动达人”和性别有关；

【分析】(1)完善2x2列联表，计算K?的观测值并作答.

(2)利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得.

【详解】(1)抽取的80人中，女生与男生的人数比为1:3,则女生有20人，男生有60人,

男生中“运动达人”占〜女生中“运动达人”占:‘则得如下2x2列联表:

女生男生合计

运动达人153045

非运动达人53035

合计206080

显然…与"

3.810>2.706，

所以有90%的把握认为“运动达人”和性别有关.

(2)由分层抽样，得抽取的男生人数为2,女生人数为1,

答案第10页，共19页

记“恰有两人闯关成功”为事件A,“有女生闯关成功”为事件B,

3233273321

贝IJ尸(4)=(^)2/(1—1)+2*(1—工)><1']=«，P(AB)=2x(l--)x-x-=-,

1

P(明二4二4

于是尸（B|A）=

P(A)

16

4

所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为

19.（1）证明见解析

（2）存在，CF=|

【分析】（1）证面面垂直，先证其中一个平面内的直线AC垂直另一个平面8C。；

（2）由第一问结论，建立合适的坐标系，用空间向量求解即可.

【详解】（1）取AC中点G,连接EG,因为EZ）〃AC,CG=^AC=ED,

所以EG《CD,所以四边形即CG为平行四边形，所以EG=OC=百，

又因为AG=：AC=1,AE=2,所以AG2+EG2=AE2,所以AGLEG,

又因为CD〃EG,所以ACLCD.

因为AC/3C,BC,CD是平面8C。内的两条相交直线，所以AC，平面BCD,

因为ACu平面ABC,所以平面ABC」平面BCD

（2）解法一：

在平面内过点C作8C的垂线/,因为AC,平面BC。，

所以/、CA,CB两两相互垂直，故以C为坐标原点.

如图所示，建立空间直角坐标系，

则A（2,0,0）,3（0,2,0）,£＞（0,1,72）,E（1,1,A/2）,

答案第11页，共19页

设在线段BC上存在点尸(0/0)(0<t<2),使二面角B-AE-F的余弦值为当,

贝|JAE=(-LL应)，AB=(-2,2,0),AF=(-2,t,0)

设平面AEF的法向量%=(%%,zj.

则「2：宵°，不妨令…，所以

设平面ABE的一个法向量为=(x2,y2,z2)f

AE•n2=-x2+%+V2Z2-0gp<-x2+y2+yflz2=0

AB-n=

2—2X2+2y2=0—2X2+2%=0

不妨令工2=1，%=1，Z2=。,所以%=(1,1,0)

户相二卜+Z2A/2

所以t2~T~

V2・4L+22+izL

化简得：15产-68f+60=0,解得或当(舍去)，故打0,■!，()],所以CF=?.

53I5J5

所以存在点凡当CP=5时，二面角3-钻-F的余弦值为逑.

53

解法二：

取BC、AB的中点。、//,连接。£),OH,

答案第12页，共19页

因为r>8=£>C,。是BC中点，所以DO_L8C,

又因为OOu平面BCD,平面ABC，平面BCD且交于BC,所以CO_L平面ABC,

因为》是A2中点，即明〃AC,所以

故£>0,OH,8c两两互相垂直，

则以。为坐标原点，OH，OB，OD为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系,

则A(2,—l,0),5(0,1,0),D(0,0,V2),£(1,0,万).

设在线段8c上存在点尸(0,大,0)(-1<t<1),使二面角3—他—尸的余弦值为半，

则45=卜1,1,0)，AB=(-2,2,0),AF=(-2,/+l,0).

设平面AEF的一个法向量为4=a，%,zj,

AE•〃1=()

则不妨令％=2,则%=1+1,1正(-D,所以

AF-^=0艮—:2

%=1+1,2,

又因为即〃LAC,OH//-AC,所以所以四边形。EH。为平行四边形,

=2=2=

即EH少。，因为平面ABC,所以即，平面4BC,

因为CHu平面ABC,所以又因为AC=BC,H是A8中点，

所以CF/LAB,因为EX,42为平面ABE内的两条相交直线，所以平面ABE,

故C8是平面ABE的一个法向量，因为C"=(1,1,0),

答案第13页，共19页

IcosJCH1除叫-「卜+1+2|_20

所以I\'"\4\CH\F—23-

化简得：15/—38+7=0,解得r=g或1（舍去），故尸］。，:，0）,所以C歹=1+:=（,

所以存在点忆当CP=g时，二面角B-AE-尸的余弦值为磋.

53

解法三：

取BC、A8的中点O、H,连接。£>,0H,

因为£>3=£>C,所以£>O_LBC,又因为DOu平面BCD,

平面ABC1平面BCD且交于BC,

所以OO_L平面48c.

因为EO〃』AC,OH//-AC,所以。H”>E,所以四边形DE”。为平行四边形，

=2=2=

即EH”>。,因为，平面ABC,所以EHL平面ABC,

因为CHu平面ABC,所以EHLCH,又因为AC=BC,H是AB中点，

所以CHLAB,因为EH,AB为平面ABE内的两条相交直线，所以CH，平面ABE,

假设在线段BC上存在点F,使二面角3—AE—尸的余弦值为逋，

3

过尸作于点M,则平面ABE,

过M作MN_LAE于点N,连接NF,

则ZRVM为二面角3-AE-尸的平面角.

设FB=2x（O<，Wl）,贝ljFM=BM=0x，AM=2近-应X，所以M/=2—X,

在用FMN中'NF=y/NM2+FM2=yJ?>x1-4x+4-

MN2-x2A/2

所以cosNFW=——-y—

NF疡―4x+43

答案第14页，共19页

化简得15尤2+4尤一4=0,解得x=|或一（舍去），即=所以Cb=2-=

所以存在点凡当CP=5时，二面角3-AE-尸的余弦值为逑

53

20.⑴工+）?=［；

4

（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的定义求出轨迹C的方程.

（2）（i）设出点P,Q,T的坐标，利用斜率坐标公式计算即得；（ii）联立直线PQ与轨迹C

的方程，利用韦达定理结合（i）的结论计算即得.

【详解】（1）设动圆的半径为广，圆巴：（x-6y+y2=16的圆心鸟（6,0）,半径尺=4,

显然点£（-百,0）在圆F之内，则|班|=R—r=4-|町|,

于是|峥|+悭闾=4>24=闺局,

因此动点M的轨迹C是以耳，弱为焦点，长轴长为4的椭圆,

长半轴长，=2,半焦距c=g,则短半轴长人而二？=1，

所以轨迹C的方程为工+尸=1.

4

8(2,0),

m2%

3,则根=

%-2'

即才=；（4一才），

L，为定值.

所以%AP，^AQ

3(x；-4)12

x=ty+n

(ii)由消去工得。2+4)y2+2tny+n2-4=0,

答案第15页，共19页

2

A=4»〃2-4(5+4)(/-4)=16(产+4-n)>0,

由⑴得M+%=一寻彳，必为=£：，又心/>,心2=一白，

IIT-Z'十41乙

剧人.3^=________弊________=_____________缗____________7

'%+2X2+2(7+〃+2乂%+〃+2)产%%+"〃+2)(必+%)+(〃+2y

“2-4

产+4n2-41

解得九=1,满足A>0,

“2-42产〃(“+2)4^7+16^+16_-12

+(”+2y

产+4d+4

因此直线PQ的方程为x=9+l,

所以直线尸。过定点(1,0).

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性

证明；

②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲

线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标

的点即为所求点；

③求证直线过定点(%％),常利用直线的点斜式方程y-%=耳左-不)或截距式y=履+万来

证明.

21.(1)答案见解析

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)求导尸(无)=，-l=E^,后按照aVO,。>0分类讨论即可；

(2)用导数研究函数的最值即可；

(3)由(1)的结论可以得到ln(x+l)2*.令x=：,得到ln[+l]>止!"，

即二，结合数列累加法，可得^^,工+―二+—二++，-.

由(2)知，sinx<x,每项进行放缩即可证明.

【详解】⑴函数/⑴的定义域为(0,+孙/(无)=11=二^,

答案第16页，共19页

①当a40时，/''（HvO恒成立,

所以函数/⑺的单调递减区间为（0,+力）；

②当口>0时，由/''(%)=0,得x=a,

当x«0,a)时，/,(%)>0；当尤e(<7,+8)时，/,(x)<0.

所以函数/（尤）的单调递增区间为（。,4）,单调递减区间为（。,+8）.

综上，当aWO时，函数/（X）的单调递减区间为（0,+力）；

当a>0时，函数/'（x）的单调递增区间为（O,a）,单调递减区间为

(2)g(x)=sinx-x,.,.g'(x)=cosx-lW0恒成立,

二g(x)在R上单调递减,又〃eN*,,0<［1"g''

(3)由(1)知，当a=l时，f(x)<0,即lnx<x-l,In—<--1,

XX

1V—1x

lnx>l——=-----,.\ln(x+l)>------(当x=0时“=”成立).

xxx+1

人1z*、,|1.।1in+11

令1=一(neN),•*-In—+1>-----,即13rlIn------>------,

n\nJn+1nn+1

1

>~n+l，从而In（九+2）—+

11

ln(n+3)-ln(n+2)>----ln(2n)—ln(2n—1)>——

〃+32n

累力口可得［n(2〃)一