1.1.2空间向量的数量积运算课件高二上学期数学人教A版选择性

1.1空间向量及其运算

共线向量

共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共线，或直线平行于平面共面回顾引入：平面向量

如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使类比平面向量推广得到空间向量1.空间向量的定义及相关概念2.空间向量的线性运算及运算律（加法、减法、数乘）3.【共线向量定理】4.【共面向量定理】

对任意两个空间向量,的充要条件是存在实数λ使复习巩固1.了解空间向量夹角的概念．2.掌握空间向量数量积的定义、性质和运算律．3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义4.应用空间向量数量积解决简单空间几何体中的垂直、夹角和距离问题．学习目标:

与

反向OAB

与

同向OAB记作与

垂直，OAB1.平面向量的夹角：复习回顾范围：________定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作

＝a，

＝b，则_______＝θ叫做向量a与b的夹角．记作:________∠AOB0≤θ≤π<a,b>特殊情况：OAB关键是起点相同！平面向量及其线性运算空间向量及其线性运算推广平面向量的数量积运算空间向量的数量积运算思考探究

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.1.空间向量的夹角新课讲授定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，

＝b，则_______叫做向量a与b的夹角．记作:________∠AOB<a,b>关键是起点相同！OBA通常规定：________0≤<a,b>≤π两个向量的夹角唯一确定，且<a,b>=<b,a>

如果<a,b>=90°，那么a,b互相垂直，记作a⊥b==a⊥b〈a，b〉[0，π]〈a，b〉＝0〈a，b〉＝π知识点1：向量的夹角C0°90°对向量数量积的理解:(1)一定要掌握两向量之间夹角;(2)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a,b〉确定;(3)a·b与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab.规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.知识点2：空间向量的数量积

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则（1）a·e＝e·a＝___________.（2）a⊥b⇔__________.（垂直的判断）（3）当a，b同向时，a·b＝_________；当a，b反向时，a·b＝___________.（4）a·a＝_______或|a|＝_____.（求向量长）（5）|a·b|≤_________.（6）cosθ＝_____.（求角度）|a|cosθ

a·b＝0

|a||b|

－|a||b|

|a|2

|a||b|

【数量积的性质】以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.空间两个向量的数量积性质两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量,则a⊥b⇔a·b＝0.(4)|a·b|≤|a|·|b|.证垂直求夹角求范围求长度投影向量图①

向量a向向量b投影得到与向量b共线的向量c，c＝____________，向量____称为向量a在向量b上的投影向量．图②

向量a向直线l投影图③

向量a向平面β投影向量______称为向量a在平面β上的投影向量．c4.空间向量数量积的运算律思考2

空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此自然会想到将其与数的乘法类比.向量的数量积与数的乘法有什么共性与差异？共性差异×××D'C'B'DABCA'题型讲解例2、

如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例、（试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理）已知直线m，n是平面α内的两条相交直线,如果l⊥m，l⊥n,求证：l⊥α.mng共面向量定理如何把已知的几何元素转化为向量表示？一些未知的几何元素能否用已知向量表示？结论和已经表示出来的向量或其运算有何联系？能否通过向量的运算获得结论？如何将向量运算的结果“翻译”为几何结论？知识点4：空间向量数量积的应用

证明垂直几何问题向量问题用已知向量表示所证向量用公式和运算律证明几何问题【用向量解决几何问题的常用方法（三部曲）】选择恰当的向量表示问题中的几何元素通过向量运算得出几何元素的关系把运算结果“翻译”成相应的几何意义例.证明:(三垂线定理)在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.方法归纳:应用数量积公式求空间向量数量积的关键点.1.先将两个向量表示为几个已知向量a，b，c(基底)的线性形式;2.再应用数量积公式求空间向量数量积.知识点3：空间向量数量积的应用

求距离和夹角方法归纳:C方法归纳:课本P101.判断:(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．(

)(2)零向量与任意向量的数量积等于零．(

)(3)若a·b＝a·c，则b＝c.(

)√√×C概念理解:A4例1证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的向量垂直,①将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式;②利用两个方向向量的数量积为零,说明