高中数学母题与衍生解析几何

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑目录前言(i)第1章直线的方程(1)1.1直线的斜率与倾斜角(1)1.2用直线的斜率解决三点共线问题(3)1.3直线斜截式方程的求法(4)1.4直线点斜式方程的求法(6)1.5两直线的位置关系(6)1.6两点间距离公式(8)1.7点到直线的距离公式(10)1.8动直线过定点问题(11)1.9直线与直线方程的解(13)1.10中点坐标公式与中央对称问题(14)1.11轴对称问题(15)第2章圆的方程及其性质(19)2.1圆的标准方程和普通方程(19)2.2圆的轨迹方程求法(25)2.3直线与圆的位置关系(27)2.4直线与圆相交弦长问题(30)2.5直线与圆的相切问题(32)2.6圆与圆的位置关系问题(34)第3章椭圆方程及其性质(37)3.1用椭圆定义求动点轨迹方程(37)3.2椭圆的焦点三角形(38)3.3含参方程表示椭圆的条件(42)3.4待定系数法求椭圆的标准方程(43)3.5椭圆离心率的求法(45)3.6直线与椭圆的位置关系(47)3.7椭圆的相交弦与共轭直径(50)3.8椭圆顶点处的直角张角(54)第4章双曲线方程及其性质(57)4.1用双曲线的定义求双曲线的轨迹方程(57)4.2双曲线的焦点三角形(58)4.3双曲线的标准方程(59)4.4双曲线的离心率与渐近线(60)4.5双曲线的渐近线方程与标准方程的关系(62)4.6一类双曲线离心率求法问题(63)4.7双曲线离心率范围问题(64)4.8共焦点的椭圆与双曲线的离心率关系(65)4.9直线与双曲线的位置关系和交点个数问题(67)第5章抛物线方程及其性质(69)5.1待定系数法求抛物线的标准方程(69)5.2抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程(70)5.3用抛物线定义求轨迹方程(71)5.4抛物线定义与焦半径(72)5.5抛物线的焦点弦(74)5.6一类与抛物线上动点有关的最值问题(82)5.7过抛物线外一点与抛物线相切的直线(84)第6章直线与圆锥曲线(87)6.1直线与圆雉曲线交点(87)6.2中点弦方程(89)6.3弦长问题(90)6.4点的坐标(93)6.5向量的运用主意(96)6.6直线方程(99)第7章对称问题(102)7.1圆雉曲线的对称性(102)7.2圆雉曲线上两点关于直线对称问题(103)7.3圆雉曲线上点关于坐标轴对称问题(105)7.4过圆雉曲线上一点作两条关于某直线对称的直线问题(108)7.5圆雉曲线上两点关于原点对称问题(110)第8章最值问题(114)8.1关于和式、差式的最值问题(114)8.2圆雉曲线上动点与定点距离最值问题(116)8.3线段长度的最值问题(117)8.4面积的最值问题(119)8.5角的最值问题(122)第9章定值问题(126)9.1斜率积为定值(126)9.2参数和为定值(128)9.3点在定直线上(130)9.4定点问题(133)9.5斜率为定值(136)9.6数量积为定值(138)第10章动点轨迹问题(141)10.1线段中点的轨迹(141)10.2向量中点的轨迹(143)10.3动圆心的轨迹(144)10.4线段上满意长度关系的动点轨迹(147)10.5切点弦中点的轨迹(150)第11章存在性问题(154)11.1是否存在满意条件的定点问题(154)11.2是否存在满意条件的直线问题(156)11.3是否存在满意条件的圆雉曲线问题(158)11.4是否存在满意条件的常数问题(161)11.5是否存在满意条件的公共点问题(163)衍生题参考答案(166)第1章直线的方程1.1直线的斜率与倾斜角【母题1】已知点O0,0,A1,2,B(1)分离求出直线OA,(2)求出直线OP(3)设点P的坐标为x,y,分离求出式yx和【解题策略】（&1）直接利用斜率的坐标公式k=y(2)借助图形分析临界位置,再利用斜率的坐标公式k=y2(3)需要找出式子的结构特征与斜率坐标公式之间的联系,明确其几何意义是两点连线斜率,再结合图形寻找临界位置解决.解(1)kOA(2)由图1.1有图1.1k因为k所以1(3)yx=y−0x−0表示点x,y与点0,0所在直线的斜率,所以由(2)得13≤yx≤2图1.2【解后反思】对于斜率的坐标公式k=y2−【衍生1】已知点A1,2,B−3,−1(1)分离求出直线AC,(2)求直线PC【衍生2】实数x,y满意3x−2y【衍生3】实数x,y满意y=x2−1≤x≤(2)直线xcosθ【解题策略】(1)先按照直线方程求出斜率k的值,再借助函数k=tanα0≤α<π的图像由(2)先按照直线方程写出斜率k的表达式,然后求出k的范围,再借助函数k=tanα0≤α<解(1)由直线方程2x+k又因为0≤α<π,所以(2)由直线方程xcosθ−y+1=0,得k=cosθ,所以k∈[−【解后反思】函数是解决变量范围的重要工具,直线的斜图1.3率与倾斜角构成函数关系.当问题中斜率便于求解时,可借助函数k=tanα0≤α【衍生4】直线x−y【衍生5】直线1+a【衍生6】直线xsinθ1.2用直线的斜率解决三点共线问题【母题】(1)已知A3,5,B5(2)证实:A0,【解题策略】因为在斜率存在的条件下,与同一点连线斜率相同的点在同向来线上,所以斜率相等是判定三点共线的重要主意.解(1)因为A,B,C三点共线,所以−解得x=−(2)因为k所以kAB=kAC【解后反思】斜率相等是判定三点共线的重要主意,同时也是证实动直线过定点的重要主意.详细操作过程偶尔也可以转化为斜率之差为零来解决.【衍生1】已知a>0,若平面内A1,−a【衍生2】若1a+1b=11.3直线斜截式方程的求法【母题】（&1）已知直线l在y轴上的截距为3,且倾斜角α的正弦值为45,求直线l(2)已知直线l过点0,2,且它的倾斜角是直线y=12x【解题策略】(1)按照同角三角函数的关系式把倾斜角的正弦值转化为正切值,该正切值即为该直线的斜率,然后由点斜式直接写出直线方程.(2)按照正切的二倍角公式求出所求直线的倾斜角正切值,该正切值即为该直线的斜率,然后由点斜式直接写出直线方程.解(1)因为sinα=45且α∈[0,π)k故所求直线l的方程为y即4(2)设直线y=12x−1的倾斜角为αtan所以直线l的斜率k=4又因为直线l过点0,2,所以直线ly即4【解后反思】因为直线斜率是倾斜角的正切值,所以借助相关三角公式求出倾斜角的正切值是解决问题的关键.【衍生1】已知直线l是由直线y=2x−1以点0,−1为中央逆时针旋转【衍生2】已知直线y=2x−1以点0,−1为中央逆时针旋转α角α为锐角1.4直线点斜式方程的求法【母题】求满意下列条件的直线方程:(1)经过点P2,−1且与直线(2)经过点Q−1,3且与直线【解题策略】按照平行或垂直关系求出斜率,然后按照直线的点斜式直线方程y−y0解(1)按照平行关系得所求直线斜率为k=−23,再由点斜式得直线方程为y+1=−2(2)按照垂直关系得所求直线斜率为k=2,再由点斜式得直线方程为y−3=2x+【解后反思】一点和一方向决定一条直线,所以点和斜率是直接写出直线方程的重要根据.若碰到有斜率不存在的情形要单独研究.【衍生1】经过点−3,2,倾斜角为【衍生2】已知点A1,2,B3【衍生3】已知A1,1,B2,2,C3,−3,求点D1.5两直线的位置关系【母题】已知直线l1:x+my(1)l1与l2(2)l1⊥(3)l1/(4)l1与l2【解题策略】已知直线l1:A1x+B1y+(1)直线l1和l2相交⇔方程组有唯一解,且交点坐标就是方程组的解,即A1B(2)直线l1和l2平行⇔方程组无解⇔A1B2(3)直线l1和l2重合⇔方程组有无数个解⇔A1B2(4)直线l1和l2垂直⇔解(1)当直线l1与l2相交时,由l1与1即m解得m≠−1且故当m≠−1且m≠3时,l1(2)同理,当l1⊥1解得m=1故当m=12时,(3)当l1/1解得m=−故当m=−1时,(4)当l1与l21解得m=3故当m=3时,l1与【解后反思】两直线位置关系的判定既可以用斜率和截距解决(但斜率不存在的情形要单独考虑),也可以用方程组解的情况举行分析,但倘若题目所给直线方程是普通式,那么用后者的结论更好一些.【衍生1】(1)已知两条直线l1:a−1x+2y+A.-1B.2C.0或-2D.-1或2(2)“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线aA.充要条件B.充足不须要条件C.须要不充足条件D.既不充足也不须要条件【衍生2】已知两条直线l1:ax−by+4=0(1)l1⊥l2,且l1(2)l1/1.6两点间距离公式【母题】已知点A1,2和点(1)求线段AB(2)若P为y轴上一点,求PA+(3)若Mx,y为直线AB上一点,求【解题策略】(1)直接用两点间距离公式AB=(2)首先借助图形发现点P位于线段AB与y轴的交点位置时PA+PB(3)首先要发现x+12+y2表示点N−1,0与直线AB上的点解(1)直接由两点间距离公式得A=(2)由图1.4可知,当点P不与点C重合时,三角形ABPP当点P移动到与点C重合时,有P所以当点P移动到与点C重合时,PA+P图1.4(3)因为x+12+y2表示点N−1,0与直线AB上的点图1.5又因为直线AB4所以点N到直线AB4所以x+12+y2【解后反思】因为x2−x12+y2−y12表示两点间距离,所以平方和开方的式子往往都可以看成两点间距离(倘若没有根号则可以看成距离的平方).例如:x2+y−12可以表示点x【衍生1】已知点A0,3和点(1)求线段AB(2)若Mx,y为直线AB上一点,求【衍生2】求函数y=x【衍生3】已知A4,0,B0,4两点,从点P2,0射出的光芒经直线AB反射后再射到直线OA.210B.6C.33D.1.7点到直线的距离公式【母题】(1)已知点A−3,−4,B6,3(2)已知直线l1的方程为3x+4y−7=0,直线l2的方程为6【解题策略】(1)直接使用点到直线的距离公式:平面上随意一点P0x0,y0到直线l:Ax+By+C=0的距离解(1)由题意及点到直线的距离公式得−解得a=−13或(2)由直线l1的方程为3x+4y−7=03再由两平行直线间的距离公式求得直线l1与l21【解后反思】使用点到直线的距离公式时,直线的方程必须是普通方程,而使用两平行线间的距离公式时,两直线方程必须是普通方程,并且x,y【衍生1】已知A−2,−3,【衍生2】直线l1:2x−y−2=0【衍生3】已知正方形的中央为直线2x−y+2=0和1.8动直线过定点问题【母题】(1)直线y=a(2)直线a−1【解题策略】动直线过定点问题普通可以先转化成点斜式方程结构:y−y0=解(1)由直线方程y=ay由此可得该直线过定点3,2(2)直线方程a−1y然后得到其点斜式方程为y由此可得该直线过定点−2,【解后反思】动直线过定点问题的解决主意:主意一直接对参数赋两个不同的值,从而得到两个详细的方程,联立这两个方程,所得解即为所求定点.主意二变形构造出点斜式结构得到定点.主意三借助相交直线系方程来求定点.方程A1x+B1y+C1+λA2x+B2y+C2=0表示过直线l1:A1x+B1y【衍生1】已知直线方程为2+λ(1)求证:不论λ取何实数值,此直线必过定点.(2)过该定点引向来线,使它夹在两坐标轴间的线段被该点平分,求这条直线的方程.【衍生2】设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点Px,yA.25B.5C.52D.【衍生3】在平面直角坐标系中,已知点P−2,2,对于随意不全为零的实数a,b,直线l的方程为ax−1+by+2=0,若点1.9直线与直线方程的解【母题】若两条直线l1:a1x+b1y=3,l2【解题策略】若点在直线上,那么将点作为对应的解代入相应方程就能使方程成立.反之,符合直线方程的解的对应点就在该直线上.解将l1与l2的交点P1,2代人l1a(1)a(2)由(1)(2)两式的结构特点易知:点Aa1,b1与Ba2,b2的坐标都满意方程x+2y=【解后反思】“合必在,在必合”也就是“符合方程的解其对应点就在该曲线上,反之,点在曲线上其对应解就满意方程”.例如,若点m,n是方程Ax+By+C=0的一组解,那么就有Am+Bn+C=0【衍生1】判断直线l1:x−3y+1=0【衍生2】判断直线l1:x−3y+1=0与直线l2:x−3y−7=0的位置关系,并解释方程xA.过点P且与l垂直的直线B.过点P且与l平行的直线C.不过点P且与l垂直的直线D.不过点P且与l平行的直线1.10中点坐标公式与中央对称问题【母题】(1)求点A2,−2关于点M−1(2)求直线l1:y=2x+1关于点【解题策略】中点坐标公式:若点x1,y1和点x2,y2的中点为x若点x1,y1与x2,y2关于点x0,y解(1)设点B的坐标为x,yx所以点B的坐标为−4,(2)解法一在直线l1上取两点0,1和1,3,它们关于M3,2对称的点坐标分离为6按照两点式方程得x−65−6=解法二因为中央对称不改变直线斜率,所以对称直线斜率k=2,在直线l1上取一点0,1,其关于M3,2对称所得点坐标为6,3解法三在直线l2上任取一点x,y,其关于点3,2的对称点为6−x,4−y,因为这个对称点在直线l1:y【解后反思】中央对称的本质是对称中央就是这两个对称点的中点,而直线关于某点中央对称往往可以在直线上任取两个点再求这两个点所决定的直线即可.倘若结合图像研究直线关于某点的对称问题,就会发现中央对称不会改变直线的斜率(两条中央对称的直线是互相平行的),这样只需要找到一个对称点就可以用点斜式写出直线的方程.用“代点法”可以更快地写出中央对称的直线方程.【衍生1】(1)已知点A2,2,B3,0,若点B是线段(2)过点P3,0作向来线,使它夹在两直线l1:2x−y−2=0【衍生2】(1)若直线y=x−1关于点0,2对称的直线为l(2)已知直线l与曲线2x+y−8x−3y+10=0交于A,1.11轴对称问题【母题】(1)若点a,b关于直线y=2x的对称点在x轴上,则A.4a+3bC.2a+3b(2)如图1.6所示,光芒沿直线l1:x−2y+5【解题策略】(1)点关于直线轴对称可以先设出对称点坐标,然后借助轴对称关系“两对称点连线与对称轴垂直且这两点的中点在对称轴上”来列方程组求解.图1.6(2)可以先决定已知直线与对称轴相交,先求出交点,再求出一个对称点,可由两点式写出对称直线方程,也可设直线x−2y+5=0上随意一点Px0,y0关于直线l解(1)设点a,b关于直线y=2xb解得4a+3b=0(2)解法一联立l1与lx解得x所以反射点M的坐标为−1,取直线x−2y+5=0上一点P−5,0,设点P关于直线lk(1)而PP′的中点Q的坐标为x0−52,y023(2)联立(1)(2)两式,得y解得x按照直线的两点式方程可得所求反射光芒所在直线的方程为29x−解法二设直线l1:x−2y+5=0上随意一点Px0,yy(3)又PP′的中点Qx+x03(4)联立(3)(4),得y解得点P的横、纵坐标分离为x代人方程x−2y+5=所以所求反射光芒所在的直线方程为29x−【解后反思】解决点关于直线对称问题要控制两点,若点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,且直线l与直线MN垂直.若直线l1,l2关于直线l对称,则有如下性质:(1)若直线l1与l2相交,则交点在直线l上;(2)若点B在直线l1上,则其关于直线l直线l1逆时针旋转α角后与直线l2重合,则有tan【衍生1】(1)直线3x+4y−5(2)直线3x+4y−5【衍生2】(1)光芒从A3,2射人,被x轴反射后经过点B−(2)光芒沿直线l1:x−2y+5=0射人,碰到直线l2:3x−2y+7=0后反射,求反射光线所在直线l3的方程.【衍生3】(1)△AB(2)已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分离是−4A.−2,4C.2,4D.(3)等腰三角形两腰所在直线的方程分离为x+y−2=0第2章圆的方程及其性质2.1圆的标准方程和普通方程【母题1】若方程x2+(1)实数m的取值范围.(2)圆心坐标和半径.【解题策略】通过配方把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0变成x+D22解(1)据题意知D即4解得m故m的取值范围为−∞,(2)将方程x2+y2+2mx−2y+m2+5解后反思方程Ax2+Bxy+Cy2【衍生1】若x2+y2+λ−1x+2λy+λ=0A.−2,−4C.−2,−4或【衍生3】设方程x2+(1)求m的取值范围.(2)求该圆半径的范围.(3)求圆心的轨迹方程.【母题2】(1)求过三个点O0,(2)经过两点A1,−1和B−1(3)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x−y=0相切,且在直线x−y−【解题策略】(1)过三点求圆的方程可以用圆的普通方程代入三点列出三元方程组进行求解,也可以先求出两条弦的中垂线交点然后写出圆的标准方程举行求解.(2)解题主意与(1)基本一致.(3)无论用圆的普通方程还是标准方程,都需要按照三个条件列出三个自立的方程.由圆心在直线上,可将圆心直接代入直线方程,列出第一个方程;由直线与圆相切的条件可以得到半径等于圆心到直线的距离,从而列出第二个方程方程;由直线与圆相交弦长条件结合图形,运用垂径定理先求出圆心到该直线的距离,再用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离,便可列出第三个方程;联立这三个方程即可求解.解(1)解法一设所求的圆的方程为x因为点O0,0,M1F解此方程组,可得D=−所以所求圆的方程为x解法二因为圆心在圆的中垂线上,所以两条弦中垂线的交点就是圆心.弦OMy(1)弦ONy(2)联立(1)(2),解得x所以圆心坐标为4,−故所求圆的标准方程为x(2)解法一设圆的方程为x−a2+y−程,得a解得a所以,所求圆的方程为x−1解法二由圆的几何性质可知,圆心一定在弦AB易得AB的垂直平分线为y=再结合题意,圆心在直线x+yy解得x故圆心C的坐标为1,1,半径r所以,所求圆的方程为x−1(3)解法一因为所求圆的圆心在直线x+y=0上,所以可设所求圆的圆心为又因为所求圆与直线x−y=0相切,所以半径又因为所求圆在直线x−y−3=0上截得的弦长为6,圆心a,−a到直线x−y−3=0的距离d=2a−32解法二设所求圆的方程为x−a2+y−b2=r2r>0,则圆心r即2(1)因为所求圆与直线x−ya(2)又因为圆心在直线x+ya(3)联立(1)(2)(3),解得a故圆C的方程为x−1解法三设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey因为圆心在直线x+y=0上,所以D(1)又因为圆C与直线x−y−即D所以D(2)又知圆心−D2,−E2到直线xd所以D(3)联立(1)(2)(3),解得D故所求圆的方程为x2+y2−2【解后反思】求圆的方程需要三个自立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个自立方程.充足地分析条件关系和图形特征(尤其涉及弦的问题时借助垂径定理)往往可以简化问题从而简化运算.【衍生4】(1)过点A1,−1,BA.x−32+C.x−12+(2)已知平面上三个定点A−1,0,B【衍生5】(1)圆心在y轴上,半径长为1,且过点A1,A.xB.xC.xD.x(2)圆心在直线x−2y−3=【衍生6】(1)在平面直角坐标系中,经过0,0(2)已知圆心在直线y=−4x上,且圆与直线l:x【母题3】(1)方程y=1A.两个半圆B.两个圆C.圆D.半圆(2)若曲线y=1−x2与直线y=x【解题策略】(1)通过将方程两边同时平方把陌生的方程变形成认识的圆的方程,同时担心变形过程中x,y(2)通过将方程两边同时平方把陌生的方程变形成认识的圆的方程,同时担心变形过程中x,y变量范围的变化,然后借助图像解(1)把y=1y移项得x因为平方前1≥yx所以y=1(2)如图2.1所示,y=1−x2表示圆心在原点、半径为1的半圆,而y=x+b表示斜率为1、纵截距为b图2.1【解后反思】把陌生的方程变形成认识的方程是解决问题的基本途径,但是变形过程中一定要担心x,y范围的变化,变形后的范围要与变形前保持一致.数形结合是解决这类问题的重要【衍生7】(1)方程x=1A.两个半圆B.两个圆C.圆D.半圆(2)方程y=1−x2【衍生8】方程y−1A.一个椭圆B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【衍生9】方程1−x2=kx2.2圆的轨迹方程求法【母题】(1)点P4,−2与圆xA.xB.xC.xD.x(2)已知A−2,0,B1,0两定点,倘若动点PA.πB.4πC.8πD.【解题策略】(1)设所求轨迹上的动点坐标为x,y,倘若该坐标可以直接表示出圆x2+y2(2)设所求轨迹上的动点坐标为x,y,结合已知条件用动点坐标表示P解(1)设圆上随意一点坐标为x1,y1,中点坐标为x即x代人x2+2化简得x所以答案为A.(2)设动点轨迹坐标为x,y,则由Px化简得x所以轨迹曲线为以2,0为圆心,以2为半径的圆,该圆面积为4所以答案为B.【解后反思】求动点的轨迹方程的几种主意:(1)倘若能够判断出轨迹对应曲线类型,普通设出曲线方程,用待定系数法求解;(2)倘若无法直接判断出曲线类型且形成轨迹的约束条件的变量仅含动点坐标,设动点坐标为x,y并直接把坐标代入约束条件,化简可得轨迹方程;(3)倘若既不是(1)也不是(2),那么可设动点坐标为x,y,同时设出其他变量,然后按照条件列出方程组,消元只剩下x和【衍生1】已知圆C:x−12+y−12=9,过点A【衍生2】已知圆x2+y2=4上一定点A(1)求线段AP(2)若∠PBQ=90∘【衍生3】已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y(1)求圆C1(2)求线段AB的中点M的轨迹C【衍生4】设定点M−3,4,动点N在圆x2+y2=4上运动,以O2.3直线与圆的位置关系【母题1】(1)若直线4x−3y+a=0与圆x(2)已知点Ma,b在圆O:x2+y2=A.相切B.相交C.相离D.不决定【解题策略】判断直线与圆的位置关系既可以联立直线与圆的方程消元后用判别式的符号来决定,也可以用圆心到直线的距离与半径比较大小决定.解(1)解法一代数法.由方程组4消去y,得25则有Δ(1)当直线和圆相交时,Δ>0,即−(2)当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或(3)当直线和圆相离时,Δ<0,即a<−50解法二几何法.圆x2+y2=100的圆心为0d(1)当直线和圆相交时,d<r,即a5<10(2)当直线和圆相切时,d=r,即a5=10,则a=(3)当直线和圆相离时,d>r,即a5>10,则a<(2)因为Ma,b在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1所以答案为B.【解后反思】判断直线与圆的位置关系的常见主意:(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述主意中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【衍生1】(1)已知直线l:3x+y−6=0和圆C:(2)已知圆C:x−32+y−42=4和直线【衍生2】(1)“a=3”是“直线y=x+4与圆A.充足不须要条件B.须要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不须要条件(2)圆x2+y2−2x+4yA.相离B.相切C.相交D.以上都有可能【衍生3】若过点A4,0的直线l与曲线x−22+y2=A.−3,3C.−33,3【母题2】已知实数x,y满意方程x(1)yx(2)y−x【解题策略】先转化成直线与圆的位置关系,再结合已知条件求解.解(1)原方程可化为x−22+y2=3,表示以yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx=k,即当直线y=kx与圆相切时(图2.2),斜率k取最大值或最小值,此时2k−0k2+1=3,解得k=±(2)y−x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时(图2.3),纵截距b取得最大值或最小值,此时2−0+b2=3图2.2图2.3【解后反思】(1)令y−bx−a=k,则有y−b=kx−a(2)令mx+ny=c的直线方程y=−mn偶尔也可以用圆的三角参数方程举行代换变形解决.【衍生4】(1)倘若实数x,y满意等式x−22+(2)设点Mm,n为圆x−22+y2=3上的随意一点,求n−m2.4直线与圆相交弦长问题【母题1】已知直线l:3x−y−6=0与圆x2【解题策略】这类题要先借助垂径定理构造直角三角形,再用勾股定理求解.圆心到弦的距离往往可以用点到直线的距离公式计算.解由x2+y2−2x−4y=0收拾得x−12+y−22=5,所以该圆的圆心坐标为1,2,半径r=5【解后反思】有关弦长问题的两种解题主意.(1)几何法:直线被圆截得的半弦长为l2,弦心距d和圆的半径r构成直角三角形,即(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长AB=1+k2【衍生1】(1)直线y=2x+3(2)直线x−2y−3=0与圆C:x−22+yA.32B.34C.25【衍生2】(1)已知过点M−3,−3的直线l与圆x2+y2+4y−21=0相交于(2)已知圆心为C4,3的圆经过原点O.设直线3x−4y+15=0与圆【衍生3】直线x+y+2=0分离与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆xA.[2,6]B.[4,8]【母题2】圆C:x−12+y−(1)证实:不论m取何实数,直线l与圆恒相交于两点.(2)求⊙C与直线l【解题策略】直线恒过定点问题既可以转化成点斜式方程解决,也可以借助相交直线系方程解决;定圆的动弦过圆内一定点求最短弦问题,主要按照垂径定理知圆心到弦的距离最大时弦最短,由此可知动弦与圆心和定点连线垂直时弦最短(此时圆心到弦的距离最大,同时定点就是该弦的中点).解(1)将方程2m+1x+m+1直线l恒过两直线2x+y−7=2解得x=3,y=1.所以交点坐标为M3,1.又因为3−12+1−22(2)由圆的性质可知,当l⊥CC所以弦长为l=2【解后反思】若动直线过定点,那么定点在圆内或圆上就是直线与圆总有公共点的根本缘故,倘若直接用代数法则转化成Δ>0恒成立问题;由垂径定理得圆的半径、半弦长和弦心距满意勾股定理关系,在半径一定条件下弦心距与弦长是反向变化的(弦心距变大,弦长变短;反之弦心距变小,弦长变长).【衍生4】已知点M1,0是圆C:【衍生5】已知圆C:x−32+(1)求证:不论k取什么值,直线和圆总相交.(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.【衍生6】已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P−1,2(1)当α=135∘时,求(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB2.5直线与圆的相切问题【母题】(1)过点3,1作圆x−12+y2A.2x+y−C.x−2y−(2)已知圆C:x−12+y−22=4,则过点3,5并与圆C相切的切线方程为.(3)过点P1,−2作圆A.y=−34C.y=−32【解题策略】直线与圆相切可以用Δ=0或d=r解决,切线长、半径和点到圆心的距离构成直角三角形也往往是解决问题的关键.过圆外一点作圆的切线,恰能作出两条切线,解(1)因为过点3,1作圆x−12+y2=r2又因为圆心与切点连线的斜率k=1则圆的切线方程为y−1=−2x(2)因为点3,5到圆心的距离为4+9=13当切线的斜率存在时,设方程为y−5=kx−3,由圆心到切线的距离d=−2k+3k当过点3,5的直线斜率不存在时,直线方程为x综上可知,切线方程为5x−12y+45(3)圆x−12+y2=1的圆心为C1,0,半径为1,以PC=1−12+所以答案为B.【解后反思】过已知圆外一点求切线的方程普通有三种主意:(1)设切线斜率,用判别式法.(2)设切线斜率,用圆心到直线的距离等于半径长.(3)设切点x0,【衍生1】(1)过点P−1,2且与圆(2)过点A3,1和圆x−22A.y=1B.C.x=3或y=【衍生2】已知圆C:x−12+y−22=2,过点P2,−1(2)求过P点的圆C的切线长.【衍生3】由直线y=x+1上的点向圆C:xA.1B.2C.7D.32.6圆与圆的位置关系问题【母题】已知两圆x2+y2−2(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)当m=45【解题策略】求解两圆的位置关系问题时,首先要计算出三个变量一两圆圆心距、两圆半径和两圆半径差的绝对值,然后借助圆心矩与另外两个量的大小关系作判断,即可求解.圆的弦长问题通常利用垂径定理和勾股定理解决.解因为两圆的标准方程分离为x−12+y−32=11,x−5(1)当两圆外切时,5−12+6−(2)当两圆内切时,因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5,所以61−m−11=5(3)当m=45x得两圆的公共弦所在直线的方程为4故两圆的公共弦的长为2【解后反思】(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤:(1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径.(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d,r1+(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,【衍生1】当实数k为何值时,圆C1:x2+y2+【衍生2】(1)圆C1:x2+yA相离B.相切C.相交D.内含(2)若圆C1:x2+y2=1A.21B.19C.9D.-11【衍生3】已知圆C1:x2+y(1)当m=1时,圆C1与圆(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含?【衍生4】(1)已知圆C1:x2+y2−6x−7(2)圆x2+y2−4第3章椭圆方程及其性质3.1用椭圆定义求动点轨迹方程【母题】(1)已知△ABC的周长为8,且点A,B的坐标分离为−1(2)已知A−3,0,B3,0两点,动点M在圆x+32+y2=100【解题策略】先按照条件分析出动点到两个定点之间的距离和为定值,然后写出椭圆的标准方程和相应的x,y解(1)设动点C的坐标为x,y,因为△ABC的周长为8,且A,B的坐标分离为A所以动点C的轨迹是一个椭圆,且a=3由b2+c2=a2,得x(2)设动点P的坐标为x,yA所以动点P的轨迹是一个椭圆,且a=5由b2+c2=a2得x【解后反思】此类问题解决的关键点在于按照条件能够分析出动点与两个定点之间的和为定值,而该关键点可以由几何图形分析得出,也可以由代数式变形得出,无论哪种类型都必须担心x,y的范围.【衍生1】已知一动圆与圆O1:x+【衍生2】已知△ABC中,点A,B的坐标分离为−1,0,1,0【衍生3】已知△ABC中,点A,B的坐标分离为−23.2椭圆的焦点三角形【母题1】已知椭圆C:x225+y216=1,F1,F2分离为左、右焦点,P是椭圆(2)若∠F1MF2=π3,求【解题策略】本题是PF1+PF2=2a解(1)因为PF1=4,按照PF1因为F1Fcos(2)因为P(1)在△F1P即P变形可得P(2)把(1)代入(2)可以求出PS【解后反思】在椭圆的焦点三角形中,借助椭圆定义和余弦定理可以很好地完成PF1+PF2,PF【衍生1】点P是椭圆x25+y24=1上一点,F1,【衍生2】已知椭圆x2a+y2=1a>1的左、右焦点分离为F【衍生3】已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>【母题2】(1)椭圆x29+y24=1的焦点为F1,F2,点(2)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2【解题策略】(1)焦点三角形中,若∠F1PF2=90∘,那么点(2)既可以建立离心率与焦半径的函数关系解决,也可以分析图形发现点P在短轴端点处∠F1PF2最大,按照解(1)因为∠F1PF2=90∘,所以点P既在椭圆x29所以由方程组x29+y24=1,x(2)解法一因为椭圆上存在一点P使得∠F1P又因为P所以e由均值定理得PF1PF2+所以e2≥12.又因为0<e解法二因为椭圆上存在一点P使得∠F1PF2=∠则1从而有sin即当点P在短轴端点时O即e又因为0<e<1,所以【解后反思】(1)在焦点三角形中,当∠F1PF2=90∘时,可以用椭圆与以F1F2为直径的圆的交点去求点P坐标;当∠F1PF2≠90∘时,可以结合定义和余弦定理计算出PF1⋅P(2)在焦点三角形中,按照∠F1PF2能取到的θ值,就能得出点P在短轴端点时sin1【衍生4】已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1,F2,问:椭圆上是否存在点P使得∠F1PF2=90∘?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.【衍生5】椭圆【衍生6】已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b23.3含参方程表示椭圆的条件【母题】若方程x2a2+y2a+6=A.a>3B.C.a>3或a<−2D.(2)已知椭圆mx2+3y2−6m=【解题策略】(1)所给方程已经是标准形式,所以可以直接按照条件决定半长轴a与半短轴b,并按照它们的大小关系和符号(大于0)来求解范围.(2)首先把方程化成标准方程,再执行(1)的步骤.解(1)因为椭圆焦点在x轴上,所以有a解得a>3或−6<a<(2)化椭圆方程为标准方程得y由题可知焦点在y轴上且c=2,所以a2=2m,b2=6.再由【解后反思】解这类题首先确认是否为标准方程,化成标准方程后按照条件再决定半长轴a与半短轴b,然后才是担心值的大小与符号.【衍生1】椭圆x2m+y24=1m>A.5B.3C.5或3D.8【衍生2】“2<m<6”是“方程xA.充足不须要条件B.须要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不须要条件【衍生3】椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是3.4待定系数法求椭圆的标准方程【母题】求满意下列条件的椭圆标准方程:(1)焦点在y轴上,且过0,2(2)离心率为32,且过点2,(3)长轴长是短轴长的2倍,且过点2,−【解题策略】首先要决定标准方程的类型(无法决定则分类研究),按照方程类型列出标准方程,然后代入条件举行求解.解(1)因为焦点在y轴上,所以可以设椭圆方程为y因为椭圆过0,24解得a2=所以椭圆标准方程为y24(2)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为x因为离心率为32且过点2,e解得a2=4,b2当焦点在y轴上时,设椭圆方程为y因为离心率为32且过点2,e解得a2=16,b2综合以上,椭圆的标准方程为x24+y2=(3)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为x因为长轴长是短轴长的2倍,且过点2,−a解得a2=148,b2当焦点在y轴上时,设椭圆方程为y因为长轴长是短轴长的2倍,且过点2,−a解得a2=52,b2综合以上,椭圆的标准方程为x2148+y237【解后反思】普通决定椭圆标准方程类型后,因为惟独两个系数待定,所以往往只要列出关于系数的两个方程就可以求解.【衍生1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分离为F1,F2,离心率为33,过F2的直线A.x23+yC.x212+y【衍生2】过点3,−5,且与椭圆【衍生3】焦距是8,离心率等于0.8的椭圆的标准方程为______________________3.5椭圆离心率的求法【母题】(1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F,CA.35B.57C.45(2)设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分离为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A【解题策略】(1)本题要充足担心△ABF和△(2)条件AD⊥F1B转化成仅含a,解(1)如图3.1所示,设AF=cos解得x=6图3.1所以∠AFB=90∘,由椭圆及直线关于原点对称可知AF1=8,∠FAF1=∠FAB+∠(2)由题意知,焦点坐标分离为F1−c,0,F2c,0,其中c=a2−b2,因为过点F2且与x轴垂直的直线为x=c,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为Ac,b2a,Bc,−b2a.因为AB平行于y轴,且F1O=OF2(O为坐标原点),所以F1D=DB,即D为线段F1B的中点,所以点D【解后反思】利用椭圆几何性质的注重点及技巧:(1)注重椭圆几何性质中的不等关系(在求与椭圆有关的一些范围问题时,常常用到x,y的范围,离心率的范围等不等关系).(2)利用椭圆几何性质的技巧(求解与椭圆几何性质有关的问题时,理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系).求椭圆的离心率问题的普通思路:求椭圆的离心率或其范围时,普通根据题设得出一个关于a,b【衍生1】已知椭圆短轴上的两个顶点分离为B1,B2,焦点为F1,F2【衍生2】过点M1,1作斜率为−12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1a【衍生3】已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点,A,B分别为椭圆C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与A.13B.12C.233.6直线与椭圆的位置关系【母题1】已知直线y=x+m和椭圆2x2+3(1)直线与椭圆相交.(2)直线与椭圆相切.(3)直线与椭圆相离.【解题策略】这类题普通用判别式举行求解:(1)Δ>0(2)Δ=0(3)Δ<0解联立方程得2消去y,得5按照判别式有Δ(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0,则(2)直线与椭圆相切⇔Δ=0,则(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0,则m<−5【解后反思】直线与椭圆的位置关系问题主要用判别式举行计算,结合图形往往可以更好地分析位置关系.【衍生1】已知直线y=x−12【衍生2】已知椭圆4x2+y2=1及直线【衍生3】已知椭圆C:x24+y23=1,点P1,32【母题2】已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y2=1的右焦点,交椭圆于【解题策略】椭圆相交弦长度问题,主要通过联立直线与椭圆的方程并用韦达定理来求解,椭圆的弦长公式为A=解由椭圆方程知a2=又因为右焦点F3,0,直线l的方程为x消去y,得5设A,B两点坐标分离为xx所以A【解后反思】解相交弦长问题时,倘若题目有参数,往往需要考虑条件Δ>0【衍生4】(1)已知直线y=x+2与椭圆x29+y2=(2)已知椭圆x24+y2=1,过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A,B【衍生5】已知动点P与平面上两定点A−2,0,B(1)求动点P的轨迹方程C.(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当MN=423时,求直线l的方程.【衍生6】已知椭圆ax2+by2=1与直线x+y【衍生7】已知点F1,F2分离为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过点F2作倾斜角为3.7椭圆的相交弦与共轭直径【母题】已知椭圆x22(1)求过点P12,12且被点P(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.(3)P,Q为椭圆上两点,O为原点,若直线OP,OQ的斜率之积为−【解题策略】本题主要为弦中点问题,普通可以用韦达定理来解决,但用“设点一代点一作差一变形”的方式更容易一些.解(1)设直线l与该椭圆交于点x1,x(1)x(2)x(3)y(4)(2)-(1),得x变形可得x(5)把(3)(4)代人(5),得x再变形可得y所以直线l的斜率为−12由点斜式得y化简得直线l的方程为2(2)设斜率为2的平行弦所在直线l与该椭圆交于点x1,y1,x2,y2x(1)x(2)x(3)y(4)y(5)(2)-(1),得x变形可得x(6)把(3)(4)代人(6),得x再变形可得y所以斜率为2的平行弦中点M的轨迹方程为x(3)设P,Q的坐标分离为x1,y1,x2,y2,且x(1)x(2)x(3)y(4)y(5)(1)+(2),得x变形得x再变形可得2(6)又因为2(7)将(7)代人(6),得x所以PQ中点的轨迹方程为x2+2椭圆共轭直径的性质:设AC,BD为椭圆的一对共轭直径,若A,B两点的坐标(1)x2=−aby(2)x12(3)x1y(4)OA2(5)S△A【衍生1】已知P4,2是直线l被椭圆x236+【衍生2】中央在原点,一个焦点为F150,0的椭圆截直线y=3【衍生3】椭圆mx2+ny2=1与直线y=1−x交于M,NA.22B.223C.−93.8椭圆顶点处的直角张角【母题】已知:椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0,Aa,【解题策略】本题要证实的是充要条件问题,往往要把充足性和须要性分成两个问题证实.须要性是由“B,C,D三点共线”证实“AC⊥AD”,即证实kAC⋅kAD=−1.充足性是由“AC⊥AD证实(1)先证须要性:因为B,C,D三点共线,所以过点B的直线与椭圆交于点设CD直线方程为x=联立椭圆方程,得b消去x,得b收拾可得y设C,D坐标分离为xyy因为x==所以k即AC⊥(2)再证充足性:设CD直线方程为x=b消去x,得b收拾可得a设C,D坐标分离为xyy又因为AC⊥k即k用韦达定理代人并化简,可得n所以CDx所以CD直线过点aa2−b2综合以上,本题得证.【解后反思】本题不仅涉及了充要条件问题、三点共线问题、垂直问题的解决主意,而且还得到了一个重要的结论:过椭圆顶点的直角张角弦所在直线过固定点.【衍生1】已知椭圆方程为x24+y2=1,过点M−65,0的直线l与该椭圆交于A,B【衍生2】已知椭圆方程为x24+y2=1,过点A0,1作两条互相垂直的直线分离与该椭圆交于M,N两点,点B坐标为第4章双曲线方程及其性质4.1用双曲线的定义求双曲线的轨迹方程【母题】已知两圆C1:x+42+y2=2,C2A.x=0B.C.x22−y214=1【解题策略】按照条件分析出平面内动点与两定点的距离之差的绝对值为定值,进而按照要求可求出双曲线方程.解(1)当圆M与圆C1、圆C2同时内切或同时外切时,点M在y轴上,所以x(2)当圆M与圆C1内切、与圆C2外切时,有MC2(3)当圆M与圆C1外切、与圆C2内切时,有MC1所以点M的轨迹为双曲线,且b2=c2−a综上,动圆圆心M的轨迹方程为x22−y214【解后反思】利用双曲线的定义时要注重:动点到两定点的距离之差的绝对值为定值2a;两定点间的距离2c要大于这个定值;要【衍生1】已知点F1−3,0和F23,0,动点P到F1,F2的距离之差为4,则点C.y24−x【衍生2】已知点F10,−3和F20,3,动点P【衍生3】已知圆C1:x+32+y2=1和圆C2:x−32+4.2双曲线的焦点三角形【母题】已知双曲线x29−y216=1的左、右焦点分离为F1,F2,点P在双曲线上,若P【解题策略】在△F1PF2解由题意知a=3,b=4不妨设点P在双曲线的右支上,则PF1又因为PF1⊥PF2又因为PF1−PF22=36,所以又因为S△F1PF2=12×【解后反思】以椭圆上的一点和两焦点为顶点所构成的三角形叫焦点三角形,该三角形的两边之差为2a,第三边的长度为2c,充足利用三角形的性质,再结合三角形的正弦定理、余弦定理和勾股定理举行求解.偶尔要担心代数式的和、差、积等的特征【衍生1】双曲线C:x29−y216=1的左、右焦点分离为F1,F2A.16B18C.30D.18或30【衍生2】已知F1,F2分离为双曲线C:x2−y2=1的左、右焦点,点P在CA.2B.4C.6D.8【衍生3】已知双曲线x2−y224=1的两个焦点为F1,F2,PA.48B.24C.12D.6【衍生4】已知F是双曲线C:x2−y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,点A4.3双曲线的标准方程【母题】(1)已知双曲线的离心率为2,两焦点坐标分离为−4,0,4,A.x24−yC.x210−y(2)当双曲线M:x2m2−【解题策略】(1)待定系数法求双曲线的标准方程:先由焦点求出c,再由离心率求出a,按照c2=b2+a(2)按照标准方程有a2=m2,b解(1)已知双曲线的离心率为2,焦点坐标分离是−4,0,4,0,则c=4,a=2(2)由题意可得c2=m2+2m+6=m+12+5m>−3,当m=−1时,c2取得最小值,即焦距2c取得最小值,此时双曲线【衍生1】已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分离A.x24−yC.x2−y2【衍生2】已知双曲线x2a2−y2b2=1A.x24−yC.x22−y【衍生3】设双曲线x2a2−y2【衍生4】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>A.x28−yC.x25−y4.4双曲线的离心率与渐近线【母题】(1)双曲线x2a2−y2b2=1a>C.y=±22(2)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>A.2B.2C.322D.【解题策略】双曲线的离心率是c与a的比值,而渐近线的斜率是b与a的比值,按照c2=b2+解(1)解法一由题意知e=ca=3,所以c=3a,b解法二由e=ca=1+ba2=3,得ba(2)由题意知e=ca=1+b2a2=2,所以ba=1.所以双曲线的渐近线方程为x±y=【解后反思】对于焦点在x轴上的双曲线,其渐近线斜率与离心率关系为e2+k2=1;对于焦点在y轴上的双曲线,其渐近线斜率与离心率关系为e【衍生1】在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2−y2b2【衍生2】设点F1,F2分离是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点,A.5B.2C.3D.2【衍生3】在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:y2a2−x2b2=1A.43B.C.169D.4.5双曲线的渐近线方程与标准方程的关系【母题】(1)双曲线x2a2−y29=1a(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0【解题策略】双曲线x2m2−y2解(1)由题意可得3a=35,所以(2)由双曲线的渐近线方程为y=±23x,可设双曲线方程为x29−y24=λλ【解后反思】求双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0或y2a2−x2b2=1a>0,b【衍生1】以椭圆x2+4y2=【衍生2】求与双曲线x29−y216=1有共同的渐近线,且经过点4.6一类双曲线离心率求法问题【母题】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分离为F1,F2,O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点,直线PO,【解题策略】题目中的条件是围绕焦点三角形给出的,所以利用余弦定理即可获得a,b,c的关系式,再消元变形即可得到离心率e解由题意得PF1=2PF2,由双曲线的定义可有PF1−PF2=2a,可得PF1=4a,PF2=2a.又因为F1O=F2O,PO【解后反思】倘若题目条件与焦点三角形有关,且结果是求离心率,普通有两种模式:一是按照条件列出方程组,分离求出a和c,再求离心率;另一种是无法直接求出a和c,但结合三角形相关定理可以得到a,b图4.1再消去b变形出e即可求解.【衍生1】如图4.1所示,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,点A,A.2B.3C.32D.62【衍生2】已知点F1,F2分离为双曲线x2a2−y2b2A.3+1B.C.2+1D.4.7双曲线离心率范围问题【母题】已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1a>0,bA.1,233C.1,2D.【解题策略】因为双曲线的渐近线与圆有两个不同的交点,所以由d<r可以得到关于a,b,c解由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±bax圆C2:x2+y2−2ax+34a2=0由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得aba2+b2<12a,即c>2b,也即c2>4b2,又知b2=c2−a2,所以【解后反思】在建立起关于a,b,c的关系式后还需要两个关键步骤:一是如何消去b,这往往要把b变形成b2才干由b2=c2−a2来消元;二是把不等式变成只含e的不等式,解不等式后还要担心双曲线离心率e>1这一条件.【衍生1】双曲线x2a2−A.1,3B.C.3,+∞【衍生2】已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分离4.8共焦点的椭圆与双曲线的离心率关系【母题】(1)如图4.2所示,中央在坐标原点的椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,点P是椭圆和双曲线的一个交点,已知∠F1PF2=图4.2(2)已知点F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠A.433B.C.3D.2【解题策略】(1)对焦点三角形用余弦定理,然后利用离心率公式化简变形得离心率的关系式.(2)利用(1)的结论举行求解.解(1)由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令点由双曲线的定义得P(1)由椭圆的定义得P(2)又因为∠F1P(3)D2+P(4)22−P(5)将(4)(5)代人(3),得2再结合离心率公式e1=1(2)由(1)的结论得1e12+3e22=4.再利用三角换元1e1【解后反思】共焦点的椭圆与双曲线离心率的两个异常结论:结论1已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>解释:此结论反映e1,e2,b1,b2之间的等量关系,等式左边是两分式之和,分母分离是e12,e22结论2已知F1,F2为椭圆和双曲线的公共焦点,P为它们的一个公共点,且∠F1PF2解释:此结论反映e1,e2,θ之间的等量关系,等式左边是两分式之和,分母分离是e22,e此两个结论在解决以共焦点的椭圆和双曲线为背景的离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题时,可优化解题过程.【衍生1】已知椭圆与双曲线有公共焦点F1,F2,点P是椭圆和双曲线的一个交点,已知∠F1PF2=60∘,记椭圆与双曲线的离心率分离为eA.22,62C.33,6【衍生2】已知椭圆与双曲线有公共焦点F1,F2,点P是椭圆和双曲线的一个交点,已知∠F1PF2=60∘【衍生3】椭圆C1:x2m2+y24b2=1m>2b>A.m>n且e1e2≥45C.m<n且e1e2≥454.9直线与双曲线的位置关系和交点个数问题【母题】已知双曲线C:x2−y2=4和直线l:y=k【解题策略】先联立直线与双曲线的方程,再研究解的情况来获得交点个数.解联立方程组x2−y2=4,y1(1)则有Δ(1)当1−k2=0,即k=±1时,解方程得x=52(2)当1−k2≠0,Δ>0,即k(3)当1−k2≠0,Δ=0,即k=±共点.(4)当1−k2≠0,Δ<0,即k综上所述,当k=±1或k=±233时,直线l与双曲线C有一个交点;当k∈−233,−1∪−1,1∪1,2【解后反思】联立直线和双曲线的方程,消元后得到的方程可能是一次方程也可能是二次方程,所以必须研究二次项系数是否为零.详细研究情形如图4.3所示.图4.3【衍生1】过原点的直线l与双曲线C:x24−yA.−32,3C.−33,3【衍生2】设双曲线C:x2a2−y2=1a>0与直线l:第5章抛物线方程及其性质5.1待定系数法求抛物线的标准方程【母题】(1)顶点在原点,焦点在y轴正半轴,且焦点到准线的距离为1的抛物线标准方程是___________(2)顶点在原点,且过点P−2【解题策略】用待定系数法求抛物线的标准方程,关键是要决定抛物线标准方程的类型并求出焦点到准线的距离p.解(1)由题意,抛物线的标准方程可以设为x2=2pyp>0,由焦点到准线的距离为1得(2)设抛物线的标准方程是y2=kx或x2=my,代人点P−2,3,解得k=−【解后反思】抛物线标准方程类型决定的主意有对称轴的位置、焦点的位置、准线的位置和开口方向.在决定抛物线标准方程的类型后,只需要一个条件(焦点坐标、准线方程和抛物线上一点)就可以求出参数p的值.【衍生1】(1)顶点在原点,焦点坐标为P−1(2)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P−4,A.y2=−xC.y2=−8x或x2=−【衍生2】(1)如图5.1所示,等边三角形ABO的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E上.求抛物线(2)已知抛物线y2=2pxp>0和点C−4,0,过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于图5.1方程是().A.y2=4xC.y2=8x【衍生3】(1)已知抛物线的顶点在原点,准线方程为x=−(2)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上一点Mm,−3到焦点A.x2=6yC.x2=12y5.2抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程【母题】(1)若抛物线方程为7x+4y2=A.716,0C.−716,0(2)若抛物线y=ax2的准线方程是y【解题策略】已知抛物线的方程求焦点坐标与准线方程,首先要把抛物线方程化成标准形式,然后结合图像决定焦点坐标、准线方程.解(1)将方程化为y2=−74x形式,由此可知抛物线开口向左,2p=74所以答案为C.(2)抛物线的标准方程为x2=1ay,由条件得2=【解后反思】抛物线的标准方程的一次项系数决定其焦点坐标和准线方程,详细关系如下:(1)y2=ax的焦点为a4,(2)x2=ay的焦点为0,a【衍生1】(1)抛物线y=−x2的焦点坐标为 .A.−C.0,−12(2)抛物线y=4A.2B.1C.14D.【衍生2】(1)抛物线y2=8x的焦点到直线x−3A.23C.3D.1(2)若抛物线y2=2pxp>0的准线经过双曲线【衍生3】过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交于抛物线C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则A.5B.2C.23D.5.3用抛物线定义求轨迹方程【母题】过点F0,3且和直线y+3=A.y2=12xC.x2=−12【解题策略】关键是要决定动点到哪个定点的距离和到哪条定直线的距离相等(注重定点不能在定直线上),然后按照抛物线的定义写出轨迹方程.解由题意知,动圆圆心到点F0,3的距离等于其到直线y+3=0的距离,由抛物线的定义知,动圆圆心的轨迹是以点F0,3为焦点和直线y【解后反思】在分析出定点和定直线之后,既要担心动点到定点的距离与动点到定直线的距离是否相等,还要担心定点是否在定直线上和动点坐标的范围.【衍生1】已知点M到点F2,0的距离比到直线l:x+【衍生2】求在平面内过点A−2,0,且与直线x=2【衍生3】已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+5.4抛物线定义与焦半径【母题】(1)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点(2)设抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离是4,则点【解题策略】抛物线上的点与其焦点的连线段称为焦半径,按照抛物线定义每一条焦半径的长度都等于其在抛物线上的点到准线的距离,所以(1)中到y轴的距离需要转化成到准线的距离.(2)中按照焦半径公式可以由焦半径长度算出点的坐标.解(1)如图5.2所示,抛物线的准线l的方程为x=−2,F是抛物线的焦点,过点P作PA⊥y轴,垂足是A,延伸PA交直线l于点B,则AB=2.因为点P到y轴的距离为4,则点P到准线l的距离图5.2(2)按照焦半径公式MF=xM+p2,则有4=xM+22【解后反思】在解决焦半径问题时,除了要借助图形特征外,还要熟练控制焦半径公式:(1)若AxA,yA为抛物线y2=2px(2)若AxA,yA为抛物线y2=−2p(3)若AxA,yA为抛物线x2=2py(4)若AxA,yA为抛物线x2=−2p【衍生1】已知点F是抛物线y=x2的焦点,M,N是该抛物线上的两点,MF+NF=3【衍生2】抛物线C:y=x28的焦点为F,Ax0,y0是C上一点,且【衍生3】已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延伸线交y轴于点N.若M为【衍生4】如图5.3所示,过抛物线y2=2pxp>0的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若图5.3【衍生5】设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点,若FA=3A.π3B.C.π3或2π3D.π45.5抛物线的焦点弦【母题1】如图5.4所示,AB是过抛物线y2=2pxp>0焦点F的弦,AD,BC是准线的垂线,垂足分离为D,C,设点A,(1)求证:AB=(2)求证:1AF(3)求证:y1y2=−p2和(2)既可以用焦半径公式推导证实,也可以构造相似三角形举行推导.(3)设出直线方程,然后联立直线与抛物线的方程,消元后用韦达定理来得出结论,这是典型的代数思维;倘若充足借助抛物线定义和平面图形性质也会得到很巧妙的主意.图5.4证实(1)因为按照抛物线的定义有A所以A(2)证法一由(3)(证实见后)得x1x2=p21==证法二如图5.5所示,过点F作FM垂直AD于点M,过点B作FN垂直x轴于点因为∠所以A所以A故A变形可得1图5.5(3)证法一设过焦点Fp2,0的AB的直线方程为x=myy由韦达定理得y因为y12x证法二如图5.6所示,由抛物线定