学透难点苏科版八年级下册期末备考各章节难点突破题集

学透难点2024年苏科版八年级下册期末备考各章节难点突破题集解析部分:1．某校八年级数学老师们在全年级开展教学创新对比试验，所有班级都被设为实验班或对比班，一学期后对全年级同学进行了数学水平测试，观察实验效果．从实验班和对比班中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表：一、收集、整理数据：实验班20名学生的数学成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，对比班学生数学成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．二、分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：成绩平均数中位数众数实验班8588.5b对比班81.8a74三、描述数据：请根据以上信息，回答下列问题：（1）①补全频数分布直方图；②填空：a＝，b＝；（2）根据以上数据，你认为实验班的数学成绩更好还是对比班的数学成绩更好？判断并说明理由（两条理由即可）；（3）如果我校八年级实验班共有学生900名，对比班共有学生600名，请估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数．【答案】（1）①见解析；②，；（2）实验班的数学成绩更好，理由：实验班成绩的平均数、中位数均比对比班的高；（3）大约有人【要点分析（1）①求出实验班20名学生的测试成绩（满分为的人数，即可补全频数分布直方图；②根据众数和中位数的定义求解可得；（2）根据实验班和对比班样本数据的平均数、中位数和众数判定即可；（3）分别用实验班和对比班的总人数乘以各自样本中成绩不低于80分的学生人数所占比例，相加可得．【解题过程】解：（1）①实验班20名学生的测试成绩（满分为的人数：（人，补全频数分布直方图如图：；②，，故答案为：79.5，89；（2）实验班的数学成绩更好，理由：①实验班样本数据的平均数大于对比班样本数据的平均数，②实验班样本数据的中位数和众数大于对比班样本数据的中位数和众数；（3）对比班20名学生本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人，估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人，答：估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数有930人．【考点点评】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，解题的关键是必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．2．2020年10月15日，中共中央国务院发布《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，对新时代体育教育做了顶层设计和全面部署．某校面对全体学生发出了“发展体育运动，健身报效祖国”的活动倡议，调查小组对本校学生每周运动的时间做了抽样问卷调查，过程如下：（1）收集、整理数据：调查小组利用如下左图所示的调查问卷随机调查50名同学，得到他们最近一周内参加体育锻炼总时间的数据如下表所示：XX学校“发展体育运动，健身报效祖国”运动时间调查问卷请根据实际情况选择最符合的一项，在该项前面方框内打“√”，感谢参与！最近一周内你参加体育运动的总时间为：（每组含最小值，不含最大值）□A：0～1小时

□B：1～2小时□C：2～3小时

□D：3～4小时□E：4～5小时

□F：5小时以上ACBBBCDBAAABCBCABADBCBEBCBCACCDEDABDAEABAFBBACBDBC将上述数据整理在如下的统计表中，请你将表格补充完整：参加体育锻炼总时间ABCDEF频数_______1711________31（2）描述数据：根据上面的统计表，补全频数直方图和扇形统计图；（3）问题解决：已知该校共有1000人，根据上述信息估计该校全体学生最近一周参加锻炼总时长不足2小时的约为多少人？（4）分析数据：根据以上数据的特点，写出一条你发现的结论；【答案】（1）12；6；（2）见解析；（3）580人；（4）最近一周参加体育运动的总时间在1～2小时的人数最多．（答案不唯一）【要点分析（1）分别数出原始数据中A和D的数目即可得到解答；（2）根据（1）得到的A项和D项的频数可以把频数分布直方图补充完整，算出总频数后根据可以得到A、D所占百分比；（3）用1000乘以A、B两项所占百分比的和可以得到答案；（4）可以根据数据整理情况作答．【解题过程】解：（1）通过计数，可以得到A频数为12，D频数为6，故答案为12；6；（2）根据（1）得到的A项和D项的频数可以把频数分布直方图补充完整如下：∵总频数=12+17+11+6+3+1=50，∴A项所占百分比为：D项所占百分比为：故答案为A：24%；D：12%；（3）（人）．答：该校全体学生最近一周参加体育运动总时长不足2小时的约为580人．（4）最近一周参加体育运动的总时间在1～2小时的人数最多．（答案不唯一）【考点点评】本题考查频数及频率的应用，熟练掌握频数及频率的意义及应用、频数分布直方图的画法及一定的数据分析方法是解题关键．3．为了了解某学校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了该学校八年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

（1）根据以上信息，回答下列问题．①求m的值；②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数；③补全条形统计图．（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．【答案】（1）①m=60；②；③补全条形统计图见解析；（2）众数：3中位数：3平均数：．【要点分析（1）①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值；②结合周角是360度进行计算；③求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数；（2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可．【解题过程】解：（1）①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为90°，∴其所占的百分比为，∵课外阅读时间为2小时的有15人，∴m=15÷=60；②依题意得：；③第三小组的频数为：601015105=20，补全条形统计图为：

（2）∵课外阅读时间为3小时的20人，最多，∴众数为3小时；∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，∴中位数为3小时；平均数：；【考点点评】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息，难度不大．4．某校为了解学生对“：古诗词，：国画，：闽剧，：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共调查了______名学生；扇形统计图中，项目对应扇形的圆心角为______度；(2)请把折线统计图补充完整；(3)如果该校共有名学生，请估计该校最喜爱项目的学生有多少人？(4)若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和B的概率．【答案】(1)，(2)图见解析(3)该校最喜爱项目的学生约有人(4)，列表见解析【要点分析本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题的关键．（1）根据折线统计图中的人数和扇形统计图中所占的百分比，求出总数，用乘以项目所占的比例即可求出圆心角；（2）分别求出，的人数，再补全统计图；（3）用总人数乘以喜爱项目的占比即可；（4）列表得出所有等可能情况，再根据题意求得概率．【解题过程】（1）解：调查的总人数为：（人），项目对应扇形的圆心角为：，故答案为：，；（2）项目人数：人，项目人数：人，补全折线统计图如下：（3）（人），该校最喜爱项目的学生有人；（4）第一项第二项由列表可见，所有可能出现的结果共有种，并且这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中项目和B的结果有种，恰好选中项目和B的概率为：．5．下表是今年雨季清凉河一周内的水位变化情况．星期一二三四五六日水位变化/m注：正号表示水位比前一天上升，负号表示比前一天下降．(1)根据上表，回答下列问题：①本周星期____河流的水位最高；②与上周末相比，判断本周末河流水位是上升了还是下降了？(2)若以上周末水位为0点，用折线统计图表示本周的水位情况，并在图中用你的方式表示出这一周大致的平均水位．

【答案】(1)①五，②与上周末相比，本周末河流水位是上升了(2)见解题过程【要点分析（1）①以上周末的水位为参照物，根据有理数的加法运算，计算出每天的水位变化值，即可得到答案；②根据①中的周天的结果的符号，即可判断；（2）根据（1）中①所求的数据，画出折线图即可．【解题过程】（1）①星期一，水位变化，星期二，水位变化，星期三，水位变化，星期四，水位变化，星期五，水位变化，星期六，水位变化，星期天，水位变化，∴星期五的河流的水位最高；②∵星期天，水位变化，∴与上周末相比，本周末河流水位是上升了；（2）根据（1）中①所求的数据画图如下：

【考点点评】本题考查了画折线图，正数和负数及有理数的加减运算，解题的关键是正确理解题意，准确进行运算．6．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：摸球个数200300400500100016002000摸到白球的个数116192232_______5909681202摸到白球的频率0.5800.6400.5800.5960.5900.605_______(1)填写表中的空格；(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）；(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．【答案】(1)298；0.601(2)0.60(3)3个【要点分析本题考查了利用频率估计概率：（1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可；（2）根据频率估计概率计算；（3）由概率的估计值可计算白球的个数．【解题过程】（1）解：，，故答案为：298；0.601；（2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60；故答案为：0.60．（3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60，摸到红球的概率的估计值是0.40，袋中有红球2个，球的个数共有：（个），袋中白球的个数为（个）．7．一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有80次摸到红球，估计袋中红球的个数．【答案】8个【要点分析摸到红球的频率，求得摸到黑球和白球的频率为，计算总球数，从而求得红球个数．【解题过程】解：由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为：，∴总的球数为，∴估计袋中红球的个数为：（个）．【考点点评】本题考查随机实验中，频率的定义和计算；理解频率的定义是解题的关键．8．下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：试验的种子数n50010001500200030004000发芽的粒数m471946189828533812发芽频率0.9420.9460.9500.9490.953(1)上表中的______，______；(2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）；(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．【答案】(1)，0.951(2)(3)【要点分析（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可；（2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；（3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树=幼苗棵树×概率可得出结论．【解题过程】（1）解：依题意，，解得：，，故答案为：，．（2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；∴这种种子在此条件下发芽的概率约为．（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗棵，需要准备（粒）种子进行发芽培育．【考点点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．9．某批乒乓球的质量检验结果如下：抽取的乒乓球数n200400600800100016002000优等品的频数m19038457075695515201900优等品的频率abc(1)填空：______，______，______；(2)在下图中画出优等品频率的折线统计图：(3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？【答案】(1)，，(2)作图见解析(3)【要点分析（1）代入计算求解即可；（2）描点、连线即可；（3）利用频率估计概率即可．【解题过程】（1）解：由题意得，，，故答案为：，，；（2）解：折线图如下：（3）解：∵在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率，∴任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值为．【考点点评】本题考查了频率，画折线图，用频率估计概率．解题的关键在于对知识的熟练掌握．10．数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）：活动一：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．活动二：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．（1）若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．（2）若事件：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？【答案】活动一：3；活动二：（1）4；（2）7；活动三：33．【要点分析活动一：通过例举得出答案；活动二：通过例举得出答案；活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案．【解题过程】活动一：解：仅摸一次，不可能出现两相同编号，摸两次，有可能出现不同的编号，如2，1或1，2，不符合必然事件，摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件，故答案为：3；活动二：有编号为1，2，3三个小球，（1）摸两次时，不符合题意，如摸到1，2，摸三次时，不符合题意，如摸到1，2，3，摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件，故答案为：4；（2）摸六次时，不符合题意，如1，2，3，1，2，3，摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件，故答案为：7；活动三：根据题意得：m+m+m+1＝100，解得：m＝33，答：袋中有33个小球．【考点点评】本题考查随机事件的含义，必然事件的含义，探索规律的方法，通过例举，寻找规律是解题的关键．11．在四边形中，，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点．①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系；②如图3，当点在线段上时，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【要点分析（1）根据已知条件得到，，再由平行四边形的判定即可得证；（2）①连接，可知是等腰直角三角形，再证明，利用全等三角形性质即可得到；②过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论．【解题过程】（1）证明：，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形；（2）解：①，理由如下：连接，如图所示：由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，，，，，，，，，，；②证明：过点作交于点，如图所示：，，，，四边形是平行四边形，，，又，，，，，，，，，在中，，则，，．【考点点评】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．（1）如图1，在中，，则边上的高为____________；（2）四边形为正方形，边长，是边上一动点（不与点A、B重合）．线段关于对称的线段为，连接．①如图2，若为等边三角形，求的长；②如图3，延长，交射线于点．能否为等腰三角形？若能，求出此时的长，若不能，请说明理由．【答案】（1）3；（2）①；②【要点分析（1）作，交的延长线于点，可推出，进而得出结果；（2）①作，交于，可推出，，从而，，进而求得，进而得出，由得，进一步得出结果；②根据题意可知只有，此时，设，则，在四边形中，根据，从而求得，类比①求得结果．【解题过程】解：（1）如图，作，交的延长线于点，∴，∵，∴，故答案为：3；（2）①如图，作，交于，∵是等边三角形，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，，∵线段关于对称的线段为，∴，∴，∴，∴，∴，由得，∴，∴；②由对称可知：，∴，∵，∴，当时，，设，则，在四边形中，，∴，∴，∴，如图，在上截取，∴，∴，，∴，由得，，∴，∴．【考点点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，正方形的性质，轴对称等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．13．在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点．(1)在图1中，当时，求证：是的平分线；(2)根据（1）的条件和结论，①如图2，若，点是的中点，请求出的度数；②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数．【答案】(1)证明见解析(2)①；②【要点分析（1）根据等边对等角，利用四边形是平行四边形，可得，由等量关系可得即可证明结论；（2）①先说明是等腰直角三角形可得，再证明可得，然后证明是等腰直角三角形即可证明结论；②延长相较于H，连接，求证四边形是平行四边形，再求证是等边三角形，求证，再根据全等三角形的性质及角的和差即可解答．【解题过程】（1）证明：如图1，，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴是的平分线．（2）解：①如图2，连接∵在平行四边形中，，，，，又，∴是等腰直角三角形，即：，由（1）可得：，，又∵是的中点，，，∴，∴，是等腰直角三角形，即：；②如图3，延长相较于H，连接．∴，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形为平行四边形由（1）可得：AD=DF，CE=CF∴平行四边形是菱形．平行四边形是菱形．∵，∴,,∴是等边三角形，即，在与中，，∴，∴，∴．【考点点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合运用相关知识成为解题的关键．14．（1）如图1，点是等边内一点，，你能求出的度数吗?【基本思路】可以将绕点逆时针旋转得到，连接，可求出的度数，则__________．（2）如图2，点是正方形内一点，，求的大小；（3）点是正方形外一点，，直接写出的大小．【答案】（1）；（2）；（3）或【要点分析（1）根据旋转的性质及已知可得到是等边三角形，是直角三角形，即可求解；（2）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题；（3）分两种情况：当点P在左侧时或当点P在右侧时，先通过对三角形进行旋转，再根据旋转性质求出即可．【解题过程】解：（1）由旋转可知：，，，，又，，是等边三角形，，，，是直角三角形，，，故答案为：；（2）如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，，，，，，，，，；（3）当点P在左侧时，如图3，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，，，，在中，，，，，，，，；当点P在右侧时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，，在中，，，，，，在正方形中，，，，，三点在同一直线上，，，；综上所述，的值为或．【考点点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．15．（1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：．（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由；（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；（4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长．【答案】（2）见解题过程

（3）成立，见解题过程

（4）【要点分析（2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解；（3）由旋转的性质可得，由“”可证，可得，即可求解；（4）把绕点顺时针旋转至,可使与重合,证出，进而得到，即可得的周长．【解题过程】（2），理由如下:如图，在上截取，连接∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，，，即；（3）结论仍然成立，理由如下：如图，把绕点逆时针旋转，使与重合，得到，，，，∴点三点共线，，又∵，，即，又∵，∴，∴，又∵，∴；(4)∵是边长为的等边三角形，∴，，∵，∴，∵，把绕点顺时针旋转至，可使与重合，由旋转得:，，，同理得：点在同一条直线上，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长．【考点点评】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．16．我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值．(2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值；(3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值．【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2．(2)(3)或，最小值为或【要点分析题目主要考查整式的乘法运算及因式分解，解分式方程等，熟练掌握因式分解是解题关键．（1）根据题意得到即可解答；（2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，即可求解；（3）根据因式分解得出，再由分式方程的解确定或，即可分情况得出Q，然后配方确定最小值即可．【解题过程】（1）解：由题意可知：，∴．答：k的值为，m的值为3，n的值为2．（2），∵整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，∴，∴，∵是的一个因式，∴，∴，∴；（3），∴，得，∵关于的方程的解为正整数，∴或，∴或，∴，或∴最小值为或．17．已知，关于x的分式方程．(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求b为何值时分式方程无解；(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185【要点分析（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．【解题过程】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，解得：，检验：把代入，∴原分式方程的解为：．（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，去括号，得：，移项、合并同类项，得：，①当时，即，原分式方程无解；②当时，得，Ⅰ.时，原分式方程无解，即时，此时b不存在；Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，即时，此时b=5；综上所述，时，分式方程无解．（3）解：把a=3b代入分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，，解得：，∵b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．【考点点评】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．18．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商场准备一次购进这两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大利润．（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这台家电销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元；（2）当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元；（3）当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；当时，，各种方案利润相同；当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大【要点分析设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，根据商城用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，则，由题意：购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，列出不等式组，解得，再由为正整数，的，，，，，，，即合理的方案共有种，然后由一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；当电冰箱出厂价下调元时，则利润，分三种情况讨论：当；当时；当；利用一次函数的性质，即可解答．【解题过程】解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元．设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，则，根据题意得：，解得：，为正整数，，，，，，，，合理的方案共有种，即电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；，，随的增大而减小，当时，有最大值，最大值为：元，答：当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元．当厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润，当，即时，随的增大而增大，，当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台；当时，，各种方案利润相同；当，即时，随的增大而减小，，，当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台；答：当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；当时，，各种方案利润相同；当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大．【考点点评】本题考查了列分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式组是解题的关键．19．已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边OAB，A(x，0)，其中x是方程的解．（1）求点A的坐标；（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边ACD，连DB并延长交y轴于点E，求的度数；（3）如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接FB，以FB为边在第一象限内作等边FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．【答案】（1）；（2）；（3）的值是定值，9．【要点分析（1）先求出方程的解为，即可求解；（2）由“SAS”可证△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四边形内角和定理可求解；（3）由“SAS”可证△ABG≌△OBF可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解．【解题过程】解：（1）∵是方程的解．解得：，检验当时，，，∴是原方程的解，∴点；（2）∵△ACD，△ABO是等边三角形，∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，∴∠CAO＝∠BAD，且AO＝AB，AD＝AC，∴△CAO≌△DAB（SAS）∴∠DBA＝∠COA＝90°，∴∠ABE＝90°，∵∠AOE＋∠ABE＋∠OAB＋∠BEO＝360°，∴∠BEO＝120°；（3）GH−AF的值是定值，理由如下：∵△ABC，△BFG是等边三角形，∴BO＝AB＝AO＝3，FB＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，∴∠OBF＝∠ABG，且OB＝AB，BF＝BG，∴△ABG≌△OBF（SAS），∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，∴AG＝OF＝OA＋AF＝3＋AF，∵∠OAH＝180°−∠OAB−∠BAG，∴∠OAH＝60°，且∠AOH＝90°，OA＝3，∴AH＝6，∴GH−AF＝AH＋AG−AF＝6＋3＋AF−AF＝9．【考点点评】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．20．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”.若不是，打“×”．①（

）；②（

）；③（

）；④（

）；(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．【答案】(1)①；②；③；④(2)(3)【要点分析本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键．（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；（2）根据“关联数对”定义计算即可；（3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可．【解题过程】（1）解：当，时，分式方程为，，∵，∴①不是关于的分式方程的“关联数对”；当，时，分式方程为，解得：，，②不是关于的分式方程的“关联数对”；当，时，分式方程为，解得，，③是关于的分式方程的“关联数对”；当，时，分式方程为，此方程无解，④是关于的分式方程的“关联数对”；故答案为：①；②；③；④．（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，，解得：，，解得；（3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”，，，，解得，∵可化为，∴，解得：，方程有整数解，整数，即，又，，．21．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点．点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数解析式为(2)(3)点坐标为或或【要点分析（1）将代入，可求，则反比例函数解析式为，将代入得，，则，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）当时，求得，设，，则，根据，计算求解，然后作答即可；（3）设直线向上平移后的函数解析式为，将代入，可求，将代入得，，则平移后的直线解析式为，进而可求，设，由题意知，，，，分①当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，的中点坐标为，则，，计算求解即可；②当为平行四边形的对角线时，同理①求解即可；③当为平行四边形的对角线时，同理①求解即可．【解题过程】（1）解：将代入得，，解得，，∴反比例函数解析式为，将代入得，，∴，将，代入得，，解得，一次函数解析式为；（2）解：当时，，即，设，，∴，∴，解得，，∴；（3）解：设直线向上平移后的函数解析式为，将代入得，，即，将代入得，，解得，∴平移后的直线解析式为，当时，，即，设，由题意知，，，，①当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，的中点坐标为，∴，，解得，，，∴；②当为平行四边形的对角线时，同理①可得，，解得，，，∴；③当为平行四边形的对角线时，同理①可得，，解得，，，∴；综上，点坐标为或或．【考点点评】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数图象的平移，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质等知识．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数图象的平移，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质是解题的关键．22．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．(1)求的值；(2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），当时，区域的整点个数为；直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．【答案】(1)；(2)①，②．【要点分析（）根据点在的图象上，可求出的值；（）标出区域，再统计区域内的整数点即可；过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可；本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．【解题过程】（1）∵双曲线经过点，∴，即的值为；（2）当时，由图可知，上的整点有个，上的整点有个，双曲线上段的整点有个，区域内部的整点有个，又点，，都被算了次，所以区域的整点个数为：，故答案为：；由题知，，则不论为何值，时，即直线过定点，∴，如图所示，当时，区域内的整点共有个，又被分成的区域和的整点个数之差不超过，则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求，此时，得，当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可，此时，得，故的取值范围是：．23．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线交于点，.

(1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求的值；(2)当时，求函数值的取值范围；(3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围.【答案】(1)图见解析，；(2)当时，；(3)或.【要点分析（1）根据反比例函数的图像关于原点对称即可画出另一支，将点代入中，得到反比例函数解析式，再代入，即可求得m的值；（2）直接根据反比例函数的增减性即可求解；（3）画出一次函数的图象，根据图象即可解答．【解题过程】（1）解：如图；

将代入中，得，将代入中，得；（2）解：当时，，当时，，∴当时，；（3）解：的图象与直线交于点，，作图如下：

由图可得：当时自变量的取值范围：或．【考点点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键．24．如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标；(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)或【要点分析（1）直接利用待定系数法即可解答；（2）设，则，根据四边形的面积构建方程求解即可；（3）分两种情况：当点M位于内部时，延长交反比例函数于M；当点M位于外部时，分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可．【解题过程】（1）解：把点分别代入和中可得：，，解得：∴，．（2）解：设，则，∴，∵四边形的面积等于24，∴,即，整理得：，解得：检验：是原方程的解，∵，∴，则．∴．（3）解：由平移可得：,∴直线的解析式为:，联立得：，解得：或（不合题意，舍去）经检验是方程组的解，∴点∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到，由(2)可得：，∴，∵，∴，如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M，∵，∴,∴N为的中点，∴，即，设直线的解析式为，将代入得：，解得：，∴直线的解析式为:，联立得：，解得：（舍弃负值）经检验是方程组的解，∴；如图，当点M位于外部时，作于，连接，∵，∴,∵，∴关于对称，，设直线的解析式为:,将代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，设，则的中点在直线上，∴在直线上，∴，∴，∴，∵,∴，整理得：，解得:，∴或，经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意，∴，∵，，∴直线的解析式为:，联立得：，解得：（舍弃负值）经检验是方程组的解，∴．综上所述，M的坐标为或．【考点点评】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．

(1)求k的值；(2)根据图象，直接写出当时，关于x的不等式的解集；(3)将直线向上平移个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，求的面积．【答案】(1)(2)(3)【要点分析（1）由点在直线上可得a，将点B代入即可求解．（2）由反比例反比例函数大于一次函数时反比函数图像位于一次函数上方即可求解；（3）直线向上平移个单位可得，联立平移后的直线与反比例函数即可得点C坐标，过B作得求解即可．【解题过程】（1）解：点在直线上，将点代入得：．（2）原不等式变形得：，即可看作反比例函数大于一次函数，，由图可知可得：

．（3）直线向上平移个单位得：，联立，解得：或（舍去），点C坐标为，过B作，

点M坐标为，点N坐标为，【考点点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合题，待定系数法求函数解析式，反比函数与一次函数的图像及性质，解题关键是“利用割补法求面积”．26．【阅读材料】像，，，…，两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用