空间中直线、平面的垂直课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

3.空间中直线、平面的垂直教学目标学习目标数学素养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．1.数学抽象素养和空间直观素养.2.掌握利用向量方法证明直线与平面、平面与平面垂直．2.空间直观素养和逻辑推理素养.温故知新

⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2.

⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.

⇔

x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2

.4.空间中的垂直关系有哪些？直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直.环节一

回归旧知，引出新知新知探究

1.直线与直线垂直

思考：如何用向量的坐标刻画直线与直线垂直关系？

⟺x1x2+y1y2+z1z2=0.问题1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？环节二

用向量来刻画空间直线、平面的垂直新知探究

2.直线与平面垂直

思考：如何用向量的坐标刻画直线与平面垂直关系？

⟺

∃λ∈R,使得x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2.环节二

用向量来刻画空间直线、平面的垂直新知探究

3.平面与平面垂直

思考：如何用向量的坐标刻画平面与平面垂直关系？

⟺x1x2+y1y2+z1z2=0.

我们随时随地向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只起路标的作用”的说法吗？

环节二

用向量来刻画空间直线、平面的垂直新知探究【例4】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.证明：

∵AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，

环节三

典例分析，巩固理解新知探究【例4】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.证明：

∴直线A1C⊥平面BDD1B1.环节三

典例分析，巩固理解新知探究【例5】证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．证明：

已知：如图，l⊥α，l⊂β，求证：α⊥β.∴α⊥β.环节三

典例分析，巩固理解新知探究【例6】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC与BD的交点，G是CC1的中点.

求证：A1O⊥平面GBD.证明：方法1：设正方体棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则

D(0,0,0),O(1,1,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),G(0,2,1),∴OA1⊥平面GBD.又DB∩BG=B,环节三

典例分析，巩固理解新知探究【例6】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC与BD的交点，G是CC1的中点.

求证：A1O⊥平面GBD.证明：方法2：同方法1建立空间直角坐标系，可得

令x=1,则y=-1,z=2,∴OA1⊥平面GBD.

环节三

典例分析，巩固理解课堂小结1.空间两条直线垂直2.空间线面垂直3.空间面面垂直

⟺x1x2+y1y2+z1z2=0.

⟺

∃λ∈R,使得x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2.

⟺x1x2+y1y2+z1z2=0.环节四

小结提升，形成结构