直线和圆的方程单元复习课件高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版2019高二数学（选修一）第二章直线和圆的方程（单元复习）目录/CONTENTS题型突破核心归纳知识导图链接高考思想方法课堂检测知识导图1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线没有斜率．核心归纳4.两条直线的位置关系8.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：①若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.②若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.③若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.10.圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)11.与圆相关最值的几何结论(1)已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r，则圆上点到P点距离的最小值为|PM|＝|PC|－r，最大值为|PN|＝|PC|＋r(即连接PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点)．(2)已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦AB．(3)已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为|PM|＝d－r，距离的最大值为|PN|＝d＋r(过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于点M，其反向延长线交圆C于点N(d为圆心到直线的距离)．(4)已知圆C和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为|PM|.【例1】圆C的圆心在l1:x-y-1=0上,与l2:4x+3y+14=0相切,且截l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6,求圆C的方程.题型突破一：求直线与圆的方程方法技巧

确定圆的方程的主要方法一是定义法,二是待定系数法.定义法主要是利用直线和圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而得出圆的标准方程;待定系数法则是设出圆的方程(多为一般式),再根据题目条件列方程(组)求出待定的系数.(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值．【变式1-1】已知直线l过点P(3,1),且被两条平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.【例2】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.思路分析本题可将

和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)距离的平方,然后结合图形求解.题型突破二：与圆有关的最大(小)值问题与圆有关的最值问题的处理方法大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题．从题型看，主要有①斜率型最值问题；②截距型最值问题；③距离型最值问题；④面积型最值问题．(1)形如

的最大(小)值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最大(小)值问题;(2)形如t=ax+by的最大(小)值问题,可转化为动直线的截距的最大(小)值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最大(小)值问题,可转化为动点到定点的距离的最大(小)值问题.【变式2-1】已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上.(1)求

的最大值和最小值;(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示点C(x,y)与A(-1,0)的距离的平方加上2.连接AC,交圆C于B,延长AC,交圆于D,图略,可得AB为最短,且为AD为最长,且为|AC|+r=5+2=7.则x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.【例3】已知圆的方程为x2+y2=r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.思路分析利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解.题型突破三：与圆有关的轨迹问题(方法2)设Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),即(x-a)2+(y-b)2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2r2-2(x1x2+y1y2).①又AB与PQ的中点重合,故x+a=x1+x2,y+b=y1+y2,即(x+a)2+(y+b)2=2r2+2(x1x2+y2y2).②①+②,有x2+y2=2r2-(a2+b2),这就是所求的轨迹方程.求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程.(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.【变式3-1】如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.【例4】一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?题型突破四：直线与圆的方程的实际应用解

以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10

km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为而半径长r=3,∵d>r,∴直线与圆相离.故这艘轮船不改变航线,不会受到台风的影响.1.解决直线与圆的实际应用题的步骤

2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.(3)尽量使已知点位于坐标轴上.【变式4-1】某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为6m,行车道总宽度BC为2m,侧墙面高EA,FD为2m,弧顶高MN为5m.(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程.(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.思想方法一：分类与整合思想的应用思想方法解读：当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想．本题考查两条直线的位置关系以及直线与圆相交的弦长问题．本题的易错点，一是未讨论a的值，直接令斜率相等；二是求出a的值未代回到直线方程进行验证．涉及直线和圆相交的弦长问题时，通常是结合勾股定理表示弦长．【变式5-1】设三条直线2x－3a2y＋18＝0,2ax－3y＋12＝0和3x＋2y＋6＝0能围成直角三角形，求实数a.思想方法二：数形结合思想的应用思想方法解读：实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化．是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维．(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．本题主要考查直线和圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．思想方法三：函数与方程思想的应用思想方法解读：1．函数的思想：通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想．2．方程的思想：建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想．【例7】在平面直角坐标系中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．思想方法四：转化与化归思想思想方法解读：在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想．其应用包括以下三个方面：(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．【例8】已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是____________．【答案】{k|k≥1或k≤－1}本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大(小)距离为圆心到直线的距离加上(减去)半径．凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题．

A、B、D点到直线的距离

圆的标准方程2.（2022甲卷）设点M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为

．

3.（2022乙卷）过四点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为

．

圆的一般方程

C

圆的切线方程

B6.（2022新高考1卷）写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程______________________________________