2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测三十三第四章指数函数与对数函数4.4.2.1对数函数的图象和性质含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测三十三对数函数的图象和性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.设函数f(x)=QUOTE则f(f(2))的值为 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.因为f(x)=QUOTE则f(f(2))=f(1)=2.2.函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点 ()A.(1,1) B.(2,1) C.(1,2) D.(2,2)【解析】选B.真数为1时,对数为0,所以令x=2,则f(x)=1,所以函数f(x)的图象过定点(2,1).3.已知a>0,且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是()【解析】选C.对于A,由指数函数知a>1,而此时一次函数a<1,不符合;对于B,由指数函数知a>1,而此时由对数函数知0<a<1,不符合;对于C,都符合;对于D,由指数函数知0<a<1,而由一次函数知a>1,不符合.4.(多选题)函数f(x)=loga(x+e)的图象可能不过 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A、D.(1)0<a<1时,f(x)=loga(x+e)的图象不过第一象限,(2)a>1时f(x)=loga(x+e)的图象不过第四象限.5.若集合A={x|y=log2(x+2)},B={x|0<x<1},则AB= ()A.(-2,1) B.(-2,0]∪[1,+∞)C.(1,+∞) D.(-2,0)∪(1,+∞)【解析】选B.由集合A={x|y=log2(x+2)}={x|x>-2},又因为B={x|0<x<1},所以AB={x|-2<x≤0或x≥1}.6.已知a,b是非零实数,则“a>b”是“ln|a|>ln|b|”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选D.取a=-3,b=-4,则a>b,但ln|a|<ln|b|,所以命题“若a>b,则ln|a|>ln|b|”为假命题.取a=-4,b=3,则ln|a|>ln|b|,但a<b,所以命题“若ln|a|>ln|b|,则a>b”为假命题.所以“a>b”是“ln|a|>ln|b|”的既不充分也不必要条件.二、填空题(每小题5分,共10分)7.关于下列结论:①函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到;②方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3};③函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.其中正确的是________.

【解析】①y=ax+2的图象可由y=ax的图象向左平移2个单位得到,所以①正确;②由log5(2x+1)=log5(x2-2)得QUOTE即QUOTE解得x=3.所以②错误;③设f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),定义域为(-1,1),关于原点对称,f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以③正确.答案:①③8.若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x∈(0,+∞)时f(x)=lg(x+1),则f(x)=________.

【解析】因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.又当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),所以f(-x)=lg(1-x).又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-lg(1-x),所以f(x)的解析式为f(x)=QUOTE答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=log2QUOTE·QUOTE(2x)的定义域为[QUOTE,8].(1)设t=log2x,求t的取值范围.(2)求f(x)的最大值与最小值及相应的x的值.【解析】(1)由题意可得x∈[QUOTE,8],所以QUOTE≤log2x≤3,即t的取值范围为[QUOTE,3].(2)f(x)=log2QUOTE·QUOTE(2x)=2(log2QUOTE-2)(1+log2x)=(log2x-4)(1+log2x),因为t=log2x,则y=(t-4)(t+1)=t2-3t-4=QUOTE-QUOTE,其中t∈QUOTE,所以,当t=QUOTE,即x=2QUOTE时,f(x)有最小值-QUOTE,当t=3,即x=8时,f(x)有最大值-4.10.设y1=loga(3x+1),y2=loga(-3x),其中0<a<1.(1)若y1=y2,求x的值.(2)若y1>y2,求x的取值范围.【解析】(1)因为y1=y2,所以loga(3x+1)=loga(-3x),所以3x+1=-3x,解得x=-QUOTE,经检验x=-QUOTE在函数的定义域内,所以x=-QUOTE.(2)y1>y2,即loga(3x+1)>loga(-3x)(0<a<1),所以QUOTE解得-QUOTE<x<-QUOTE,所以x的取值范围为QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若a>b>0,0<c<1,则 ()A.logac<logbc B.logca<logcbC.ac<bc D.ca>cb【解析】选B.对于选项A,logac=QUOTE,logbc=QUOTE,因为0<c<1,所以lgc<0,而a>b>0,所以lga>lgb,但不能确定lga、lgb的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B,logca=QUOTE,logcb=QUOTE,lga>lgb,两边同乘以一个负数QUOTE变更不等号方向,所以选项B正确;对于选项C,利用y=xc在第一象限内单调递增即可得到ac>bc,所以C错误;对于选项D,利用y=cx在R上为减函数易得ca<cb,所以D错误.2.函数y=-lg|x+1|的大致图象为 ()【解析】选D.函数y=-lg|x+1|的定义域为{x|x≠-1},可解除A,C;当x=1时,y=-lg2<0,明显只有D符合题意.3.已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是()A.(2QUOTE,+∞) B.[2QUOTE,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)【解析】选C.因为0<a<b,f(a)=f(b),所以0<a<1<b,所以f(a)=|lga|=-lga,f(b)=|lgb|=lgb,所以由f(a)=f(b)得-lga=lgb,即lga+lgb=lg(ab)=0,所以ab=1,b=QUOTE,令h(a)=a+2b=a+QUOTE,因为函数h(a)在区间(0,1)上单调递减,故h(a)>h(1)=3.4.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f(log2QUOTE),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<b【解析】选C.由题意:a=fQUOTE=fQUOTE,且log25>log24.1>2,1<20.8<2,所以log25>log24.1>20.8,结合函数的单调性有:fQUOTE>fQUOTE>fQUOTE,即a>b>c.二、填空题(每小题5分,共20分)5.函数f(x)=log2(3x+1)的定义域是________.

【解析】因为3x>0恒成立,所以定义域为R.答案:R6.方程2|x|+x=2的实数根的个数为________.

【解析】由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出y=2|x|与y=2-x的图象,如图所示,两个函数图象有且仅有2个交点,故方程有2个实数根.答案:27.函数y=log(3a-1)x在(0,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是________.

【解析】由题意可得0<3a-1<1,解得QUOTE<a<QUOTE,所以实数a的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE8.已知函数f(x)=QUOTE则f(f(1))+fQUOTE=________.

【解析】由题意可知f(1)=log21=0,f(f(1))=f(0)=30+1=2,fQUOTE=QUOTE+1=QUOTE+1=2+1=3,所以f(f(1))+fQUOTE=5.答案:5三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3},函数f(x)=lg(-x2+2x+8)的定义域为B.(1)当m=2时,求A∪B,(RA)∩B.(2)若A∪B=B,求实数m的取值范围.【解析】(1)依据题意,当m=2时,A={x|1≤x≤7},B={x|-2<x<4},则A∪B={x|-2<x≤7},又RA={x|x<1或x>7},则(RA)∩B=QUOTE.(2)依据题意,若A∪B=B,则A⊆B,分2种状况探讨:当A=∅时,有m-1>2m+3,解得:m<-4;当A≠∅时,若有A⊆B,必有QUOTE,解得:-1<m<QUOTE,综上可得:m的取值范围是QUOTE∪QUOTE.10.解关于x的方程:log2(x+3)-2log4x=2.【解析】log2(x+3)-2log4x=2等价于:log2(x+3)-log2x=2,即log2QUOTE=2,即QUOTE=4,解得x=1,经检验,x=1是方程的根.11.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60～110为过渡区,110以上为有害区.(1)依据上述材料,列出分贝y与声压P的函数解析式.(2)某地声压P=0.002帕,则该地为以上所说的什么区?(3)2017年春节晚会上,现场多次响起洪