2020-2021学年上海市奉贤区高二下学期期末考试调研测试数学试题

20202021学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷一．填空题（共12小题，16每题4分，712每题5分，共54分）1．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝．2．如果1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，其中i是虚数单位，则pq＝．3．若＝110，则n＝．4．函数y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是．5．已知地球的半径为6371千米，上海的位置约为东经121°27'，北纬31°8'，台北的位置约为东经121°27'，北纬25°5'，则两个城市之间的距离约为千米．（结果精确到1千米）6．（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项是．7．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是立方米．8．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是．9．在一次义诊送上门大型活动中，需要从某医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）和4名女医生（含一名主任医师）一共10人中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有种．（用数字作答）10．设圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与双曲线的渐近线相切，则实数b＝．11．二次函数y＝ax2（a＞0）图象上的A、B两点均在第一象限．设点F（0，），当|AF|＝4，|BF|＝2，|AB|＝3时，直线AB的斜率为．12．在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD，AB＝1，BC＝2，CD＝1，则异面直线AC与BD所成角的大小为．二．选择题（1316每题5分，共20分）13．在复平面内，复数z＝sin2+icos2（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，1在同一平面”是“m，n，1两两相交”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．下列参数方程（t是参数）与普通方程y2＝x表示同一曲线的方程是（）A． B． C． D．16．直线+＝1（ab≠0）与椭圆+＝1相交于两点M、N，点P使得△PMN的面积为|ab|，则这样的点P在椭圆上的个数有（）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题(14+14+14+16+18）17．设z＝x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，复数z在复平面对应的点为Z（x，y），已知为实数．（1）求Z（x，y）的轨迹方程；（2）求|z﹣1|的取值范围．18．我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点A、B分别为近地点和远地点，如图所示．卫星在近地点A与地球表面的距离为439千米，在远地点B与地球表面的距离为2384千米，地球中心与A、B在同一直线上．已知地球的半径R为6371千米，建立适当的平面直角坐标系，求卫星轨道的方程．19．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC周长的取值范围．20．（16分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，的棱长为2，点E为BB1的中点．（1）求直线AA1与平面D1AE所成角的大小；（2）作出过D1，A，E三点的平面截正方体所得的截面α，并求截面α与侧面ADD1A1所成的锐二面角的大小；（3）点F为CC1的中点，动点P在底面正方形ABCD（包括边界）内，若FP∥平面D1AE，求线段C1P长度的取值范围．21．（18分）已知椭圆，过动点M（0，m）（m＞0）的直线1交x轴于点N，交椭圆于点A，P（点P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交椭圆于另一点Q，延长QM交椭圆于点B．点T（，）在椭圆上．（1）求椭圆的焦距；（2）设直线PM的斜率为k，直线QM的斜率为k′，证明：为定值；（3）求直线AB倾斜角的最小值．参考答案一．填空题（16每题4分，712每题5分，共54分）1．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝﹣．解：由题意，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），所以x＝﹣3，y＝4，r＝5，cosθ＝＝﹣．故答案为：﹣．2．如果1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，其中i是虚数单位，则pq＝﹣10．解：1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，则1+2i也是方程的根，所以，解得p＝﹣2，q＝5，所以pq＝﹣10．故答案为：﹣10．3．若＝110，则n＝11．解：∵＝n（n﹣1）＝110，则n＝11，故答案为：11．4．函数y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是π．解：∵y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴．∴故答案为：π．5．已知地球的半径为6371千米，上海的位置约为东经121°27'，北纬31°8'，台北的位置约为东经121°27'，北纬25°5'，则两个城市之间的距离约为672千米．（结果精确到1千米）解：因为上海和台北在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上，则这个大圆上，设地球的球心为O，上海、台北分别为点A，B，由上海、台北的经纬度可知，∠AOB＝6°3'，地球的半径为r＝6371，故AB的弧长为672千米，所以上海和台北两个城市之间的距离约为672千米．故答案为：672．6．（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项是495a8．【分析】由题意可得，本题即求展开式的第9项，再利用二项展开式的通项公式，得出结论．解：（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项，即展开式的第9项，为T9＝•a8＝495a8，故答案为：495a8．7．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是立方米．【分析】由题意，圆锥的母线长为l＝2，由圆锥的底面周长等于半圆弧长列式求圆锥底面半径，根据勾股定理计算圆锥的高，代入体积公式计算．解：由题意，圆锥的母线长为l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，即r＝1，∴圆锥的高h＝，∴圆锥的体积V＝•πr2•h＝•π•＝．故答案为：．8．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是．【分析】首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，再利用古典概型求概率．解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有＝12种排法，再所有的4个人全排列有＝24种排法，利用古典概型求概率p＝＝，故答案为：．9．在一次义诊送上门大型活动中，需要从某医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）和4名女医生（含一名主任医师）一共10人中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有90种．（用数字作答）【分析】根据题意，按照男女主任医师是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分3种情况讨论：①只有男主任医师被选出，有C52C32＝30种选法；②只有女主任医师被选出，有C53C31＝30种选法；③男女主任医师都被选出，有C51C31＝30种选法；则有30+30+30＝90种选派方法；故答案为：90．10．设圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与双曲线的渐近线相切，则实数b＝．【分析】先由圆的方程得圆心，半径，由双曲线的方程，得渐近线的方程，则圆心（1，2）到渐近线y＝﹣bx的距离d＝＝r＝1，记得b，即可得出答案．解：圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0化为标准方程得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，圆心为（1，2），半径r＝1，双曲线x2﹣＝1的渐近线为y＝±bx，所以圆心（1，2）到渐近线y＝﹣bx的距离d＝＝r＝1，解得b＝±，故答案为：±．11．二次函数y＝ax2（a＞0）图象上的A、B两点均在第一象限．设点F（0，），当|AF|＝4，|BF|＝2，|AB|＝3时，直线AB的斜率为．【分析】将二次函数y＝ax2转化为焦点在y轴正半轴的抛物线，结合抛物线的定义，以及两点之间的距离公式，即可求解．解：∵二次函数为y＝ax2，∴，即该方程可看作，焦点在y轴正半轴的抛物线，即焦点F（0，），设A（xA，yA），B（xB，yB），∵|AF|＝4，|BF|＝2，∴由抛物线的定义，可得，，两式相减，可得yA﹣yB＝2，∵|AB|＝3，∴，又∵A、B两点均在第一象限，且，yA＞yB，∴xA﹣xB＞0，∴，∴直线AB的斜率为．故答案为：．12．在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD，AB＝1，BC＝2，CD＝1，则异面直线AC与BD所成角的大小为arccos或arccos．【分析】分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，由EF//BD，EG//AC，可得∠FEC为异面直线AC与BD所成的角，由已知中的定义，分∠BCD＝90°和∠BDC＝90°两种情况讨论，利用余弦定理求解即可．解：如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF//BD，EG//AC，所以∠FEC为异面直线AC与BD所成的角，易知FO//AB，且AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，因为AB＝1，BC＝2，AB⊥BC，所以AC＝，所以EG＝AC＝，当∠BCD＝90°时，由CD＝1，BC＝2，可得BD＝，所以EF＝BD＝．又因为OF＝AB＝，OG＝CD＝，所以FG＝＝，所以cos∠FEG＝＝，即异面直线AC与BD所成的角为arccos；当∠BDC＝90°时，由CD＝1，BC＝2，可得BD＝，EF＝BD＝．因为OF＝AB＝，OG＝CD＝，所以FG＝＝，所以cos∠FEG＝＝，即异面直线AC与BD所成的角为arccos．综上可得，异面直线AC与BD所成的角为arccos或arccos．故答案为：arccos或arccos．二．选择题（1316每题5分，共20分）13．在复平面内，复数z＝sin2+icos2（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由2在第二象限可解决此题．解：∵2在第二象限，∴sin2＞0，cos2＜0，∴复数z＝sin2+icos2（i是虚数单位）对应的点位于第四象限．故选：D．14．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，1在同一平面”是“m，n，1两两相交”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：①若m，n，l在同一平面内，则m，n，l可能平行，可能相交，即m，n，l两两相交不一定正确，即充分性不成立，②若m，n，l两两相交，且不过同一点，则m，n，l一定在同一平面内，即必要性成立，∴m，n，l在同一平面内是m，n，l两两相交的必要不充分条件，故选：B．15．下列参数方程（t是参数）与普通方程y2＝x表示同一曲线的方程是（）A． B． C． D．【分析】由代入法、正弦函数的值域和三角函数的二倍角公式，将参数方程化为普通方程，可得结论．解：对于A，由，可得y＝x2；由，可得y2＝x（0≤x≤1）；由，可得y2＝|x|；由，可得x＝＝tan2t＝y2，即y2＝x．故选：D．16．直线+＝1（ab≠0）与椭圆+＝1相交于两点M、N，点P使得△PMN的面积为|ab|，则这样的点P在椭圆上的个数有（）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】设点P的坐标为（acosθ，bsinθ），θ∈[0，2π），结合题意可得，方程有几个解就有几个P点．解：因为点P在椭圆上，设点P的坐标为（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，2π），不妨设M（a，0），N（0，b），因为△PMN的面积为，，设P点到直线MN的距离为h，则直线，所以②，①②联立得，即，或，又即，或，数形结合可知θ共有3个解，所以P点共有3个．故选：C．三、解答题(14+14+14+16+18）17．设z＝x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，复数z在复平面对应的点为Z（x，y），已知为实数．（1）求Z（x，y）的轨迹方程；（2）求|z﹣1|的取值范围．【分析】（1）由z＝x+yi，根据为实数得到关于x，y的方程，即可得到Z（x，y）的轨迹方程；（2）求出|z﹣1|，利用二次函数的性质求出范围即可．解：（1）因为z＝x+yi（x，y∈R），复数z在复平面对应的点为Z（x，y），所以＝因为为实数，所以xy﹣（x+2）（y﹣1）＝0，所以Z（x，y）的轨迹方程为x﹣2y+2＝0，点（0，1）除外．（2）|z﹣1|＝＝，所以|z﹣1|的取值范围为．18．我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点A、B分别为近地点和远地点，如图所示．卫星在近地点A与地球表面的距离为439千米，在远地点B与地球表面的距离为2384千米，地球中心与A、B在同一直线上．已知地球的半径R为6371千米，建立适当的平面直角坐标系，求卫星轨道的方程．【分析】以卫星轨道的中心为原点O，线段AB所在直线为x轴方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，设椭圆的方程为+＝1，F2（c，0），则a﹣c＝AF2，a+c＝BF2，解得a，c，b，即可得出答案．解：以卫星轨道的中心为原点O，线段AB所在直线为x轴，方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，设椭圆的方程为+＝1，F2（c，0），设A′，B′是直线AB与地球表面的两个交点，则a﹣c＝AF2＝AA′+R＝6371+439＝6810，a+c＝BF2＝AB′+R＝6371+2384＝8755，a＝7782.5，cb＝＝7721.5，所以椭圆的标准方程为+＝1，即+＝1．19．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC周长的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的图象求出函数的解析式；（2）利用函数的关系式求出A的值，进一步利用正弦定理和三角函数的关系式和正弦型函数的性质的应用求出周长的范围．解：（1）根据函数的图象，函数的周期T＝，故ω＝2．由于点（）满足函数的图象，所以Asin（φ）＝0，由于0＜φ＜，所以φ＝．由于点（0，1）在函数的图象上，所以A＝2．故函数f（x）＝2sin（2x+）．（2）由于f（）＝2sin（A+）＝2，所以A＝．由正弦定理：，整理得b＝，同理c＝＝，由于，所以，由于，所以，所以．所以：l△ABC∈（4，6]．20．（16分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，的棱长为2，点E为BB1的中点．（1）求直线AA1与平面D1AE所成角的大小；（2）作出过D1，A，E三点的平面截正方体所得的截面α，并求截面α与侧面ADD1A1所成的锐二面角的大小；（3）点F为CC1的中点，动点P在底面正方形ABCD（包括边界）内，若FP∥平面D1AE，求线段C1P长度的取值范围．【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面D1AE的法向量，由线面角的向量计算公式求解，结合反三角函数即可得到答案；（2）利用（1）中的结论，再取侧面ADD1A1的法向量，然后由二面角的向量计算公式求解，结合反三角函数即可得到答案；（3）设P（x，y，0），利用，得到x和y的关系，然后由，求出x的范围，利用距离公式表示出C1P，由二次函数的性质求解即可．解：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D1（2，0，2），E（0，2，1），A1（0，0，2），所以，设平面D1AE的法向量为，则，即，令y＝1，则