湖南省2023-2024学年高一年级下册7月期末考试数学（含解析）

湖南高一下学期期未考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、坐位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用像皮擦干净后，再选涂其他答察标号.回答非选撑题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

本试卷主要考议内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章第3节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知向量。=（一2,5）,/?=（7〃,4）,若4_16，则"2=（）

88

A.10B.-10C.-D.一一

55

2.已知4（—2,1,3）,5（1,—1,4）,则A3=（）

A.（3,0,1）B.（-l,-2,l）C.（-l,0,7）D.（3,-2,l）

3.已知集合A={x|x+3>2},3={x|"2-2<x<m},若Ac3=0,则加的取值范围是（）

A.[l,+oo）B.（l,+oo）C.D.

4.已知加是一条直线，。，尸是两个不同的平面，且加」e,贝!T加〃』”是“。，尸”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

5.已知空间问量。=（2,—1,1）为=（加,3,—3）,若a与匕的夹角是钝角，则〃z的取值范围是（）

A.（-00,-6）O（-6,3）B.（-oo,3）C.（3,6）D（6,-8）D.（3,+OO）

6.已知5足3+3兀）+2851=0,则tan2cr=（）

4343

A.—B.—C.——D.——

3434

7.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够

中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（）

A.“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”

B.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”

C.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”

D.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”

8.已知〃x)=](2"Dx+3a是R上的单调函数，则a的取值范围是()

[loga%+9a-3,%>l

A.(1,2]B.(l,3]C.]o,gu(l,3]D；o,gu(l,2]

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知复数z=(2+i>(l—i),则()

A.z的实部是-1

B.|z|=5^/2

C.z的共辗复数是—1—i

D.z在复平面内对应的点位于在第一象限

10.已知函数/(X)=ACOS(0¥+0)(A>O,0>O,O<0<71)的部分图象如图所示，则()

71

A.(p=—

6

B.A=2

C"(x)的图象关于点[工,。]对称

JTJT\

[kjt--,k7i+-(keZ)

11.有一种“蓑藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成(如图1),也可由正方体切割而成(如

图2).在如图2所示的“痍藜形多面体”中，若A5=2,则()

A.该几何体的表面积为12g

B.该几何体的体积为4

TT

C.直线五M与直线GN所成的角为一

3

D.二面角5—历―H的余弦值为工

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得

到该地15个地区的生活质量指数为68,68,69,71,73,75,75,76,78,80,85,85,87,91,93,则这15个地区

的生活质量指数的第60百分位数是.

13.如图，在四面体A5CD中，A3,平面ACD,—ACD是边长为4的等边三角形，48=3,及/分别是

棱的中点，则叵卜.

14.在底面为正方形的四棱锥P—ABCD中，尸£)，平面43。。,45=4,尸。=20，点£在线段。。

上，PB〃平面EAC,则四面体ABCE外接球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在[45,95]内.现

从该校初二年级的学生中随机抽取10。名学生的数学成绩，按

[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值；

(2)估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分(各组数据以该组数据的中点值作代表)；

(3)记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人

数.

16.Q5分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PC,四边形A3CD是正方形，E是尸。的中点.

(1)证明：PB〃平面ACE.

(2)证明：平面P5D，平面ACE.

17.(15分)

已知函数〃x)=sin2x~—+2sinxcosx.

I3j

(1)求“X)的最小正周期；

(2)求的单调递减区间；

7兀

(3)求了(%)在区间-五,0上的值域.

18.(17分)

端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端

午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A,B,

C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前

工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道2类题目得20分，

答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲、乙两位同

33

学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是一，答对2类题目的概率是一，答对C类题目的概率

44

13

是一，乙答对每类题目的概率都是一.假设甲、乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互

25

独立的.

(1)求甲第一轮答对A类题目的概率；

(2)求甲通过比赛的概率；

(3)求甲、乙两人中至少有1人通过比赛的概率.

19.(17分)

A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与P,Q两点均不重合)，我们称如下操作为“由A点

\AP\smZPAM

对P。施以视角运算”：若点〃在线段PQ上,记(P,Q;川)；若点河在线段尸。

AP\sin^PAM

外,记(P,Q;M)=-

AQ\sin^MAQ

(1)若M在正方体ABC。—4月£。1的棱AB的延长线上，且AB=28M=2,由A对AB施以视角

运算，求(A3；Af)的值;

(2)若M在正方体ABC。-的棱A3上，且48=2，由4对A3施以视角运算，得至U

AM

的值;

MB

(3)若加1，加2，加3，・，M"T是A3C边3c的〃等分点，由A对5c施以视角运算，证明:

湖南高一期末考试

数学参考答案

1-A由题意可得a必=—2m+5x4=0，解得根=10.

2.D由题意可得43=(3,—2,1).

3.C由题意可得A={x[因为Ac3=0,所以以，-1.

4.B由。，相〃/，得aJ_〃；由w_La,a_L/?,得加〃/或mu/7.故，加〃夕”是“a_L/?”

的充分不必要条件.

2m—3—3＜0,

5.A由题意可得〈解得加＜一6或-6〈根＜3.

加w—6,

6.C因为sin(a+3;i)+2coso=0,所以-sina+2cos。=0,所以tana=2,则

c2tana4

tanzcif=------=——.

1-tana3

7.C“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少1瓶中奖”与"2瓶都中奖”不是互斥事件.“至

多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件.“恰有1瓶

中奖,，与“至多1瓶中奖,，可以同时发生，贝小，恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”不是互斥事件.

2〃—1＞0,

8.D当/（力是R上的单调递增函数时，。〉1,解得1＜④2;当外同是R上的单调递

2a—1+3。2,,9。-3,

2。—1＜0,

减函数时，＜0＜。＜1,解得0＜。,，L综上，。的取值范围是U（l,2].

2a—1+3tz..9a—3,

9.BD因为z=(2+i)2(l—i)=(4+4i+i2)(l—i)=(3+4i)(l—i)=3—3i+4i—4i?=7+i,所以z的

实部是7,|z|==5挺,彳=7—i,z在复平面内对应的点（7,1）位于在第一象限.

(7兀

10.BC由图可知T=2|—则。=2.因为点,0在/（%）的图象上，所以

(12

=0,所以乌+°=E+二（左eZ）,解得夕=左兀+'（左eZ）,因为

623

0＜°＜兀，所以°=三，则A错误.因为点（0,1）在/（力的图象上，所以/@=Acos]=l,解得

A=2,则B正确.因为/f--j=2cosf--+—j=2cosf--j=0,所以/（x）的图象关于点

对称，则C正确.由/(x)>1,ip2cos+—j>1,gpcos^2%+—J>—,得2/CJI

-1<2x+|<2bi+|(Z：GZ),解得E—三<工<也优eZ),所以不等式/(%)>1的解集是

IOeZ),则D错误.

x^x(V2)2=12A/3

11.ABC因为AB=2,所以BE=J5.该几何体的表面积为24，A正确.该几何

4

]]LL

体的体积为23—12x—X—X企大企xl=4,B正确.

32

因为HM〃BD,所以直线即/与直线GN所成的角即直线5。与直线ON的夹角，其大小为四.故直

3

7?

线与直线GN所成的角为一,C正确.

3

设石厂的中点为。，连接08,08(图略)，4。”即为二面角5—石户—H的平面角.

CD八〃aOB-+OH2-BH-1「他、口

OB=OH=—,cos/BOH=----------------=——，D错厌.

22OBOH3

78+80

12.79因为15x60%=9,则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是-------=79.

2

13.-因为E,尸分别是棱的中点，所以AE=1AD,BF=^BC,则

222

EF=EA+AB+BF=--AD+AB+-BC=--AD+AB+-(AC-AB)=-AB+-AC--AD.

2222、>222

因为A3,平面ACD,所以所以钻.AC=ARAO=0.因为.ACD是边长为

4的等边三角形，所以AC.A£)=8.因为

-2(111八~1-2121-21------1-125

EF=-AB+-AC——AD=-AB+-AC+-AD+-ABAC——ABAD——ACAD=—

(222)4442224

,所以网=；.

14.3471连接3。交AC于点。，连接0E.因为尸及。后共面，且PB〃平面EAC,所以PB//

0E,易知。为3。的中点，所以£为。。的中点.设四面体ABCE外接球的球心为。，则。平面

所以抹

ABC,设。！2=/，，则。。2+。。2=。后2,+Q6)2=(h—6)2+Q6)2,解得/1=立，

、2

故四面体ABCE外接球的表面积为4兀(»+8)=3471.

P

15.解：⑴由频率分布直方图可得(0.010+2a+0.025+0.035)xl0=l,解得a=0.015.

(2)由题意，估计平均分天=50x0.1+60x0.15+70x0.25+80x0.35+90x0.15=73分.

(3)由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.015x10=0.15,则该校初二年级这

次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15,

故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为1200x0.15=180.

16.证明：（1）记ACcBQu。，连接OE.

因为四边形A3CD是正方形，所以。是5。的中点.

因为E是PZ）的中点，所以OE〃PB.

因为OEu平面平面ACE,所以PB〃平面ACE.

（2）连接。P.

因为四边形A3CD是正方形，所以。是AC的中点.

因为B4=PC,所以OPLAC.

因为四边形A3CD是正方形，所以AC，50.

因为。平面P3£）,且OPc5£>=O,所以ACJ_平面P5D.

因为ACu平面ACE,所以平面平面ACE.

17.解：（1）由题意可得

/(%)=—sin2x-----cos2x+sin2x=—sin2x------cos2x=Gsin|lx--

2222I6

2JT

则的最小正周期T=5=7l.

⑵令2E+巴轰如一二2foi+—(jteZ),

262

解得E+g领k防r+g(左eZ),

jr5兀

故"尤)的单调递减区间为kn+-,kn+—(左eZ).

,,,7兀八~,八兀4兀兀

(3)因为X£--^-,0,所以2x-•

_12J6|_36

当2%—£=-日，即1=-二时，/(%)取得最大值，最大值为了［一/^］=JGsin1-——

6312V12Joo

_3

-2

当2%=_g即x=-y时，f(x)取得最小值，最小值为|=6sin］一5一可

626V