常用逻辑用语（精练）-2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第02讲常用逻辑用语（精练）

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.命题“立小-三。），x>tan%”的否定是（）

x<tanxB.Vxef—^,oj,x<tanx

x<tanxD.Gf——,0x<tanx

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】解：由全称命题的否定是存在量词命题，

所以命题%>1311%”的否定是“天£（一段,01,xWtanx”,

故选：C.

2.已知命题“*eR,使2无2+（。-l）x+；wo”是假命题，则实数。的取值范围是（）

A.1）B.（—1,3）

C.（-3,+WD.（-3,1）

【答案】B

【分析】由题可得2尤2+（°-1*+1>0恒成立，由Av。即可求出.

【详解】因为命题“HxeR,使2?+（〃_1）无+；40”是假命题，

所以2元2+（“—1）》+万>0恒成立，所以△=（。—1）~—4x2X]<0,解得-l<a<3.

故实数。的取值范围是（T，3）.

故选:B.

3.命题也eR,尤2^0的否定是（）

A.VxeR,^：2<0B.HxeR,f<o

C.3xeR,^：2<0D.VxeR,x2<0

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定形式，即得解

【详解】根据全称命题的否定形式，命题VxeR,的否定是：3xeR,<0.

故选：C

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4.命题P:女£艮*+2依-420为假命题，则〃的取值范围是（）

A.-4<a<0B.-4<a<0

C.—3<^<0D.^-<6z<0

【答案】A

【分析】根据一元二次型不等式恒成立求解即可.

[详解]P：3XGR,O¥2+lax-4>0为假命题,贝！|“：X/x£R,+2ax-4<0为真命题,贝!）

当a=0时，显然满足，

,\a<Q

当t时，S=>-4<a<0

[A=4«2+16a<0f

故选：A

5.已知命题P：D%wR,x2+1>a,若力为真命题，则〃的取值范围是（）.

A.（-oo,l）B.C.（l,+oo）D.[l,+oo）

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定得到然后将存在问题转化为最值问题，求出（炉+1）福即

可.

【详解】F：3xeR,元2+1<°,因为力为真命题，则（尤②+1）而”<a,即a>l.

故选：C.

6.“一+/〈1”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据圆与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.

【详解】因为圆尤?+丁=1内切于圆（尤-l『+y2=4,

所以+产vi”是+y2J”的充分不必要条件.

故选：A

7.不等式ox?一2%+1>。（awR）恒成立的一个充分不必要条件是（）

A.a>\B.a>1C.0<tz<—D.a>2

2

【答案】D

【分析】先求得不等式依2—2%+l>0（awR）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.

【详解】不等式双2_2%+1>0（acR）恒成立，显然々=0不成立，

fa>0

故应满足L〃°，解得">1，所以不等式依2-2x+l>0（awR）恒成立的充要

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条件是A、C选项不能推出B选项是它的充要条件，。＞2可以推出。＞1,但

反之不成立，故。＞2是。＞1的充分不必要条件.

故选：D

8.若xeR,则“五4”是“|x-2|N2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】不等式|x-2|N2可化为或xWO,

所以“x1”可以推出“|x-2|22”，

所以“x"”是"|x-222”的充分条件，

又“|无一2m2”不能推出“彳24”，

所以“x"”不是“|x-2122”的必要条件，

所以“x"”是"|尤-2122”的充分不必要条件.

故选：A.

9.已知是两条不同直线，若。「平面月,贝『七”是“6〃6”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可判断充分性与必要性是否成立，即可得答

案.

【详解】若。平面用，ab,则匕〃6或buQ,故充分性不成立；

若。平面/，b///3,则。匕或a,6相交或a,6异面，故必要性不成立；

所以若“平面夕，贝！方”是“匕〃力”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

二、填空题

7C7C

10.若命题“王0£—,tan%＞机”是假命题，则实数加的取值范围是.

o3

【答案】［后+8)

【分析】转化为命题的否定是真命题后求解

【详解】由题意得"V无()e,tan%V利”为真命题，故相2(tan%),u=tanf=若，

_63J3

故答案为：［6,+8)

11.若命题Fxe(O,+s),使得依＞f+4成立”是假命题，则实数。的取值范围是.

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【答案】(Y,4]

【分析】由题意可知，命题“v尤e(0,+8),使得G4尤2+4成立，，是真命题，可得出。WX+；,

结合基本不等式可解得实数上的取值范围.

【详解】若命题“文«0，+8),使得依>f+4成立”是假命题，

则有“VxG(0,+co),使得ax<x2+4成立”是真命题.

即aWx—,贝！]agjxH|,

X\尤人山

又尤+3224=4,当且仅当x=2时取等号，故aW4.

X

故答案为：(3,4]

12.已知条件“log?。-尤)<。，条件4：x>a,若P是q的充分不必要条件，则实数。的取

值范围是.

【答案】J®,。]

【详解】条件p:log2(l-x)<0,.,.(Xlrvl,解得Ovxvl.

条件q:x>a,

若P是q的充分不必要条件，

根据包含关系可得a40.

则实数a的取值范围是：(-8,0].

故答案为(-叫0].

13.将函数/(x)=sin\+£|的图象向右平移夕个单位，得到函数y=g(x)的图象.则“夕=?

是“函数g(x)为偶函数”的条件，(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既

不充分也不必要”中选填一个)

【答案】充分不必要

【分析】先由题意得到g(x)=sin[x+?-。,结合充分条件与必要条件的概念，即可得出

结果.

【详解】由题意，将函数/Q)=sin[尤+的图象向右平移夕个单位，可得

g(x)=sinlx+^-(p的图像,

当。=今时,可得g(x)=sink+j-^

川一)-COSX显然g(x)为偶函数,

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所以“。=子”是“函数g（x）为偶函数”的充分条件；

若函数g（x）为偶函数，贝吟-0=^+kru,keZ,

即0=-£一左肛左eZ,不能推出9=当，

44

所以“夕=3?77”不是“函数g（x）为偶函数”的必要条件，

因此“°=子”是“函数g（尤）为偶函数”的充分不必要条件.

故答案为充分不必要

【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即

可，属于常考题型.

14.已知角A是一ABC的内角，贝广cosA=1”是"sinA=3”的_________条件（填“充分非

22

必要，，、“必要非充分，，、“充要条件，，、“既非充分又非必要，，之一）.

【答案】充分不必要

【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可.

【详解】解：因为A为ABC的内角，则Ae（0,180）,

若命题P：cosA=1成立，则4=60,即sinA=也；

22

若命题q:sinA=#成立，又由4«0,180。），则A=60或120;贝！|cos4=；或《«A=,

因此由。可以推得q成立，由q推不出乙

即p是q的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【点睛】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基础题.

15.已知命题P：-1<x<3,^:log3x<l,则。是4成立的条件.（从充分不必要、必

要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填）

【答案】必要不充分

【分析】首先求出命题q中x的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可；

【详解】解：由q：log3X<1,解得0<x<3,

因为（0,3）（-1,3）

所以"是q成立的必要不充分条件

故答案为：必要不充分

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.

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【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.“。>2”是“2--1>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据2-°-1的特征，设函数/(x)=2-X-1,的>2),并判断其单调性,由此判断

“a>2”可推出举反例说明反推不成立，可得答案.

【详解】设函数/(尤)=2'-x-l,(x>2),

贝Ur(x)=ln2x2X-l>ln2x22-l=lnl6-l>0,(x>2),

即F(x)=2工一x-1,(x>2)为单调增函数，贝!J>/(2)=1>0,

即得2「x-l>0,(x>2),

所以当a>2时，2。-°-1>0成立，

当a=—1时，2°-o-l=2-1+l-l=1>0,但推不出。>2成立，

故“a>2”是“2a-a-l>0”的充分而不必要条件,

故选：A

2.某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1,反面朝上则写下0,于是得到一

组数据•记命题。：“这组数据的中位数是g"，命题q：“这组数据的标准差为："，则。是q的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】充分性由中位数分析必须抛偶数次，且正反次数相同，即可得出这组数据的标准

差；

必要性由设出掷硬币的次数几次，其中正面朝上则写下1的有加次，即可得出这组数据的

平均数元=',根据已知与标准差公式列出等式,解出',即可得出这组数据的中位数；

nn2

再综合即可得出答案.

【详解】根据某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1,反面朝上则写下0,

于是得到一组数据，

若想这组数据的中位数是

则必须抛偶数次，且正反次数相同，

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则此时这组数据的平均妒

则这组数据中玉-丁=土;,

，-丁）2

则这组数据的标准差1,

2

即p是q的充分条件;

设某同学连续抛掷一枚硬币”次,其中正面朝上则写下1的有次,

则此时这组数据的平均数元=',

n

若这组数据的标准差是

则这组数据的标准差

2

化简得解得'=（，

ynJn4n2

则这位同学连续抛掷一枚硬币〃次，其中有一半为正面朝上，一半为反面朝上，

则这组数据的中位数是;，

即〃是4的必要条件；

综上所述：P是4的充要条件，

故选：C.

3.使得“函数”》）=3，一枚在区间（2,3）上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（）

4

A.t>2B.t<2C.t>3D.-<r<3

3

【答案】C

【分析】求出使得函数/（x）=3-3"在区间（2,3）上单调递减时/的范围，结合充分性、必要

性的定义即可得出答案.

【详解】由函数〃*=3八'在区间（2,3）上单调递减，

得y=V-3比在区间（2,3）上单调递减，

所以13/^3,解得出2.

结合A,B,C,D四个选项，知使得“函数/（司=343”在区间（2,3）上单调递减”成立的一

个充分不必要条件可以是,>3.

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故选：c.

二、多选题

4.下列说法正确的有（）

A.“0>6”是“同>网”的充分不必要条件

B.命题“mxeR,x2-x-2=0”的否定是"VxeR,x2-x-2^0"

C.若命题“VxeR,炉+1>%”是真命题，则实数机的取值范围是（f,l）

D.设.a,bcR,则“龙+lwa+6”的充要条件是“a,6都不为1”

【答案】BCD

【分析】根据充分必要条件的定义判断AD、命题的否定的定义B,由不等式恒成立判断C.

【详解】a>b,可取a=0,b=-l,此时时<同，""

：.ua>b”不是“|a|>网”的充分条件，A错.

2,2,,

命题“去eR,x-x-2=0,,否定“VreR,x-x-2^0,B对.

命题“VxeR,尤2+1>加”是真命题，...I〉???,C对.

ab+l^a+b,BPab+l—a—b^O,即（a—1）（6—1）wO,

则awl,bwl,充分.

若owl,b^l,贝!]（。一1乂人一1）彳0,贝!J1+必wa+b,必要，

...“a6+lwa+6”是“a,b都为1”的充要条件，D对.

故选：BCD.

5.下列说法正确的有（）

A.设4={尤|2"<5},B=[x\la<x<a+-5\,若BqA,则实数a的取值范围是在,2]

B.6>1”是“必>1”成立的充分条件

C.命题p：X/xeR,x2>0,则-!P：eR,Y<0

D.“aV5”是“函数〃%）=3-（4-2）x-3是R上的单调增函数”的必要不充分条件

【答案】BD

【分析】分3=0与3x0两种情况讨论，求出参数。的范围，即可判断A,根据不等式的

性质及充分条件的定义判断B,根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C,求出函数

的导数，由r（x”o恒成立求出。的取值范围，再根据集合的包含关系判断D即可；

【详解】解：对于A：当3=0,BP2a>a+3,解得a>3时满足3勺4,

4+345

当BW0,因为所以2a22,解得lVa<2,综上可得ae[l,2][3,y）,故A

2〃Wa+3

错误；

对于B：由。>1,6>1则成>>1,故6>1"是"必>1”成立的充分条件，即B正确；

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对于C：命题p：VxeR,x2>0,则M：3.X6R,x2<0,故C错误；

对于D：因为/(x)=e*-(a-2)x-3,所以_f(x)=e'-(a-2),若在R上单调递增，

贝(ir(x)=e*—(a—2)2。恒成立,所以a—240,解得公2,因为(』2]3,5],

所以“aV5”是“函数〃x)=e「(〃-2》-3是R上的单调增函数”的必要不充分条件，故D

正确；

故选：BD

三、填空题

6.命题“VxeR,办,+4办+3>0”为真，则实数。的范围是

【答案】0怖]

【分析】将问题转化为“不等式依2+4依+3>0对xeR恒成立”，由此对。进行分类讨论求

解出。的取值范围.

【详解】由题意知：不等式依2+4a无+3>0对恒成立，

当a=0时，可得3>0,恒成立满足；

fa>03

当aw。时，若不等式恒成立则需人“2s八，解得。<〃<j

[A=16a-12tz<04

所以。的取值范围是。,2,

故答案为：0，；)

【点睛】思路点睛：形如62+乐+。<0(>0)的不等式恒成立问题的分析思路：

(1)先分析a=0的情况；

(2)再分析并结合/与0的关系求解出参数范围；

(3)综合(1)(2)求解出最终结果.

7.已知集合A=1|y=/-tx+l,尤e1,2^|,B=^x\x+m2>1}.若“xeA”是“xe3”的

充分条件，则实数机的取值范围为.

【答案】D%+8)

【分析】求函数的值域求得集合A,根据“xeA”是“xe3”的充分条件列不等式，由此求

得加的取值范围.

【详解】函数y=£-彳1+1的对称轴为％=]，开口向上，

24

3「3-

所以函数y=尤+1在『2上递增，

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37

当X=：时，^min=77?当X=2时，,max=2.

4lo

"7-

所以A=-,2.

_lo

3={x|x+疗21}={x|xNl-加},

由于"xeA"是"xe3”的充分条件，

7Q

所以1-疗V/,m2>—,

1616

33

解得mW-二或〃?2了,

44

所以加的取值范围是1-8,-：u：，+8).

故答案为：Uj+8)

8.若不等式国<。的一个充分条件为-2<x<0,则实数a的取值范围是.

【答案】a>2

【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，

即可求解.

【详解】由不等式Ix|<。，

当aW0时，不等式I无1<。的解集为空集，显然不成立；

当。>0时，不等式|x|<a,可得-a<x<a,

要使得不等式1幻<。的一个充分条件为-2<x<0,则满足{x|-2<x<0}q{x|-a<x<a},

所以一22—a,BPfl>2

二实数a的取值范围是a22.

故答案为：a>2.

9."〃=「'是"直线尤+--1=0与直线办-y+l=0相互垂直”的条件.

【答案】充分不必要

【分析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】若。=1,直线x+yT=。的斜率上=-1,直线x-y+i=o的斜率左=1,则两条直

线垂直，即充分性成立，

当。=0,两条直线方程为X-1=0,和-y+l=0,则两条直线垂直；

当awO,直线x+ay-1=0的斜率左=-4，直线ax-y+l=O的斜率％=a,满足两直线垂直，

a

故必要性不成立，

所以“a=1”是“直线无+0-1=0与直线6-y+1=0相互垂直”的充分不必要条件

故答案为：充分不必要

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10.若“存在1],〃f+2'+1>0成立”为真命题,则〃的取值范围是

9

【答案】(-5，+°°)

【解析】转化为-。<亨在xe[T，U上有解，不等式右边构造函数，利用单调性求出最大

3%

值即可得解.

【详解】存在xG[-L1],a3+2，+l>0成立，即在xe[-1,1]上有解，

3'

设/即等

易得y=f(x)在[-1,1]为减函数，

所以1)],BP-2+-1</(x)<|3+3,即以/(%)"9,

9Q

BP—a<—,所以〃>一,,

9

故答案为：(--,+°°).

【点睛】关键点点睛：将问题转化为-a<亨在天©[-1」]上有解进行求解是解题关键.

3工

【C组在创新中考查思维】

一、单选题

1.已知p：lv>o,e*-ax<l成立，〃：函数/(x)=-(a-l)”是减函数，则P是4的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

x_1ex

【详解】•••p:3x>0,ex-ax(l,—ip:V%>0,>1=>Vx>0,<-P----,设w(x)=----,

xx

则

Vx>0,a<[—,1/(盼=3,/(幻=士々,可得，心)在(。,”)上单调递增，而

IxLn**

limw(x)=lim-——-=1,则[p:a<1,；.p:a>1；由4：函数〃x)=-(。-1),是减函数,可知

Xf0Xf0xv7v7

q：a>2,故P是4的必要不充分条件

2.己知函数的定义域为R,贝『"(x+l)+/(x)=0”是“〃x)是周期为2的周期函数”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

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C.既不充分又不必要条件D.充要条件

【答案】A

【分析】通过〃x+l)+/(x)=O可以得出了(x+2)=〃x),反过来不可以，反例见详解.

【详解】由〃龙+1)+〃力=0得，/(x+1)=-/(%),

所以，/((x+l)+1)=-f((x+1))=-(-/(x))=f(x),即〃x+2)=〃x).

所以“〃龙+l)+〃x)=O”是叮⑺是周期为2的周期函数”的充分条件.

如下图是一个周期为2得函数，

所以“〃x+l)+〃x)=O”是“了⑺是周期为2的周期函数”的不必要条件.

所以“〃彳+1)+〃力=0”是“〃”是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.

故选：A.

二、多选题

3.已知定义在R上的函数〃尤)，对于给定集合A,若^2ER，当石-々6A时都有

J(^)-/(x2)eA,则称是，A封闭”函数.则下列命题正确的是()

A./(%)=/是"[-1』封闭"函数

B.定义在R上的函数/(元)都是“｛0｝封闭”函数

C.若〃尤)是“｛1｝封闭”函数，则〃x)一定是“也｝封闭”函数,eN*)

D.若f(x)是1a,可封闭”函数(a/eN*),则〃尤)不一定是“｛的封闭”函数

【答案】BC

【分析】A特殊值占=4,%=3判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义

得到VxeR都有/(X+1)=/(x)+1,再判断所给定区间里是否有/(%+幻-/(%)=左成立即

可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.

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【详解】A：当%=4,%=3时，-x2=le[-l,l],而/(占)-/(%)=16-9=7任[-1,1],A

错误；

B：对于区间｛0｝,eR使％-%=。，即玉=%，必有/(%)-/(%)=。，

所以定义在R上的函数/(尤)都是“｛0｝封闭”函数，B正确；

C：对于区间｛1｝,\/占,超eR使百一々€傅，贝！J为=%+1,

而是“｛1｝封闭”函数，则/(々+1)-/(々)=1,即VxeR都有/(x+D=/(x)+l,

对于区间｛左｝,V'eR使％-%€阳，贝!|%=%+%,%eN*,

而/(尤2+Q=/(尤2+左-1)+1，f(x2+k-D^f(x2+k-2)+l,...»/(x2+l)=/(x2)+l,

以/(巧+左)+/(/+左一1)+…+/(%2+1)=/(々+左—1)+/(Z+左—2)+…+/(9)+左一1,

即/(%+幻=/(3)+3故/(%+公一/(%)=左，"X)一定是“桢｝封闭”函数(AcN*),c

正确；

D选项,其逆否命题为，若〃尤)是“｛闻封闭”函数，则〃x)不是“卜,可封闭”函数eN*),

只需判断出其逆否命题的正误即可，

V%,%2£R使玉一%2=4匕，贝!I/(%1)—/(%2)=Q力，

ab>a

若而£[a,可，贝!!<次?《b,

a<b

由"/24人解得。K1,因为QEN*,所以a=l,

即V%,%2£R使玉一W=ab=b^\a,b\,则f(xl)-f(x2)=ab=b^[a,b]9

满足〃尤)是"心,可封闭”函数(。，6©N*),

故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：对于C,根据给定的条件得到VxeR都有〃x+D=/(x)+l,VxeR

有f｛x+a)=〃x)+6恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.

4.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；

峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲

线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.

在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为〃尤)=。1+加r(其中。，6是非零常数，无

理数e=2.71828…)，对于函数/(x)以下结论正确的是()

A.“=6是函数f(x)为偶函数的充分不必要条件；

B.。+6=0是函数/(x)为奇函数的充要条件；

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C.如果必<0,那么/'(X)为单调函数；

D.如果仍>0,那么函数/(x)存在极值点.

【答案】BCD

【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类

讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.

【详解】对于A,当时，函数Ax)定义域为R关于原点对称，

"-X)=aex+bex=f(x),故函数/(%)为偶函数；

当函数f(x)为偶函数时，/(x)-/(-x)=0,故(a—6户+0-4)1=0,

即(。-6贮=(。-6),Xe2A>0,故“=6,

所以。=6是函数〃尤)为偶函数的充要条件，故A错误；

对于B,当。+6=0时，函数AM定义域为R关于原点对称，

f(x)+/(一尤)=(a+b)e*+(a+6)。=0,故函数/(x)为奇函数，

当函数/(x)为奇函数时，/(%)+/(-%)=(a+b)ex+(a+b)e^x=0,

因为e*>0,e-x>0,故a+6=0.

所以a+b=0是函数为奇函数的充要条件，故B正确；

对于C,fr(x)=aeA-i>er,因为而<0,

若a>0力<0,贝!|尸(劝=祀*一加-*>0恒成立，则/(X)为单调递增函数，

若0,6>。贝(]f\x)=acx-bex<0恒成立，则〃尤)为单调递减函数，

故而<0,函数为单调函数，故C正确；

对于D,尸(x)-aex-b