浙教版八年级上册数学2.7 探索勾股定理知识点分类训练

2.7探索勾股定理知识点分类训练班级：姓名：考点一：勾股定理的证明方法例1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（

）．A． B．C． D．变式1-1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（

）A．a+ba−b=aC．c2=a变式1-2．勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（

）A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想考点二：勾股数问题例2．下列是勾股数的是（

）A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8变式2-1．下列各组数据中是勾股数的是(

)A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．4，5，7 D．5，12，13变式2-2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（

）A．17 B．34 C．77 D．86考点三：利用勾股定理解直角三角形例3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长为（

）A．69 B．12 C．15 D．3变式3-1．在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，则AB的长为（

）A．5 B．7 C．5或7 D．6变式3-2．若直角三角形两直角边长分别为6和10，则它的第三边长为（

）A．8 B．27 C．214 考点四：勾股定理与网格问题例4．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC是（

）．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形变式4-1．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对变式4-2．如图，在7×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，则AD的长为（

）A．22 B．352 C．29考点五：勾股定理与折叠问题例5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D、E分别在AC、BC上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点C′处．连接AA．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在变式5-1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6．将△ABC折叠，使点A落在BC的中点D处，折痕为MN，则线段DN的长为（

A．3132 B．92 变式5-2．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（）A．136 B．56 C．76考点六：用勾股定理构造图形解决问题例6．如图，一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B

A．6cm B．7cm C．10cm变式6-1．某扇门的规格是1m×2mA．1.8m×4m B．2m×3.5m变式6-2．一个长方形抽屉长20cm，宽30cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（A．30cm B．35cm C．36cm考点七：勾股定理的应用例7．如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cmA．1cm B．2cm C．3cm变式7-1．一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，两船相距（

）A．20海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里变式7-2．在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为米．考点八：利用勾股定理逆定理求解例8．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a−6+b−8+A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．等边三角形变式8-1．如图，点E在边长为5的正方形ABCD内，测得CE=3，DE=4，则阴影部分的面积是（

）A．12 B．16 C．19 D．25变式8-2．在△ABC中，已知AB=6cm，AC=10cm，BC=8cm，则△ABCA．40cm2 B．25cm2 C．考点九：勾股定理逆定理的应用例9．如图，一块四边形ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，A．24 B．30 C．48 D．60变式9-1．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西40°方向航行，则智能号轮船的航行方向是（

）A．北偏东50° B．北偏西50° C．北偏东40° D．北偏西40°

参考答案考点一：勾股定理的证明方法例1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【详解】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，∴a+b2以上公式为完全平方公式，∴A选项不能说明勾股定理，符合题意；B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，∴12整理得a2∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意；C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，∴4×1整理得a2∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意；D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，∴4×1整理得a2∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意．故选：A．变式1-1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（

）A．a+ba−b=aC．c2=a【答案】C【详解】解：由图可得：大正方形的面积=c大正方形的面积=4个三角形的面积+1个小正方形的面积，∴c∴c故选：C．变式1-2．勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（

）A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想【答案】A【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：A．考点二：勾股数问题例2．下列是勾股数的是（

）A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8【答案】C【详解】解：A、三边长2.5，2，1.5不都是正整数，不是勾股数，不合题意；B、112C、92D、三边长62故选：C．变式2-1．下列各组数据中是勾股数的是(

)A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．4，5，7 D．5，12，13【答案】D【详解】解：A、由题可知，三个数都不是正整数，故不符合题意；B、由题可知，数3不是正整数，故不符合题意；C、42D、52故选：D．变式2-2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（

）A．17 B．34 C．77 D．86【答案】C【详解】解：如下图：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1＝42+62，S2＝32+42，于是S3＝S1+S2，即可得S3＝16+36+9+16＝77．故选：C．考点三：利用勾股定理解直角三角形例3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长为（

）A．69 B．12 C．15 D．3【答案】B【详解】解：如图所示：∵等腰三角形的腰长为13，底边长为10，∴AB=AC=13，BC=10，∵AD是∠BAC的角平分线，∴由等腰三角形“三线合一”性质可知AD⊥BC，且BD=CD=5，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=13，BD=5，则由勾股定理可得AD=A∴它的顶角的平分线的长为12，故选：B．变式3-1．在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，则AB的长为（

）A．5 B．7 C．5或7 D．6【答案】B【详解】解：∵在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，∴AB=A故选：B．变式3-2．若直角三角形两直角边长分别为6和10，则它的第三边长为（

）A．8 B．27 C．214 【答案】D【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为6和10，∴斜边长为：62故选：D．考点四：勾股定理与网格问题例4．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC是（

）．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【详解】解：∵AC2=22+6即AB2+BC2∴△ABC不是直角三角形，不是等腰三角形．∵△ADC是钝角三角形，∴△ABC是锐角三角形．故选：A．变式4-1．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对【答案】A【详解】解：∵正方形小方格边长为1，∴BCACAB在△ABC中，∵BC2+A∴BC∴△ABC是直角三角形．故选：A变式4-2．如图，在7×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，则AD的长为（

）A．22 B．352 C．29【答案】D【详解】解：∵AB=∴A∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，又∵AD是BC边上的中线，∴AD=故选：D．考点五：勾股定理与折叠问题例5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D、E分别在AC、BC上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点C′处．连接AA．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在【答案】B【详解】解：当C′落在AB上，点B与E重合时，A∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=A由折叠的性质知，BC∴AC故选：B．变式5-1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6．将△ABC折叠，使点A落在BC的中点D处，折痕为MN，则线段DN的长为（

A．3132 B．92 【答案】C【详解】解：设BN=x，由翻折的性质可知AN=DN=9−x，∵D是BC的中点，BD=1在Rt△BDN中，由勾股定理得：D即(9−x)2解得：x=4，∴DN=9−x=5，故选：C．变式5-2．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（）A．136 B．56 C．76【答案】A【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处，∴AP=AB=2，∠B=∠APB，∵折叠纸片，使点C与点P重合，∴CE=PE，∠C=∠CPE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠APB+∠CPE=90°，∴∠APE=90°，∴AP设AE=x，则CE=PE=3−x，∴22解得x=13即AE=13故选：A．考点六：用勾股定理构造图形解决问题例6．如图，一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B

A．6cm B．7cm C．10cm【答案】C【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示：

在侧面展开图中，AC的长等于底面圆周长的一半，即12∵BC=8cm，AC=6cm，∴根据勾股定理得：AB=6∴要爬行的最短路程是10cm．故选：C．变式6-1．某扇门的规格是1m×2mA．1.8m×4m B．2m×3.5m【答案】D【详解】门框的对角线长为12∵5≈2.236∴只有D选项的薄木板的宽大于2.236，即只有D选项的薄木板不可以通过．故选：D．变式6-2．一个长方形抽屉长20cm，宽30cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（A．30cm B．35cm C．36cm【答案】C【详解】解：∵202+30∴这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是36cm，故选：C．考点七：勾股定理的应用例7．如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cmA．1cm B．2cm C．3cm【答案】C【详解】解：如图，由题意得：CD=2×4=8cm,BC=6cm，∴BD=C∴露出杯口外的长度为：13−10=3(cm)，故选：C．变式7-1．一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，两船相距（

）A．20海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里【答案】A【详解】根据题意，如图所示，可知，∠BAC=90°，AB=16，AC=12，在Rt△ABC中，BCBC解得：BC=20，故两船相距20海里故选：A变式7-2．在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为米．【答案】8【详解】解：设旗杆的高度为x米，则AB=x米，AC=x+2在Rt△ABC中，由勾股定理得AC∴x+22解得x=8，∴AB=8米，∴旗杆的高度为8米，故答案为：8．考点八：利用勾股定理逆定理求解例8．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a−6+b−8+A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．等边三角形【答案】C【详解】解：∵a−6+∴a−6=0,b−8=0,c−10=0，解得a=6,b=8,c=10，∵a∴36+64=100，即a2∴△ABC是以c为斜边的直角三角形，故选：C．变式8-1．如图，点E在边长为5的正方形ABCD内，测得CE=3，DE=