圆的综合应用题（解析版）-2024年中考数学答题技巧

通的候舍启用题

与圆的性质有关的证明与计算

特殊四边形与圆结合的动态探究

圆的综合应用题中常考题型

情景与应用题型

中考圆的命题趋势主要围绕圆的有关概念和性质进行考查，包括弦弧角的关系、圆周角与圆心角、圆内接

四边形、切线等知识点。这些知识点常以选择题、填空题和解答题的形式出现，既考察学生对这些基础知识的

掌握程度,也考察学生运用这些知识解决实际问题的能力。

模型01与圆的性质有关的证明与计算

与圆的性质有关的证明与计算近两年主要以选择、填空的形式出现。在选择题和填空题中，通常会直接

考查学生对圆心角与圆周角及圆的切线等知识的理解和应用。在解答题中，可能会涉及到圆的对称性、圆与

三角形或四边形的综合应用，需要学生运用所学的数学知识进行推理和计算。止匕外，还可能会涉及到与其他

知识点的综合应用，如与三角形的相似和全等、四边形的存在性问题等知识点的结合。

模型02特殊四边形与圆结合的动态探究

特殊四边形与圆结合的动态研究，该题型主要以解答题的形式出现，第一问基本上考查的为圆的性质，主

要以求解和证明的形式出现。圆与四边形结合时，需要我们对四边形的判定和性质有清晰认识,尤其是菱形、

矩形的相关知识点。圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类,也是难度较大的一类，所以，对应的训练

很有必要。

模型03情景与应用题型

情景与应用题型是圆知识点的综合考查应用，通常和我们的日常生活中所接触的事物或者生活现象紧密

结合，需要同学们有较强的阅读和理解题意的能力，同时还要有一定的知识储备。在解题时要根据题意把转

化为我们所学习的圆的相关知识应用。

总结・通型铀建［

模型01与圆的性质有关的证明与计算

考I向I项I恻

与圆的性质有关的证明与计算该题型近年主要以选择、填空形式出现,在综合性大题考试中，难度系数不

大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的性质及相关判定定理与推论并结合圆

和其它几何的相关知识点进行解题。

答I题I技I巧

第一步：灵活应用弦弧角之间的关系，弦和弧最终转化为角，一般情况下是圆周角；

第二步：碰到直径想直角，直径所对的圆周角为90°；

第三步：看到切线--连半径--90°,证明切线时注意证明90°；

第四步：圆内接四边形一一对角互补，外交等于内对角；

［题型王＜5'1

题目工（2023•河南）如图，在中，/B=30°,AB=3.以。为圆心，04为半径的圆。交OB于点C.

点。在OO上，连接CD,4D,若/40。=30°,则圆。的半径为（）

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】B

【详解】

解：：AADC=30°,

：./AOC=24ADC=60°,

•/ZB=30°,

AOAB=180°-60°-30°=90°,

tanB=tan30°=,

AB

；AB=3,

OA=3x=V3,

o

故选：B.

（2023・安徽）如图，在4ABC中，/A=90°,AB=AC=9,以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动

点P.连接AP、BP、CP,则■|BP+C尸的最小值是（）

O

2

A.3V13B.V97C.D.2+3V13

【答案】8

【详解】解:如图，在AB上取一点F,使得AF=4,

AB=9,AP=6,AF=4,

./E=g=2则=

"AB93JAP639ABAP9

・・・AFAP=APAB,

：.△FAP〜AF4B,

.PF=AP=2

9'~PB~~AB~~39

9

:.PF瓷BP,

当F、P、。共线时，PP+CP的值最小，最小值为CF,

在Rt/\FCA中，CF=V92+42=V97,

・・.?BP+CP的最小值为V97.

o

故选：B.

【题目⑶（2023•湖北）如图，AB是。。的直径，AB=10,。是AB延长线上一点，。在。。上，连接AC,

（1）求证：。。是。。的切线；

⑵若tan/A=/,求CD的长.

【答案】（1）详见解析

⑵CD=5

【详解】⑴

证明：连接OG,BC,如图，

•.•AB为。。的直径，

ZACB=90°,

AZA+ZABC=90°.

■：OB=OC,

：./ABC=ZBCO.

NBCD=NA,

：.ABCD+ZBCO=90°,即ADCO=90°,

OC±CD.

­.­。。是。。的半径，

.•.CD是。。的切线；

解：TAB为。O的直径，

・・・乙4cB=90°,

1

*.*tanZA=—,

.BC_1

"AC~2f

•・・ZA=/BCD,ZD=ZD,

・・・/\ACD〜丛CBD,

.BD=BC=1

"CD-AC-T，

设BD—x,CD—2x,

・・・AB=10,

:.OB—OC—b,

•・・ZDCO=90°,

002=CD2+OC2,

：.0+5)2=(202+52,

解得劣=£或a;=0(不合题意舍去),

:.CD—5.

模型02特殊四边形与圆结合的动态探究

考|向|项|浏

胞除四边形与圆结合的动态探究模型该题型主要以解答题的形式出现,综合性较强，有一定难度,主要考查

对圆性质的理解与三角形或四边形综合知识的应用。实际题型中对数形结合的讨论是解题的关键。许多问

题的讨论中需要我们对四边形的判定和性质有清晰认识。

答I题I技I巧

第一步：圆的性质应用，根据专题1的解题思路进行求解；

第二步：注意结合的四边形的形状,特殊平行四边形的性质与判定熟练应用；

第三步：四边形的存在性问题注意假设、反推；

第四步：数形结合进行分析、解答

I题型学＜5*1

题目回（2023•湖北）如图，四边形ABCD内接于©O,点E在CD的延长线上.若AADE=70°,

则ZAOC=度.

【答案】140

【详解】解：；四边形ABCD内接于。O,NADE=70°,

A/B+/ADC=180°,

又AADE+AADC=180°,

A/B=/ADE=70°,

"00=2/8=140°.

故答案为：140.

〔题目回（2023•江西）课本改编

（1）如图1,四边形ABCD为。。的内接四边形，AC为。O的直径，则2D=_度,ABAD+ABCD

一度.

（2）如果0O的内接四边形ABCD的对角线AC不是OO的直径，如图2,求证:圆内接四边形的对角互

补.

知识运用

（3）如图3,等腰三角形48。的腰AB是③。的直径，底边和另一条腰分别与O。交于点D,E,F是线

段CE的中点，连接DF,求证：DF是©。的切线.

【答案】⑴90,180;（2）见解析；（3）见解析

【详解】（1）：四边形ABCD为。。的内接四边形，AC为⑷。的直径,

48=40=90度,

•/ABAD+ABCD+ZB+ZD=360°

A/BAD+ABCD=360°-ZB-ND=180°

故答案为：90,180

（2）证明：如图，连接AO并延长，交。O于点E,连接BE,DE.

由（1）可知，/ABE=90°,/ADE=90°,

AABE+AADE=180°

ABAD+2BED=180°

•/ABED=AC,2CDE=ACBE

：.ZBAD+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°

即圆内接四边形的对角互补

⑶证明：连接OD,DE,如图所示

•：OB=OD,

：.NB=NODB

•：ABAC,

：.2B=ZC

:"ODB=2C

：.OD//AC

•：四边形ABDE是圆内接四边形,

：.AB+AAED=18QQ

•/ADEC+AAED=180°,

NB=NDEC

：.NC=/DEC

：.DC=DE

•.•F是线段CE的中点，

：.DF±AC

：.DF_LOD

•••OO是。。的半径，

.♦.OF是（DO的切线

模型03情景与应用题型

考|向|殖|恻

圆结合的情景与应用模型近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易得满分。

该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后,有一定难度。该题型通常和我们的日常生活中所接触的事

物或者生活现象紧密结合，需要同学们有较强的阅读和理解题意的能力，同时还要有一定的知识储备。在解

题时要根据题意把转化为我们所学习的圆的相关知识应用。

答I题I技I巧

第一步：理解题意，联系圆的相关知识点；

第二步：圆的相关证明与判定依据模型1的思路总结；

第三步：利用四边形、圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；

即型三例

[题目|1]（2022•河南）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚

铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环。。与水平地

面相切于点。，推杆与铅垂线AD的夹角为/历LD,点。，在同一平面内.当推杆4B与

铁环OO相切于点B时,手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果.

（1）求证：ZBOC+ZBAD=gO0.

（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低

位置，此时点A距地面的距离AD最小,测得cosZBAD=1-.已知铁环。0的半径为25cm,推杆AB的

长为75cm，求此时AD的长.

6

【答案】(1)见解析

(2)50cm

【详解】(1)证明：・.・。O与水平地面相切于点C,

：.OC1.CD,

・・・AD_LCD,

AADHOC,

・・・AB与。。相切于点

・・・ABVOB,

・・.AOBA=9Q°,

过点、B作BE〃AD,

：.ABAD=AEBA,BEUOC

・・・/COB=/OBE,

：.4cOB+ABAD=/OBE+AABE=AOBA=90°,

即ZBOC+ABAD=90°.

⑵如图，过点B作CO的平行线，交4D于点G,交OC于点R,

・・.FG±AD,FG_LOC,则四边形CFGD是矩形，

•・・ABOC+ABAD=90°,AABO=90°,

・・.AOBF=90°-AFOB=ZA,

在Rt/\ABG中，=cosN_BAD=§,AB=75cm,

5

AG=ABxcosABAD=75x=45(cm),

5

Q

在Rt/\OBF中，cosZOBF=cosA=--,OB—25cm,

5

BF=OBx3=25xg=15(cm),

55

・・.OF=^OB2-BF2=V252-152=20(cm),

/.FC=OC—OF=25-20=5(cm),

:.DG=FC=5cm,

/.AD=AG+GD=45+5=50(cm).

目。（2022.江苏）（现有若干张相同的半圆形纸片，点。是圆心，直径AB的长是12cm,C是半圆弧上的

一点（点。与点不重合），连接

AOBAOB

备用图

⑴沿AC、剪下ZVIBC,则△ABC是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是

一个边长为6cm的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作

法）；

（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点。，一定存在线段AC上的点河、线段BC上的点N

和直径AB上的点P、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形.小明的猜想

是否正确？请说明理由.

【答案】（1）直角

（2）见详解

（3）小明的猜想正确，理由见详解

【详解】（1）解:如图，

•.•AB是。。的直径，

ZACB=90°,

乙4cB是直角,

即△ABC是直角三角形，

故答案为：直角；

（2）解：以为圆心，49为半径画弧交。。于点E,再以E为圆心，EO为半径画弧交于©O点F连接

EF、FO.EA,G、〃点分别与A、O点重合，即可，

作图如下：

由作图可知AE=EF=FH=HG=OA==6,

即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；

（3）解：小明的猜想正确，理由如下：

如图，当点C靠近点A时，设CM=^-CA,CN=春CB,

oo

,CM=CN=\

・・.MN//AB,

.MN=CAI=1

"~AB~~CA~Jy

ii

MN=-^-AB=--X12=4cm.

oo

分别以河，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P,Q,作AB于点O,NE_LAB于点石，

・・.MN=MP=NQ=4cm.

•/MN〃AB,MD_LAB,NE_LAB,

・•.MD=NE,

在Rt'MDP知Rt'NEQ中，震;嗯

：.RtAMDPxRIANEQ(HL),

ZMPD=ZNQE,

：.MP//NQ,

又；MP=NQ,

：.四边形7WNQP是平行四边形，

又：MN=MP,

：.四边形儿WQP是菱形；

同理，如图，当点。靠近点B时，采样相同方法可以得到四边形上WQP是菱形,

故小明的猜想正确.

京夏•孤牝钿续

题目包（2022•四川省）如图，CD为。。的直径，弦AB,CD,垂足为E,CE=1,AB=6,则。。的半径为

A

E\OD

D.无法确定

【答案】。

【详解】

连接04,

・・・CD为。O的直径，弦ABLCD,

：.AE=^-AB=39

设04=OC=力，则OE=x-1,B\/

：.（/一1户+32=/2,解得：x=5,F

・・・。0的半径为5.

故选

题目20（2023.广东）如图，AD为。。的直径，AD=6cm,/D4C=/4BC,则的长度为（）

B.2V2C.3V2D.3V3

【答案】。

【详解】

解：连接CD,

•/是。。的直径,

ZACD=90°,

•/ADAC=AABC,AABC=/LADC,\\

：.ADAC=AADC,\\

：.CD=AC,c

AC^CD,

又：ACi+CD1^AD1,

24。2=人。2,

；AD=6,

4。=3侑

故选：C.

题目回（2023•福建）。。的半径为10cm,弦AB〃CD.若4B=12cm,CD=16cm,则4B和•CD的M距离为

A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.2cm或10cm

【答案】。

【详解】

当弦48和CD在圆心异侧时，如图1,

过点O作OE_L4B于点E,反向延长O石交CD于点F,连接。4,OCf

・・・ABIICD,

：.OF_LCDf

AB—12cm,CD—16cm,

/.AE—6cm,CF—8cm,

・・・OZ=OC=10cm,

・・・在Rt/XAOE中，由勾股定理可得；EO=NO^—AE?=V102-62=8cm,

在Rt/XCOF中，由勾股定理可得：OF=VOC2-CF2=V102-82=6cm,

/.EF=OF+OE=8+6=14cm.

当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2,

过点O作。尸，CD,垂足为F,交AB于点E,连接OA,OC,

・・・AB//CD,

：.OE.LAB,

AB—12cm,CD—16cm,

AE=6cm,CF=8cm,

・・・OA=OC=5cm,

在Rt/\AOE中，由勾股定理可得：EO=y/O^-AE'2=V102-62=8cm,图2

在R心COF中，由勾股定理可得：OF=y/OC2-CF2=V102-82=6cm,

/.EF=OE—OF=8—6=2cm;

故选C.

题目叵（2023•北京）如图，AB为。。的直径，点。在圆上，若乙4。。=130°,则/BAC的度数为（）

【答案】。

【详解】解：•.•四边形ABCD是圆内接四边形,

AZAnC+ZB=180°,

・・・NADC=130°,

・•・ZB=180°-130°=50°,

・・・AB为。O的直径，

・•.ZACB=90°,

・・.ABAC=90°-ZB=40°.

故选：C.

题目⑶（2023•浙江）如图，在△AB。中，AB=AC,以AB为直径作圆，交于点。，延长CA交圆于点E,

连接DE,交于点F.若AF:BF=1：4,则EF：DF的值为（）

C.3:4D.1:2

【答案】B

【详解】解:连接AD,

；AB为直径，

NADB=90°,^：AD_LBC,

•：AB=AC,

.•.点。为BC的中点，

取4C的中点G,连接DG,则：DG//AB,DG=yAB,

AAEF-AGED,

.EF_AF

"15E~15G,

,：AF'.BF^VA,

AF=^AB,

5

.EF=AF=2

"DE-nc

2

:.EF==DE,

5

：.DF=—DE,

5

：.EF:DF=2:3;

故选8.

题目0（2023-陕西）如图，。。是AABC的外接圆，乙4=72°.过点。作BC的垂线交互方于点。，连接

BD,则/。的度数为（）

C.46°D.361

【答案】B

【详解】解:连接CD,

•.•四边形48。。是圆内接四边形，乙4=72°,

ZCDB+ZA=180°,

AZBDC=180°一/A=108°,

•：OD±BC,

.•.E是边3。的中点，

:.BD=CD,

：.NODB=2ODC=g2BDC=54°.

故选：B.

题目JJ（2023-上海）若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为度.

【答案】36

【详解】解：•.•正多边形的每一个外角都等于36°,

正多边形的边数n==io,

36

二.这个正多边形的中心角=3：；=36°,

故答案为：36.

题百①（2022•上海）如图，是RtAABC的外接圆，AB交®。于点E,垂足为点。，AE,CB的

延长线交于点F.如果。。=3,48=8,那么?。的长是.

【答案】10.

【详解】解：•.•OE_LAB,

A/ADO=90°,

•//ABC=90°,

/ABC=/ADO=90°,

：.OD//BC,

■：OA=OC,

：.AD=DB=yAB=4,AE=EF,

.•.OE是AAFU的中位线，

：.CF=2OE,

在RtAADO中，AO=^AD2+OD2=V42+32=5,

；.CF=2OE=1Q,

故答案为：10.

题目①（2023-长宁）如图，。。的直径4B与弦CD交于点E,已知ACEA=45°,DE=7,OE=32,那

么cot/ABD的值为.

12

【答案］5,一1.

【详解】解:作OF_LCD于尸，连接OD,

•.•/CEA=45°,

/OEF=45°,

-：OE=3V2,

：.OF=EF=3,

•:DE=7,

：.DF=4：,

.•.OD=V32+42=5,

：.OB=5,BE=5+3伍

作。H_LOB于H,

ADEH为等腰直角三角形,

•：DE=7,

:.EH=DH=%①,

・•・cotAABD=黑=三十=望一

DH7V2_7

2

故答案为：5史—1.

［题目亘（2023•湖南）如图，四边形ABC。内接于。O,对角线4。出。交于点打,连接。及若

。。的半径为r,OE=m.

（1）若4ABe=/BAD,求证：0H平分AAEB-,

⑵试用含r,馆的式子表示AC2+BD2的值；

（3）记△AOE,/\BCE,/\ABE,△CDE的面积分别为S2,S3,S4,当J&+S2+S3+S4=后+宿时,

求证：AC=BD.

【答案】（1）见解析；

（2）AC2+BL>2=4（2r2-m2）;

（3）证明见解析.

【详解】⑴解:连接。4、OB,

由比=比,得:2CBD=NCAD,

又AABC=ABAD,

NABC-ACBD=ABAD-ACAD,即NABD=ACAB,

：.AE=BE,

•：OE=OE,OA=OB

：.^AEO邕ABEO(SSS)

NOEA=ZOEB，即：OE平分AAEB.

(2)解:如图，作。M_LAC,ON_LBD,AC_LBD,连接OA、OB,得四边形OMEN为矩形，ON=ME,

根据垂径定理得AC=2AA/,BD=2BN

则A(f+BD2=(2AM)2+2(BAT)2

=4(AM2+BAT2)

=^r2-OM2+r2-ON2)

=4[2r2-(OM2+O7V2)]

=4[2r2-(OM2+Affi；2)]

=4(2/—。%

=4(2r2—m2)

即：AC2+BD2^4(2r2-m2)

⑶由J&+S2+S3+S4=4+宿两边同时平方化简得：$+$2=2/5商

.•兽=兽=器（等高，面积之比等于底之比）

・・S5=s3s4

••S1+S2=2宿£,(后-癌)2=S1+S2—2S5=0

Si=S2,Si+S3—S?+S3,即SMDB=S^ACB

因为△ADB和△ACB共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等

-.AB//CD,

-.BC^AD,

■.BC+CD=AD+Cb,

\AC=BD,

•.AC=BD.

题目包（2022•浙江）如图1所示的圆弧形混凝上管片是构成圆形隧道的重要部件.管片的横截面（阴影部

分）如图2所示,是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，甲、乙、丙三个小组分别采用三种不

同的方法,测算三片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径.

14

图1

⑴如图2,BA,CD的延长线交于圆心O,若甲组测得4B=0.6wi,4D=3小，BC=4m■，求OB的长.

（2）如图3,ED,FC的延长线交于圆心H,若乙组测得DE=0.8m,①=12m,颉=15力,直接写出

的长.

（3）如图4,有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接

触点乙为府的中点，若丙组测得MN=PQ=0.5M，NL=LQ=2m,求该管片的外圆弧半径.

【答案】（1）OB=2.4小

⑵EH=4m

（3）该管片的外圆弧半径为4.25m

【详解】⑴

解：•.•04=OD,OB=OC

ZOAD=ZODA=180。=AOBC=^OCB

：.△AO。〜△OBC

.OA_=AD_=3_

设。8=*,则04=。-0.6

./—0.6_3

••x~~4

解得：力=2.4,经检验力=2.4是原方程的解，即OB=2.4m

（2）解：•・,坦=黑，设明=g,贝］_HD=g—0.8

LEF乜H

.12_y—0.8

"15y

解得：？=4,经经检验,=4是原方程的解

：.EH=4m;

⑶

解:如图所示，设圆心为O,连接。P、OM,OL.MP,O乙与交于点T,则40TM=骄，MT=NL=2

o

设外圆弧的半径为r,则OT=r—0.5,

22

在Rt/^MOT中，勾股定理可得。河2=。丁2+村2，即产=（r_0.5）+2

解得：r=4.25

/.该管片的外圆弧半径为4.25m

支支.题型

题目工（2024・陕西西安・一模）如图，点4B在以CD为直径的半圆上，B是血的中点，连结BRAC交于

点E,若/ECD=40°,则/BDC的度数是（）

【答案】。

【详解】解:连接40,

••♦CD是直径，

ZCAD=90°,

•：/ECO=40°,

/ADC=90。-40。=50。，

•.•B是念的中点，

ZBDC=^-ZADC=25°.

故选：D.

题目幻（2024.安徽池州.一模）如图，已知△ABC内接于。。，力。为直径，半径OD//连接OB,AD.

若乙403=140°,则/BAD的度数为（）

A.75°B.70°C.55°D.50°

【答案】。

【详解】解：•.•卷=检，ZAOB=140°,

:"C=-AAOB=70°,4BOC=180°-AAOB=40°,

-.-OD//BC,

：./。0。=/。=70°,

AABOD=ZBOC+4DOC=40°+70°=110°.

•：BD-BD,

：.ABAD=yZBOD=55°,

故选：c.

题目§（2024.安徽.一模）如图，四边形ABCD内接于。O,AC为OO的直径，AACD+ABCD=180°,连

接。。，过点。作。ELAC,垂足为点E,过点。作OO的切线交的延长线于点F,则下列结论中不正

确的是（）

A.AD^DBB.NCDF=2BAC

C.DF±BFD.若。。的半径为5,8=4,则

5

【答案】B

【详解】・・,ZACD+ZBCD=180°,AACD+ZACB+4DCF=180°,

・・・/BCD=AACB+/.DCF,

•//.BCD=AACB+Z.ACD,

・・・4ACD=4DCF,

•：四边形ABCD内接于。O,

・・・4DCF=/DAB,

・・・ZACD=ZDABf

・・・助=访故A选项正确；

•：DE.LAC,

：./DEC=/DEA=90°,

：.ACDE+ADCE=90°,

・・・4。为。。的直径，

・・.AADE+ACDE=ZADC=90°,

・•.ZDAC=ACDE9

・・・F。是。。的切线，

・•.ZFDC+ODC=/ODF=90°,

・・・OA=OD=OC,

：.(DAC=AADO,AODC=AOCD,

・・・乙FDC=/EDC

2FDC=/EDC

在△CO石和△COR中，ADCF=AACDf

CD=CD

：./XCDE^^CDF

•・・ZDEC=ZDFC=90°

・・.DF_LBF,故。选项正确;

•・・(DO的半径为5,CD=4,

:.AC=10,

・・・NAD。=/DEC=90°,

zc=zc,

ADE。〜△ADC

.DC=AC

••EC~DC

DC2=EC-AC,

42=ECX10,

EC=3

5

・・•^DCE^DCF

:.CF=EC*,

5

所以，。选项正确，

•/ZCDF=ACDE,2DAC=ACDE,

：.ZCDF=ADAC,

无已知条件证明BC=DC,

AZCDF=/DAC但不一定等于乙民4C,故选项B不成立，该选项符合题意；

故选：B.

题目⑷在①△ABC中，/。=90°,点。是斜边AB边上一点，以。为圆心，04为半径作圆，OO恰好与边

BC相切于点。，连接AD,若40=8。，。。的半径为4,则。。的长度为（）

A.2V3B.4C.3D.5

【答案】A

【详解】解：：。。恰好与边BC相切于点D,/C=90°,

：.BC±OD,

：.ZODB=Z.C=90°,

：.OD//AC,

：.ZODA=ACAD,

•：OA^OD,

：.ZODA=ABAD,

：.NCAD=/BAD,

,：AD=BD,

：.ABAD=AB,

：.ACAD=ABAD=ZB,

・・•ACAD+ABAD+ZB=ACAB+ZB=90°,

・・.ACAD=ABAD=ZB=30°,

.-.OB=2On=2X4=8,

・・.AD=BD=VOB2-On2=V82-42=473,

18

CD=--AD=yx4V3=2V3,

故选：A.

题目回如图，O。半径长2cm,点4B、C是。。三等分点，。为圆上一点，连接AD,且40=2231,

CD交AB于点E,则/BED（）

A.75°B.65°C.60°D.55°

【答案】A

【详解】解:如图所示，连接OD,OA,BD,

•.•。。半径长200(1,

:.OA=OD=2cm,

,/AD—2V2cm,

・・.04+0。2=22+22=8=AD2,

・•.A4OO是直角三角形，且乙400=90°,

ADBE=-j-ZAOZ?=45°,

♦.•点4、B、。是©O三等分点，

ABDC=180°x：=60。，

O

ABED=180°一/BDE-4DBE=75°,

故选：A.

题目区（2023•浙江金华三模）如图，已知直线片*c—3与立轴、。轴分别交于4B两点，P是以。（0,1）

为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最小值是（）

C.8

【答案】A

【详解】解：过。作CM±AB于河，连接AC,

，:直线y=~x—3与①轴、y轴分别交于A、B两点,

.•.令2=0,则y=-3;令g=0,则c=4;

.•.点4为（4,0）,点B为（0,-3）,

.\AB=V42+（-3）2=5;

OA=4,BC=1-（-3）=4,

则由三角形面积公式得，:■xABxCM制xOAxBC,

.•.5xCM=16,

5

圆C上点到直线。=；力一3的最小距离是毕一1二4,

455

・•.△P4B面积的最小值是JX5X圣=?；

故选:A.

题目可（2024.河南漠河•一模）如图圆O的半径是4,BC是弦，"=30°且力是弧BC的中点，则弦AB的

A.2V3B.4V3C.4D.6

【答案】。

【详解】解:连接49、BO、8,

•••ZB=30°,

乙40。=60°,

••♦A是弧BC的中点，

AAOB=AAOC=^°,

,：AO=BO,

：.△AOB是等边三角形，

AB=AO=4.

故选：C.

题目⑥（2024.重庆.一模）如图，AB是。O的直径且AB=4V2,点。在圆上且AABC=60°,AACB的平分

线交。。于点。，连接并过点4作垂足为E,则弦的长度为（）

D

C

20

A.2V3B.V15C.4D.飞娓

o

【答案】。

【详解】解：43是。O的直径,

乙4cB=90°,

AABC=60°,AB=4V2,

sinB=sin60°=,

A.B2

AC=2V6,

•••CD平分/ACB,

AAACE=yZACB=45°,

•：AE±CD,

：.△ACE是等腰直角三角形，

：.AE=^AC=2V3,

■：ZZ)=ZB=60o,

tanD=tan600==A/3,

DH

:.DE—2,

・・・ZDAE=90o-Zn=30°,

・・.AD=20E=4,

故选：C.

题目可如图，。。半径长2cm,点人B、C是。。三等分点，点。为圆上一点，连接A。,且4D=22cm,

CD交AB于点E,则()

【答案】A

【详解】

解：连接04、OB、OC、OD,则OA=OB=OC=OD=2cm,A

•.•点4及。是。。三等分点，

AAOB=ZBOC=ACOA=120°,AB^BC^AC,

：.NOBC=/OCB=30°,

OD—OA—2cm,AD—2\/2cm,

：.OD2+O^Alf,

：.△AOO为等腰直角三角形，

ZAOD=90°,ADOA=ZADO=45°,

弧BD对应NDAB和ADCB,

21

・・・/DAB=/DCB

・・•AB=BC=AC,

：.ZACB=ABAC=ZABC=60°,

・・・ABED=/.EDA+ADAB,/.DAB=ADCB,

・・・/.BED=AADE+ZDCB,

・・・4ADE=/ADO+/ODC,NADO=45°,NO。。=ZOCD

：./ADE=45°+/OGD

・•.ABED=45°+ZOCD+ADCB=45°+ZOCB=45°+30°=75°,

故选：A

题目［o］如图，有圆O,内部有四边形ABC。,连接CO和AO,已知乙8=60°,CO是乙4CD的角平分线,

则/A。。的度数是（）

【答案】B

【详解】

解：•.•四边形ABCD是圆内接四边形，

ZACD+ZB-180°,

•/ZB=60°,

乙4c0=120°,

•••CO平分乙4CD,

NACO=-1-ZACD=60°,

•：OA^OC,

：.人?1。。是等边三角形，

ZAOC=60°.

故选：B.

：题目11〕如图，4B是③。的直径,CD与0O相切于点C,AB的延长线交直线CD于点E,连接AC,BC.

若NACD=60°,AC=聪,则BE的长度是.

【答案】1

【详解】解:连接OC,

22

AB是。。的直径，CD与。。相切于点C,

/020=乙4cB=90°,

/AGO=60°,

AZOCB=ZACn=60°,

•/OC=OB,

：.△COB是等边三角形，则ACOE=NABC=60°,

在Rt^ACB中，AC=血，则AB=—二7==4=2,

sinZABCV3_

2

OC=OB=}AB=I,

在RMCE中，OE=-=：=2,

cosACOEX

2

：.BE=OE-OB=1,

故答案为：1.

题目叵（2023•宁波）如图，在Rt/XABC中，=90°,E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相

切于点。,连结AD,BE=3,BD=3V5.P是AB边上的动点，当AADP为等腰三角形时，AP的长为

【答案】6或2历.

【详解】解:如图1,连接OD,DE,

•.•半圆。与相切于点。，

：.OD±BC,

在Rt/XOBD中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3A/5.

：.OB2=BD2+OD2,

・・・(OD+3)2=(3V5)2+OZ)2,

解得OD=6,

:.AO=EO=OD=6,

①当AP=P。时，此时P与O重合，

:.AP—AO—6;

②如图2,当AP，=4D时，

在放△ABC中，

vZC=90°,

・・・ACVBC,

：.OD//AC,

.-.△BOD-ABAC,

.OD=BD=BO

"AC-BC-BAJ

23

._6_=3函=3+6

"AC~3V5+GQ—3+6+6'

AC^W,CD=2瓜

：.AD=yjAC2+CD2=V100+20=2A/30,

：.AP'^AD^2V30;

③如图3,当DP〃=AD时，

•.•AZ)=2V30,

.•.”〃=AD=2沟，

-：OD=OA,

：.NODA=ABAD,

：.OD//AC,

：.NODA=ACAD,

AABAD=ACAD,

.•.AD平分/BAG,

过点。作DH_LAE于点、H,

：.AH=P"H,DH=DC=2娓,

■：AD=AD,

：.RtAADHWRtAADC(HL),

：.AH=AC