2020年中考数学一轮复习：《几何变换综合大题》专项练习题(含答案)

2020年中考数学一轮复习：《几何变换综合大题》专项练习题

1.如图1,在和中，NBAC=NDAE=90°,AB=AC,AD=AE.

（1）若C,D,E三点在同一直线上，连接做交4?于点尸，求证：MBA咯XCAE.

（2）在第（1）间的条件下，求证：BD1CE；

（3）将△丸照绕点4顺时针旋转得到图2,那么第（2）问中的结论是否依然成立？若成

立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由.

图1

2.如果两个角之差的绝对值等于45。，则称这两个角互为“半余角”，即若|Na-Zp|

（1）若N4=80°,则N4的半余角的度数为；

（2）如图1,将一长方形纸片/8切沿着椒折叠（点〃在线段加上，点〃在线段而上）

使点。落在点少处，若NAM。'与NDMN互为“半余角”，求NZW的度数；

（3）在（2）的条件下，再将纸片沿着9折叠（点?在线段外上），点48分别落在

点/'、B'处，如图2.若NAMP比,NDMN大5°,求N/加'的度数.

3.知识背景

第1页共34页

我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》

中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质

和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.

问题：如图1,△48C是等腰三角形，NBAC=90°,。是死的中点，以力。为腰作等腰△

ADE,且满足N%F=90°,连接您并延长交外的延长线于点尸，试探究8c与出之间的

发现：（1）勿与次之间的数量关系为.

探究：（2）如图2,当点〃是线段宓上任意一点（除6、C外）时，其他条件不变，试猜

想BC与小之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展：（3）当点。在线段打?的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出48次的

形状.

4.已知：在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，△/①的顶点4的坐标为（0,4）,顶点

8在x轴上（点8在点。的右侧），点C在丝上，连接OC,且BG=OC.

（2）如图2,点。在x轴上（点。在点。的左侧），点尸在/C上，连接班交以于点£,

若2AC8NDEO=2/MFE、求证，DE=2EO；

（3）如图3,在（2）的条件下，/G是①的角平分线，点"与点8关于y轴对称，过

点用乍施〉G,腑分别交心AC于点N,P,若DE=AB,EN=PC,求点石的坐标.

5.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点力（0,3）与点8关于x轴对称，点C

第2页共34页

(n,0)为x轴的正半轴上一动点.以/C为边作等腰直角三角形/3，N/3=90°,点

〃在第一象限内.连接劭，交x轴于点尸.

(1)如果,求N例产的度数；

(2)用含〃的式子表示点。的坐标；

(3)在点。运动的过程中，判断。尸的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说

明理由.

6.综合与探究：

(1)操作发现：如图1,在Rt418C中，ZACB=90°,以点C为中心，把△/外顺时针

旋转90°,得到△44C；再以点4为中心，把△/8C逆时针旋转90°,得到用％连

接4%则4a与/C的位置关系为平行；

(2)探究证明：如图2,当是锐角三角形，NACB=a(a丰60°)时，将按

照(D中的方式，以点C为中心，把△力及;顺时针旋转a,得到△44C；再以点/为中

心，把△力良?逆时针旋转a,得到与&连接4%

①探究4a与仇?的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

②探究4a与/C的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明.

7.在平面直角坐标系中，已知/0=48=5,B(6,0).

第3页共34页

(1)如图1,求sinN加8的值;

(2)把△"6绕着点例顺时针旋转，点。、/旋转后对应的点分别为欣N.

①当阴恰好落在外的延长线上时，如图2,求出点"、〃的坐标；

②若点C是阳的中点，点户是线段解/上的动点，如图3,在旋转过程中，请直接写出线

段小长的取值范围.

8.已知，如图1,在△45C中，AB'BC,AB=2疵,AC=W,若。为/C的中点，DGLAC交

8c与点G.

(1)求CG的长；

(2)如图2,E点为射线班上一动点，连接如，线段班绕点。顺时针旋转90°交直线

BC与点、F；

④若然=、/石时，求小的长；

②如图3,连接炉交直线)与点当，△&W为等腰三角形时，求G尸的长.

图1图2图3

9.已知：在平面直角坐标系中，点4(-3,0),点8(-2,3).

第4页共34页

(1)在图①中的y轴上求作点P,使得。什阳的值最小；

(2)若△力灰?是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点C的坐标；

(3)如图②，在△/8C中，NABC=9G°,AB=BC,点。(不与点/重合)是x轴上一个

动点，点£是/。中点，连结把跳绕着点£顺时针旋转90°得到&(即N啊'=90°,

BE=FE),连结8尸、CF、CD,试猜想N尸3的度数，并给出证明.

10.如图，ZMON=a(0<a<90°),4为掰上一点(不与。重合)，点4关于直线0〃的

对称点为B,AB与。〃交于点C,a为直线。〃上一点(不与0,C重合)将射线阳绕点P

(1)如图1,当a=45°时，此时3=90°,若点『在线段GC的延长线上.

①依题意补全图形.

②连接以，求证以=户。；

(2)如图2,当a=60°,点a在线段CO的延长线上时，没PO=p,OC,QA=q,OC,求

|p-q|的值.

11.如图，在中，NC=90：芥=8C,点。是斜边熊的中点，将边长足够大的三

第5页共34页

角板的直角顶点放在点。处，将三角板绕点。顺时针旋转一个角度a(00<a<90°),

记三角板的两直角边与Rt/VlbC的两腰/C、8c的交点分别为£、D,四边形C&M是旋转

过程中三角板与外的重叠部分(如图①所示).那么，在上述旋转过程中：

(1)线段CE与劭具有怎样的数量关系？四边形宏少的面积是否发生变化？证明你发

现的结论；

(2)当三角尺旋转角度为时，四边形是矩形；

(3)若三角尺继续旋转，当旋转角度a(90°<a<180°)时，三角尺的两边与等腰

RtZk/8C的腰第和〃的延长线分别交于点D、E(如图②所示).那么线段结与做的数

量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.

12.在△/8C中，AB=AC,在的外部作等边三角形△/做，E为的中点，连接如并

延长交8c于点F.

(1)如图1,若N历1—90°,连接⑦，求证：CD平分NADF；

(2)如图2,过点4折叠NOI。，使点C与点〃重合，折痕4/交)于点叫若点阴正好

在N48c的平分线上，连接翻并延长交4c于点M课堂上两个学习小组分别得出如下两

个结论：

①N历IC的度数是一个定值，为100°；

②线段施与肌?一定相等.

请你选择其中一个结论，判断是否正确？若正确，给予证明：若不正确，说明理由.

13.如图1,△/!&?和△诋是两块可以完全重合的三角板，NBAC=NEDF=90°,NABC=

第6页共34页

NDEF=30°.在图1所示的状态下，△龙尸固定不动，将沿直线"向左平移.

(1)当△/8C移到图2位置时，连接力尸、DC,求证：AF=DC；

(2)如图3,在上述平移过程中，当点C与斤的中点重合时，直线〃与4?有什么位置

关系，请写出证明过程.

14.“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉”-

-乔治•波利亚.

(1)观察猜想

如图1,在△/比■中，CA=CB,Z'ACB=q。。.点。在/C上，点£在6C上，且CD=CE.则

BE与的数量关系是,直线先与直线力〃的位置关系是；

(2)拓展探究

如图2,在和AC史中，GA=CB,CD=CE,/ACB=/DCE=9。。.贝lj维与4。的数

量关系怎样？直线的与直线/〃的位置关系怎样？请说明理由；

(3)解决问题

如图3,在△力861中，CA=CB,NACB=90；劭是△/8C的角平分线，点M是奶的中点.点

尸在射线劭上，连接ZW,以点版为中心，将朗逆时针旋转90°,得到线段物请直接

写出点4P,〃在同一条直线上时物的值.

15.如图，RtZVIbC中，20=90。，F是边上一点，。是/C边上一点，且点。不与AG

第7页共34页

重合，ED^AC.

(1)当sin8=工时，

2

①求证：BE=2CD；

②当绕点4旋转到如图2的位置时(45°<NCAD<90°).8F=23是否成立？若

成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.

(2)当sinb=理时，将绕点/旋转到N〃£»=90°,若4?=10,AA2娓,求

线段3的长.

备用图1备用图2

第8页共34页

参考答案

1.解：(1)YNBAC=/DAE=9C

：.ZBAC+NCAD=ZDAB-ZCAD

即N必。=NOIE

\'AB=AC,AD=AE,

:.XBAimXGAE(SIS)；

(2)由(1)知，△&!恒△以£

/.NABD=NACE,

・「N必C=90°,

：・NABK/AFB=9G,

'：4AFB=/CFD、

:./AC曰NCFD=9G,

Z6Z?F=90°,

:・BD1CE;

(3)BDLCE错然成立,理由：

如图2,延长故交结于点肌交47于点月

Y/BAC=/DAE=9G,

^BAC-NCAD=NDAE-/CAD,

即N班。=N"£

\'AB=AC,AD=AE,

・•・△%■△"£(SIS),

NABD=NACE,

ZBAC=90°

ABKNAFB=9G,

'：/AFB=KCFM、

・・・NOF=90°,

第9页共34页

：.BDLCE.

根据互为半余角的定义得，|80°-a|=45°,

a=35°或a=125°,

故答案为35°或125°；

(2)由折叠知，NDMN=ND'MN,

■：^AMD'与NZWV互为“半余角”，

|AAMD'-^DMN\=45°,

：.AAMD'-NDMN=±45°,

当NAMD,-ZDMN=45°时，

ZAMD'=ZZJWi-450,

■:NAMD'+ND'NDMN=,

/力帆45°+NDMgNDMN='8Q°,

:.NDMN=45°,

当NAMD,-/DMN=-45°时，

；.NAMD'=NDMN-45°,

■:NAMD'+ND'NDMN=M°,

:.NDMN-45°+NDMN^NDMN=18Q°,

:.NDMN=15，°；

(3)由(2)知，NDMN=45°或75°,

,；NAMP比NDMN大5°,

：.ZAMP=45°+5°=50°或75°+5°=80°,

由折叠知，NA'MP=NAMP=5Q°或80°,

,,,Z^'=100°或160°,

第10页共34页

由(2)知，NDMN=45°或75°,

Z/4W=180°-2X45°=90°或180°-2X75°=30°,

^A'MD'=10°或160°-30°=130°.

3.解：(1)BC=CF,理由：

・•・△48C是等腰三角形，且N&k?=90°,

：,AB=AC,NB=NACB=45°.

ZZZ4£=90°,

/.ADAE=ABAC,

「・ADAE-ADAC=/BAC-/DAC、

/BAD=KCAE.

・•・△彳班是以4?为腰的等腰三角形，

：,AD=AE,

在△48。与中，AB=AC,NBAD=NCAE,AD=AE,

:.XABD^XACE(弘S),

・・.N/C£=N8=45°.

・・・/4第=45°,

，BCF=/ACW/ACE=9N,

二・N外N尸=90°,

・・・"=45°,

:•4B=4F,

：,BC=CF.

故答案为：BC=CF\

(2)BC=OF.

理由：・•.△48C是等腰三角形，且N班占90°,

^AB=AC,NB=NACB=45°.

YNDAE=9G,

/DAE=NBAC,

/.ADAE-ADAC=ABAC-ADAC,

「・NBAD=NCAE.

第11页共34页

•・,△/巫是以47为腰的等腰三角形，

：.AD=AE.

在△48〃与中，AB=AC,NBAD=/CAE,AD=AE,

:・XAB恒XACE(弘S),

/.ZACE=ZB=45°.

•「N/l笫=45°,

工NBCF=NAC济NACE=9C,

，济NF=90°,

「・”=45°,

/./B=NF、

：.BC=CF.

(3)△成才是等腰直角三角形.理由：如备用图，

。是等腰三角形，ZBAC=90°,

：.AB>=AC,/B=NACB=45°.

ZDAE=90°,

・・・NDAE=NBAC,

/./DASNDAC=/BAONDAC,

NBAD=/CAE.

・・"ZVia"是以4?为腰的等腰三角形，

：.AD=AE.

在△48〃与宓中，AB=AC,NBAD=/CAE,AD=AE,

:.XABD^XACE(%S),

\NACE=NB=45。.

•・•//第=45°,

：.NBCF=NACH/ACE=9G,

：.Z^-ZBFC=90°,

:・/BFC=45。,

:.NB=/BFC、

「.△成才是等腰三角形,

第12页共34页

Z3CF=90°,

△8%是等腰直角三角形.

备用图

4.解：(1)如图1,过点。作于人

'：BC=OC,

NBOC=NCBO,

ZAOC+ZBOC=90°,N0AC+NCB0=9G,

/./AOC=ZOAC,

:.AC=OC、

.\0K=AK=—0A=2,

2

，点。的纵坐标为2；

(2)如图2,在p轴负半轴上取一点凡使&R=OE,连接。凡

ZACMZDEO=2ZAFE,

.,.Z800+Z6,^ZDEO=2(NCBMNOD£),

/.4DE0=2/0DE、

,：/DEM/ODE=qN,

ADE0=6Q°,

'：OR=OE,ODLER,

:,DE=DR,

，△弼是等边三角形，

1・DE=ER=20E；

第13页共34页

(3)如图3,连接创/,过点8作8%斜交y轴于兀

,:DE=AB,DE=20E,AB=2AC,

：.OE=AC,

\'EN=PC,

：.AP=ON

YNANK/NAG=9G0,/APN^PAG=90°,NNAG=/PAG,

：2ANP=/APN、

：.AN=AP,

：.AN=0N=-0A=2,

2

:点"与点8关于y轴对称，

：.MN=BN,NO工BM、

：/BNO=/MNg/ANP、

\'BT//PN,

ZBTN=ZANP=ZBNO,ZABT=ZAPN,

，ABT=/BTN、

：.AB=AT,

,:BN=BT、BOVNT,

：.0T=0N=2,

：.AT=6,

，AB=DE=6,

由(2)知，DE=20E,

：.0E=3,

.・・点£在p轴上，且在点0上方，

:・E(0,3).

第14页共34页

5.解：(1)・・・/47c=90°,

，4co=90°,

ZACD=90°,

ZDCF+ZACO=90°,

/.ZDCF=AOAC,

•・・N%C=38°,

：.ZDCF=38°；

(2)如图，过点。作力ALx轴于”,

.・・N肱=90°

:./AOC=/CHD=QQ°,

•・.等腰直角三角形4?。/ACD=90。

AC--CD、

第15页共34页

由(1)知，/DCF=40AC,

：./\AOC^^CHD{AAS},

：.OC=DH=n,A0=CH=3,

，点。的坐标("3,〃)；

(3)不会变化，理由：

,点4(0,3)与点8关于x轴对称,

:,AO=BO,

又YOC1AB,

••.X轴是四垂直平分线，

AO—BC、

4BAC=4A'BC,

又YAC=CD,

BC=CD、

:・NCBD=/CDB,

ZACD=90°,

：・4AC济4DCB=T10°,

：,NBAC+NABC+/CB>/CDB=9C,

：.ZABC+ZCBD=45°,

ZBOF=90°,

；・NOFB=45°,

，NOBF=NOFB=45°,

：.OB=OF=3,

・•.0尸的长不会变化.

第16页共34页

6.(2)解：①结论：ACJ/BG.理由如下

由旋转的性质，知NOIG=a.

又NACB=a、

CAC、=/ACB,

：.ACJ/BC，

②结论：A&IIAC,理由如下：

过点4作A\E〃AC、交4C于点E.

如图2所示：

则N4&?=Noia=j,

==

由旋转的性质得：Z.AyCAZ-CACya4C=ACy,

Z.AyEC=N/4Q=d

「・4E--4G

.\AyE=AC^

...四边形/日湖是平行四边形，

7.解：(1)如图1中，作必于//.

第17页共34页

：.0H=HB=3,

:・AH=VAO2-OH2=V52-32=4'

AH4

：.s\n^AOB=—

OA5

(2)①如图2中，作施，OB干E.

AOB=ZABO,

FM

/.sinZABO=sinZAOB=—,

BM

.EM=J4

"T-7'

24

:-EM=W，

b

EB=VBM2-EM2=,6?-偿）4=与

VDv

1o1n

：,OE=OB—EB=6--=—,

55

NNMB=NAOB=ZABO,

\MN//OB,

,:MN=0A=5,

第18页共34页

.4//3724、

55

图3

丫点。为线段》上的动点，力的对应边为脉

，点户为线段椒上的动点

二点户的运动轨迹是以8为圆心，加长为半径的圆

YC在必上，鱼CB=、0B=3

2

二当点尸在线段必上时，CP=BP-BC最短;当点户在线段必延长线上时，CP=BP^BC

最

如图2,当网/时，BP最短

S△胸=S△胞,MN=0A=5

：.^MN-BP=\oB'yA

.,^4X6=24

55

249

最小值=告-3=卷,

当点户与M重合时，BP最大,BP=BM=0B=6

‘C"最大值=6+3=9

，线段0长的取值范围为”WC/W9

5

8.解：(1)-：AB^AC,DGVAC,

:.NB=NCDG=90°,

NACB=NGCD,

:.XACBSXGCD,

.AC_BC

"CG"CDJ

第19页共34页

丫点。是ZC的中点，

：.CD=—AC=5,

2

根据勾股定理得，BC=4娓,

.10W5

"CG=~5~，

：.CG=^^■:

2

(2)①I、当点£在线段上时,

：48=2

，点E是小的中点,

・・•点，是4C的中点,

:.DE"BC,

'：ABLBC.DE1DF、

:.DF1BC,

:・BF〃AB,

:点〃是4C中点，

・•・点厂是8c的中点,

:.CF=^BC=20

II、当点看在物的延长线上时，如图1,

:点〃是4C的中点,47=10,

：.AD=—AC=5,

2

由（1）知，XBACsXDGC、

第20页共34页

ABBC

/.NCGD=NCAB,DG"CD'

."G=CD-AB=$,/FGD=4EAD,

BC2

.:GDIAC,EDLDF,

:./FDG=/EDA,

:.XFDGsXEDA、

.FGDG

■,应K

.c.^-DG,AE_V5

..rb-------------------------

AD2

:.CF=CG^FG=3、0

②由①知，XFDGsXEDA,

.DFDG_1

"DE"AD-T

WanZ.FED=—,

2

AR1

'：tanZACB=—=-^,

BC2

/.NFED=4、ACB,

YDELDF,DG-LAC,

ADG=/EDF=9¥,

/MDE=NFDC,

:.△MEDSXFDC、

.・.△以协是等腰三角形，

.•.△8步是等腰三角形，

I、当时，点£在48的延长线上，不符合题，舍去,

IIX当C〃=6F时，CF=CD=5,

：.GF=CG-CF=8区-5；

2

当CD=DF时,DF=CD=5,

:.DF=%AC,

，点尸与点8重合，

第21页共34页

：.GF=BC-CG=可豆

2

9.解：(1)如图①-1中，点?即为所求.

AOX

图①-1

图①-2

满足条件的点G(1,2),G(0,-1),G(-5,4),4(-6,1).

第22页共34页

(3)猜想N&?，=45°

①当点。运动到点彳右侧时，

如图②中，延长江至G,值,EG=EF,连结4G,BG,BF.

图②

在△血和△&曰中

,:EF=EG,NFED=/GEA,ED=EA

1.△FED^XGEA(SAS')

：.FD=AG,NEFD=NEGA

‘：NBEF=9G

••■BELEF

\'BE=FE,FE=EG

「.△G8厂是等腰直角三角形，

；・NBGF=/BFG=A5°,/GBF=90°,BG=BF

N>48c=90°

・•・NABC=/GBF,

即ZABG^ZGBC=ZCBF+GBC

・•・NABG=NCBF

在△/8C和△渐中

\'AB=BC,/ABG=/CBF,BG=BF

:.△ABMXCBF(弘S)

：.AG=CF,NAGB=/CFB

\'FD=AG

：.CF=FD

,：FD=AG

第23页共34页

:・CF=FD

'：AAGB=AGE-BGE

：・NAGB=NEFD=45°ZCFD=ZCFB-^EFD=ZGFB-NBF3AGE=45°—NAGB^NAGB^~

NBGE=45。+45°=90°\'CF=FD

.・.△C叨是等腰直角三角形，NFC。=45。

②当点。运动到点/左侧时，

同理可证，NFCD=45°

综上所।述，NFCD=45°

10.(1)①解：图形如图所示：

②证明：.・•点4点8关于勿/对称

：.PA=PB,

PB=PQ,

：.PA=PQ.

(2)AQ=40创~OP

理由如下：在。。上截取勿=OR连接80,PD,80,

第24页共34页

,:NMON=Q=60°,且点彳关于直线〃的对称点为反

ABON=AMON=ZP0Q=6Q°,AO=BO,CO±AB,

：・4B0Q=60。,ZCAO=30°,

.\A0=2C0,

•・・旋转，

：.ZBPQ=P=180°-2a=60°,

：,/BOQ=/BPQ=bN,

.二点8,点。，点只点。四点共圆，

:・/PBQ=/POQ=6G,NPBO=NOQP,

J△户80是等边三角形，

:,PB=PQ,

YOD=OP,ZQOP=60°,

・・・△田户是等边三角形，

JNODP=NDOP=6G,

：,/BOP=/PDQ='20°,且BP=PQ,ZOBP=ZOOP,

:,XBO咋XQDPCAAS\

DO=OB,

：.DQ=OA=2OC,

：.AQ=AMOQ=2C/OKPQ=40C+OP、

：.QA-0P=40C,

YPO=p-OC,QA=q・OC,

（Q-p）%=40C,

第25页共34页

\p-q\=4.

11.(D解：结论：CE=BD,四边形宏切的面积不变.

如图，连接外.

■：AC=BC,AO=BO,NACB=9Q°,

：.^ACO=ZBC0=^ZACB=45°,OC±AB,ZA=ZB=45°,

00—OB、

ZEOD=90°,

:・/CO曰NCOD=90。

又YOCtAB,

，B0K/C0D=9N,

：.4B0D=4C0E,

在宏和△08〃中，

'N0CE=/B

,0C=0B,

ZC0E=ZB0D

.*.△0C2△侬

：.CE=BD,

••S&0CE_S40BD,

1r

■S四边形C00E~S40C户S&0C冷S^oc/js40BD=SABO产官SAABC，

二四边形C&M的面积不变，始终等于RtZk/SC面积的一半.

(2)当三角尺旋转角度为45°时，四边形C&M是矩形；

理由：■:NA0E=NC0E=NEC0=45°,

ZCE0=ZECD=ZE0D=90°,

二四边形C&M是矩形.

第26页共34页

故答案为450.

(3)结论：成立.

I.NAC0=NBCO=鼻NACB=45。,OC-LAB,N4=N8=45°,

0C=OB,/OCE=/OBD='35°,

ZEOD=90°,

：・NBOKNBOE=90°,

又YOCLAB

/C0RNB0E=9G,

NBOD=NCOE,

在AOCE和AOBD中,

<ZOCE=ZOBD

<OC=OB,

ZCOE=ZBOD

「•△0C正△畋

：,CE=BD.

12.证明：（1）.・•△/!劭是等边三角形，且£为的中点，

JDELAB,AB=AD,

\'AB=AC,

.'.AD=AC^

4ADC=NACD,

・「N必C=90°,

：.AC//DE,

/.4ACD=4FDC、

4ADC=NFDC,

第27页共34页

:.CD*6NADF；

(2)①..・△/曲是等边三角形，且F为的中点，

二Z沱垂直平分45,

：.AM=BM,

:.NMAB=NMBA,

■:BM平分NABC,

:.NMBA=NMBC,

设MAB=NMBA=NMBC=a,

■■■AB=AC,

NACB=AABC=2a,

由翻折知，NMAC=NMAD=NDA济NMAB=6G+a,

,二在△48C中，NA8aNACm/8M^NMAC=2Q+2Q+Q+60+a=180°

a=20°,

，BAC=NBA附NMAC=2G+60°+20°=100°,

「.N阴C的度数是一个定值，为100°;

②如图2-1,连接畋

由①知，a=20°,ZBAC=WQ°,

ZABC=ZACB=40°,

由①知，灰垂直平分彳区

\'DA=DB,/ADB=60°,

：・NADE=NBDE=3C,

由翻折知，侬△彳照

：.ZACM=ZAD/lf=30°,

4BCM=NACB-NACM=W,

，NMC=NMBC+NMCB=2G+10°=30°,

工NNMC=/NCM,

：.MN=NC.

第28页共34页

图2-2

图2-1

图1

13.证明：(1)/\ABC^/\DEF,

.-.AB=DE,/ABC=/DEF,BC=EF,

■：BC-FC=EF-FC,

：.BF=EC,

在△/IS厂和中，*

■：AB=DE,NABF=NDEC,BF=EC,

:.△ABF9XDEC(弘5),

:.AF=DC；

(2)直线〃垂直平分

理由：如图，连接力〃，

:在Rt△阳7中，NDEF=30°,

第29页共34页

DF-^EF,

二点。是日7的中点,

：.DF=FC、

,:NDFC=bO°,

,•・△〃&?是等边三角形，

/.ZFCD=60°,DC=DF,

ZACF=60°,AC=DF,

1,NACF=NFCD=6G,AC=DC,

...CO是等腰三角形4?。的角平分线，

即CO也是等腰三角形4切的底边加上的高和中线,

因此直线〃垂直平分

14.解：(1)-：AC=BC,CD=CE,

JBE=AD,

•；NACB=90°,

JACLBC,

：.BE±AD.

(2)BE=AD,BELAD,理由如下：

延长8E交4?交于点£如图2所示：

YNACB=NDCE=9G,

NACD=NBCE,

'BC二AC

在48口和△/①中，ZBCE=ZACD

CE=CD

:，△BCEQXACD(SAS),

：.BE=AD.ZCAD=ZCBE,

ZCAF+ZAFB=ZCBB-ZACB,

，AFB=NACB=9G,

第30页共34页

即BELAD.

故答案为：BE=AD,BELAD；

(3)NO物为135°或45°；理由如下：

连接CM,

,:CA=CB,N/g=90°,点〃是的中点，

.'.CM=^AB=AM=BM