《空间向量的应用》链接高考

高中数学精编资源3/3《空间向量的应用》链接高考一、解答题1.（2020全国I卷）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,为上一点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.2.(2020北京卷)如图,在正方体中,为的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.3.(2020山东卷)如图,四棱锥的底面为正方形,底面.设平面与平面的交线为.(1)证明:平面;(2)已知为上的点,求与平面所成角的正弦值的最大值.4.(2019北京卷)如图,在四棱锥中,平面.为的中点,点在上,且.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)设点在上,且.判断直线是否在平面内,说明理由.5.(2018北京卷)如图,在三棱柱中,平面分别为的中点,.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)证明:直线与平面相交.6.(2017江苏卷)如图,在平行六面体中,平面,且,.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求二面角的正弦值.答案解析解答题1.答案：见解析解析：(1)由题设,知为等边三角形,设,则,所以,,又为等边三角形,则,所以,,则,所以,同理,又,所以平面.(2)过作交于点,因为平面,以为坐标原点,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,设平面的一个法向量为,由得令,,得,所以,设平面的一个法向量为,由得令,得,所以.故,设二面角的大小为,则.2.答案：见解析解析：(1)如下图所示:在正方体中,且且,∴且,所以,四边形为平行四边形,则,∵平面平面∴平面.(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方体的棱长为2,则、,,设平面的法向量为,由得令,则,则..因此,直线与平面所成角的正弦值为.3.答案：见解析解析：(1)在正方形中,,因为平面平面,所以平面,又因为平面,平面平面,所以,因为在四棱锥中,底面是正方形,所以,且平面,所以,因为,所以平面.(2)如图建立空间直角坐标系,因为,则有,,设,则有,设平面的法向量为,则即，令,则,所以平面的一个法向量为,则.根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,所以直线与平面所成角的正弦值等于,当且仅当时取等号,所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.4.答案：见解析解析：(1)因为平面,所以.又因为,所以平面.(2)过作的垂线交于点.因为平面,所以.如图建立空间直角坐标系,.因为为的中点,所以.所以,.所以,.设平面的法向量为,则即令,则.于是.又因为平面的法向量为,所以.由题知,二面角为锐角,所以其余弦值为.(3)直线在平面内.因为点在上,且,所以,.由(2)知,平面的法向量.所以.所以直线在平面内.5.答案：见解析解析：(1)在三棱柱中,∵平面∴四边形为矩形.又分别为的中点,∴.∵∴∴平面.(2)由(1)知.又平面平面平面,∴.如图建立空间直角坐称系.由题意得,.∴,设平面的法向量为,∴∴令,则,∴平面的法向量,又∵平面的法向量为,∴.由图可得二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.(3)平面的法向量为,∵,∴∴∴与不垂直,∴与平面不平行且不在平面内,∴与平面相交.6.答案：见解析解析：在平面内,过点作,交于点.因为平面,所以.如图,以为正交基底,建立空间直角坐标系.因为.则,.(1),则因此异面直线与所成角的余弦值