2024年中考数学考前押题密卷（重庆卷）（全解全析）

2024年中考考前押题密卷（重庆卷）

数学•全解全析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.-1的相反数是（）

4

1

A.----B.4C.—4D.

44

【答案】D

【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数解答.

【详解】解：-工的相反数是

44

故选：D.

【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.

2.下列几何体中，俯视图为三角形的是（）

D.

【答案】C

【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽

相同.

【详解】解：根据俯视图的特征，应选C.

故选：C.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键.

3.如图，直线相点/在直线机上，点2在直线"上，连接48,过点/作ZC_L4S,交直线〃于

点C.若Nl=50°,则N2的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根据平行线的性质可得NZC5=Nl=50。，进而根据NB/C=90°,即可求解.

【详解】解：：加〃〃，Zl=50°,

AACB=Z1=50°,

ACLAB,

ABAC=90°,

Z2=900-ZACB=4Q°,

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，以原点。为位似中心，将△ZBO缩小为原来的一，得到AC。。.若点N

2

的坐标是(-2,-4),则点C的坐标是()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,1)D.(-2,-1)

【答案】B

【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.

【详解】解：•••将△NBO缩小为原来的;，得到AC。。，点4的坐标是(-2,—4),

.,.点C的坐标为-2义1一；］,一4*［-；］,即(1,2),

故选：B.

【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为左,

那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-左.

2

5.估计(厢-同)+下的值应在()

A.0与1之间B.1与2之间C.2与3之间D.3与4之间

【答案】B

【分析】先进行二次根式的混合运算，再进行无理数的估算即可得到答案.

【详解】解：(两-回卜若=两+&-而"+6=如+5-30+5=4-6,

V4<6<9,

：.V4<V6<V9,

2<V6<3,

A-3<-V6<-2,

A1<4-V6<2,

(V80-同卜斯的值应在1与2之间.

故选：B.

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法.

6.端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗.某超市以10元每袋的

价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多

售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子

售价降低x元，则可列方程为()

A.(16-x-10)(200+80x)=1440B.(16-x)(200+80x)=1440

C.(16-x-10)(200+80x)=1440D.(16-x)(200+80)=1440

【答案】A

【分析】设每袋粽子售价降低x元，由于每天的利润为1440元，根据利润=(定价-进价)X销售量即可

列出方程.

【详解】解:设每袋粽子售价降低x元，每天的利润为1440元.

根据题意，得(16—x—10)(200+80x)=1440,

故选：A.

【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的

3

等量关系.

7.如图是由大小相同的“△”按照一定的规律排列组成的，第①个图中有3个“△”，第②个图中有8个

“△”，第③个图中有15个“△”，一,依据规律，第⑥个图中的个数为（）

△△△

△△

△△△

△△△

△△△△△

△△△△△△△

②③

A.24B.35C.36D.48

【答案】D

【分析】第①个图中“△”的个数为：3=22-1,第②个图中“△”的个数为：8=32-1,第③个图中

△”的个数为15=42-1,…，据此可求得第〃个图中的个数，从而可求解.

【详解】解：：第①个图中“△”的个数为：3=22-1,

第②个图中“△”的个数为：8=32-1,

第③个图中“△”的个数为：15=42—1,

***9

.♦.第〃个图中“△”的个数为：+1,

二第⑥个图中“△”的个数为：72—1=48.

故选：D.

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律.

4

8.如图，已知N8是。。的直径，弦CDLN8,垂足为£,ZACD=22.5°,ZE=1,则CQ的长为(）

A.272B.V2+2C.272+1D.2亚+2

【答案】D

【分析】连接0。，根据垂径定理可得ZAOD=45°,再根据垂径定理可得CD=IDE,AOED=90°,

然后在MAOED中，利用锐角三角函数的定义可得OE=OE,最后设。。的半径为r,贝iJOE=r-l,在

RtM)ED中,利用勾股定理列出关于x的方程进行计算，即可解答.

【详解】解：连接8,

NACD=22.5°,

ZAOD=2ZACD=45°,

•.•直径CDL48,

CD=2DE,ZOED=90°,

在Rt^OED中，DE=OE•tan45°=OE,

设。。的半径为八则08二。/—=〃—1,

在用△。石。中，。炉+。炉=。。2,

・•・2OE2=OD2,

2（尸一1）2-户,

解得：q=2+J^,r2=2—V2（舍去）,

DE=r-1=1+A/2,

:・CD=2DE=2+26,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

9.如图，延长矩形Z3CD的边C8至点E,使E8=ZC,连接£>£,若/氏4C=tz,则NE的度数是（）

aaa

A.-B.45°——C.a—45°D.30°+-

222

【答案】B

【分析】连接交ZC于点。，由矩形的性质得NZ3C=90。，OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

22

AC=BD,则04=05,所以N08Z=NBZC=a,而BE=AC=DB,则NBDE=NE,所以

ZCBD=ZBDE+ZE=2ZE=9QP-a,则NE=45。—q，于是得到问题的答案.

2

【详解】解：连接5。交NC于点。，

•.•四边形4BCD是矩形，

ZABC=90°,OA=OC=-AC,OB^OD=-BD,AC=BD,

22

OA=OB,

：.NOBA=ABAC=a,

：.ZCBD=90°-a,

'：BE=AC=DB,

：.NBDE=ZE,

/.ZCBD=ZBDE+ZE=2NE,

2ZE=90°-a,

a

：.ZE=45°——，

2

6

【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

io.已知两个二次根式：VTFT,G将这两个二次根式进行如下操作：

第一次操作：将1、与«的和记为差记为乂；

第二次操作：将与M的和记为A/2,差记为N?；

第三次操作：将与N2的和记为M3,差记为N?；

••••

以此类推.

下列说法：

①当x=l时，忆+3+或+砥=30；

②M、?-64jx+l；

③M用"2向=2筋（"为自然数）.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】先根据已知条件，分别求出M2,M3,M4,M5,M6,M],N1,N2,N3,

乂，或，州，£,然后根据计算的结果，分别列出各种说法中的算式，进行计算，然后判断即可.

【详解】解：由题意得：

My—Jx+1+y/x,N]—Jx+1—y[x；

M2—Jx+1+y/x+yjx+1—y[x—2yjx+1,N?—Jx+1+yj~X—y/x+1+y[x—;

M3—M2+N2-2A/X+1+2A/X",N3—2ylX+1_2y;

M4=4y/x+1,N4=4A/X；

M5—4Jx+1+4y[xfN5=4Jx+1—；

M6=8jx+l,N6=8A/X；

7

Mi=8<x+1+Ss[x,N[=8A/X+1—8y/x；

Ms=16jx+l,Ng=16A/X；

M9=16>JJC+1+164X，N9=16jx+l-16占；

Ml0=32Jx+1,N1o=32A/X；

Mil=32y/x+1+32y/x,=32，s/x+1—32~\/x；

M12=64\/x+l,Nn=646,

.•.当x=l时，

N2+N4+N6+N&=2y[x+4y/x+Sy/x+16y/x=30YJJC=301=30,

二①的说法正确；

由以上计算可知：Mn=64^+T,

二②的说法正确；

2

M3-^3=（2^+l+2^）（2^+T-2^）=4（x+l）-4x=4=2；

4

M5-N5=（4&+1+44）（4或+1-4«）=16（x+l）-16x=16=2；

6

M7-A^7=（8Vx+T+8Vx）（8Vx+T-8Vxj=64（x+l）-64x=64=2;

2n

■■M2n+l-N2n+i=2

；•③的说法正确，

综上可知：正确的个数为3个，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解题意，找出规律，进行解答即可.

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线

上）

11.计算：2sin300+（亚—2）°=.

【答案】2.

8

【分析】利用特殊锐角三角函数值，零指数幕计算即可.

【详解】解：原式=2x^+l=2,

2

故答案为：2.

【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

m—2

12.如图是反比例函数y一的图象，那么实数加的取值范围是

V

【答案】m>2.

【分析】根据反比例的函数图象与系数的关系直接解答即可.

【详解】解：根据反比例函数图象在坐标系中的位置，可判断比例系数>0,即加-2>0,故加>2.

故答案为：ni>1•

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

13.从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，这个多边形的边数是.

【答案】8.

【分析】根据从“边形的一个顶点可以作对角线的条数公式(〃-3)求出边数即可得解.

【详解】解：：从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为"，

二〃—3=5,

解得“=8.

故答案为8.

【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.掌握〃

边形从一个顶点出发可引出(〃-3)条对角线是解题的关键.

14.重庆园博园内桃花盛开，一片春意盎然.周末甲、乙两名同学去游园，园内有/、8、C三条不同的赏

花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们选择相同路线的概率是.

【答案】--

3

【分析】用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可.

9

【详解】解：列表如下:

ABc

A(A,A)CA,B)C4,C)

B(B,/)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

由表格知，共有9种等可能结果，其中他们选择相同路线的有3种结果，

31

所以他们选择相同路线的概率为一=—,

93

故答案为：—.

3

【点睛】此题考查了用树状图法或列表法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.

15.如图，在AZBC中，48=2。，点。、后分别在边8。、2。上（均不与点/、8、。重合）,且/1=/。=40。，

若BD=CE,则度.

【答案】30.

【分析】先求出ABAC=100°,再证明“EDCaDAB,得到NDAE=NDEA,进而可求出NBAD的

度数.

【详解】解：：力台二/。，

NC=NB.

•：Z1=ZC=40°,

Nl=NC=NB=40°,

：.ABAC=180°-40°-40°=100°,

•：ZADC=Z1+NEDC=ZB+ABAD,

NEDC=ZBAD,

又,：NC=NB,EC=BD,

：.AEDC%DAB(AAS),

io

ED=AD,

1800-40°

ZDAE=ZDEA=

2

/BAD=ABAC-ZDAE=10^-70°=30°.

故答案为：30.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明AEDC也△D48是解答本题的关

键.

16.如图，在正方形48CD中，以/为圆心，4D为半径画弧，再以4D为直径作半圆，连接ZC,若正

方形边长为4,则图中阴影部分的面积为.

【答案】2"一4.

【分析】根据题意得到S阴影，即可得到答案.

【详解】解：如图，设半圆与NC的交点为点E,取4。的中点为点。，连接。£、DE,设以4为圆心,

AD为半径画弧交AC于点F,

NAED=90°,OE=OD=OA=—AD=2,

2

•.•四边形4BCD是正方形，

NDAE=45°,

ZADE=ZDAE=45°,

OELAD,

121

•*-S阴影=S扇形所—S^ADE=~X7TX4--X4X2=2^-4,

11

故答案为：21—4.

【点睛】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式、正方形的性质是关键.

3%—2

—

17.如果关于x的不等式组《("+至少有两个整数解，且关于y的分式方程-=1—的解

3x+1>x+m了11

为正整数，则符合条件的所有整数加的和为.

【答案】12.

【分析】解不等式组，并根据题意得到关于加的范围即可.

3x—1x<5

------<x+2

【详解】解：解不等式组2，得:m-1'

x>----

3x+\>x+m2

•.•不等式组至少有两个整数解,

m-14

------<3，

2

解得：m<7,

解关于y的分式方程工=1-上一，

y-11-y

m—1

得：y=^->且y-iwo，

.m-l〜

..y=----,m丰3,

2

•.•分式方程解为正整数，且相片3,

.♦•符合条件的所有整数m的值为5,7,

符合条件的所有整数用的和为5+7=12.

故答案为：12.

【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力,

并根据题意得到关于m的范围是解题的关键.

12

18.一个各个数位上的数字均不为。的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字

与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，则最大的“逢双数”为：；对于

“逢双数”相，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为G（〃z）.若“逢双

数”加千位上的数字与个位上的数字之和为8,且G。"）能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”机的

最大值与最小值的差为.

【答案】9819；6174.

【分析】根据题中对“逢双数”的定义，即可求出最大的“逢双数”，先表示出G（m）,再进行分类讨论即

可解决问题.

【详解】解：由题知，

当千位数字和个位数字都是9,且百位数字是8,十位数字是1时，

所得“逢双数”最大为：9819.

设“逢双数”"的个位数字为x,则千位数字为（8-x）,设其十位数字为小则百位数字为（4-y）,

所以1VXV7,1<J；<3.

G（/n）=100（4-j）+10^+x+100（8-x）+10j+x+100^-x）+10（4-j^）4-x+1000-xw10^-y

=—297x—99y+2880,

又因为G（加）能被4整除，<-297x-99y+2880=-x-3j+（-296%-96j+2880）,

所以—x—3y能被4整除，

又因为1WXW7,\<y<3,

当y=l时，x=l或5；

当y=2时，x=2或6；

当y=3时，x=3或7；

又因为加=1000（8—x）+100（4—y）+10y+x,

所以当x=l,y=l时，m取值最大值为：7311；

当x=7,y=3时，加取得最小值为：1137；

13

所以加的最大值与最小值的差为：7311-1137-6174.

故答案为：6174.

【点睛】本题考查不定方程的应用，正确的分类讨论是解题的关键.

三、解答题(本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分.解答时每小题必须给出必要

的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上)

19.计算：

/、//\/八\2/、(3八——4x+4

(1)x(x-4y)-(x-2y)；⑵---X+1-———•

\JvI1)入I1

【答案】(1)-4y2；(2)

■x-2

【分析】(1)根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可;

(2)先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可.

[详解]解：(1)x(x-4y)-(x-2y)2=x2-4xy-x2+4xy-4y2=-4y2；

22

(2)[―X+I]+X2_4X+4__x-l\x+1=4-xx+1=2+^=_x+2__

\x+1)x+1+1x+1,(x-2)~x+1(x-2)~2—xx—2

【点睛】本题考查分式的混合运算、单项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关

键.

20.在学习完勾股定理后，喜欢思考的小明想进一步探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：

在k〃48C中，先作出直角边ZC的垂直平分线，并猜测它与斜边48的交点是中点，于是他把交点与点

。连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系.

请根据小明的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规作ZC的垂直平分线交48与点。，垂足为点£,连接CD.(保留作图痕迹，不写作法)

已知：在入〃45c中，ZC=90°,垂直平分NC,垂足为点£.

求证：CD=-AB.

2

证明：•••££＞垂直平分ZC,

AD=________

・・・=ZACD.

・・,在7?林45。中，//CB=90。，

14

ZA+ZB=90°,NACD+=90°,

ZB=ZBCD,

_______=BD,

：.AD=BD=-AB.

2

CD=-AB.

2

通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，请依照题意完成下面命题：直角三角形斜边的中

【分析】根据线段垂直平分线的作图作直线OE即可；根据线段垂直平分线的性质、角的和差关系以及等腰

三角形的性质填空即可；由探究可得直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

【详解】解：如图，直线£>£即为所求.

AD=CD,

ZA=ZACD.

•.,在R/AZBC中，ZACB=90°,

ZA+ZB=90°,ZACD+ZBCD=90°,

NB=ZBCD,

15

CD=BD,

AD=BD=—AB.

2

CD=-AB.

2

通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，请依照题意完成下面命题：直角三角形斜边的中线等于斜边

的一半.

故答案为：CD；NBCD；CD；等于斜边的一半.

【点睛】本题考查作图一复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中

线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

21.12月2日是“全国交通安全日”，为了解七、八年级学生对交通安全知识的掌握情况，某学校举行了交

通安全知识竞赛活动.现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分

析（得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组：A：x<70,B-.70Wx<80,C：80Wx<90,D-.90

WxWlOO）,下面给出了部分信息：

七年级抽取的学生竞赛成绩在。组的数量是。组数量的一半，在C组中的数据为：84,86,87,89；

八年级抽取的学生竞赛成绩为：68,69,76,78,81,84,85,86,87,87,87,89,95,97,98,98,

98,98,99,100.

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级平均数中位数众数

七88a95

八8887b

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a=,b=,m=.

（2）该校；七、八年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达

到优秀的学生总数.

（3）根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）.

16

七年级抽取的学生竞赛成绩统计图

【答案】(1)86.5,98,10；(2)估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数约420人;

(3)八年级参加竞赛活动的学生成绩更好，理由见解析.

【分析】(1)根据中位数、众数的意义，分别求出七年级的中位数和八年级的众数，有“1”减去其他三组

所占百分比可得力的值；

(2)利用样本估计总体即可；

(3)比较两个年级的平均数、中位数和众数即可.

【详解】解：(1)根据题意，将七年级的竞赛成绩从大到小排列后，处在中间位置的两个数分别是87,86,

故中位数为S7+86=86.5,即。=86.5；

2

八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是98,共出现4次，因此众数是98,即6=98；

48

加％=1—30%--------------=10%,即加=10.

2020

故答案为：86.5,98,10；

(2)600xI4+8+16|=600x0.7=420(人)，

I40)

答：估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数约420人；

(3)八年级参加竞赛活动的学生成绩更好，理由如下：

•.•两个年级的平均数相同都是88,但八年级学生竞赛成绩的中位数87高于七年级学生竞赛成绩的中位数

86.5,所以八年级参加竞赛活动的学生成绩更好.

【点睛】本题考查了中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的

根据.

17

22.2019年10月17日是我国第6个扶贫日，也是第27个国际消除贫困日.为组织开展好铜陵市2019年

扶贫日系列活动，促进我市贫困地区农产品销售，增加贫困群众收入，加快脱贫攻坚步伐.我市决定将一

批铜陵生姜送往外地销售.现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种

货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等.

（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？

（2）如果这批生姜有1520箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆

只装了40箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？

【答案】（1）甲种货车每辆车可装100箱生姜，乙种货车每辆车可装80箱生姜；（2）甲种货车有14辆，

乙种货车有2辆.

【分析】（1）设乙种货车每辆车可装x箱生姜，则甲种货车每辆车可装（x+20）箱生姜，根据甲种货车装

运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检

验后即可得出结论；

（2）设甲种货车有机辆，则乙种货车有（16-加）辆，根据货物的总箱数=每辆车可装的箱数X车的辆数，

即可得出关于机的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：（1）设乙种货车每辆车可装x箱生姜，则甲种货车每辆车可装（x+20）箱生姜，

解得：x=80,

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，

二x+20=100.

答：甲种货车每辆车可装100箱生姜，乙种货车每辆车可装80箱生姜.

（2）设甲种货车有机辆，则乙种货车有（16-加）辆，

依题意，得：100掰+80（16—加—1）+40=1520,

解得：m=14,

.,.16-m=2.

答：甲种货车有14辆，乙种货车有2辆.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确

列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.

18

23.三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条

路线可以选择：①C-E,②CT—.已知8位于C的正西方，/位于8的北偏西30°方向200百

米

处，且位于。的北偏西53°方向处.。位于/的正西方向100亚米处，E位于C的西南方向，且正好位

于。的正南方向.（参考数据：V2»1.414,1.732,sin37°»0.60,cos37°®0.80）

（1）求/与。之间的距离（结果保留整数）；

（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用

时更短？（结果保留一位小数）

【答案】（1）4与C之间的距离为500米；（2）走线路①用时更短.

【分析】（1）过点工作,交CS的延长线于点X,利用锐角三角函数依次求出NX、ZC即可;

（2）设C”与QE的交点为M；利用矩形的性质、解直角三角形等知识求出。河=28=300米，

CH=400MH=AD=1006米,CA/=ME=（400+100码米，CE=sflME=（40072+200）

米，再分别求出两条线路的用时，比较后即可得到结论.

【详解】解：（1）如图，过点工作交C5的延长线于点H

贝！IAAHB=90°，

19

由题意可知，AB=200A/3,ZABH=90°-30°=60°,ZACH=90°-53°=31°,

：.AH=ABsin^ABH=200A/3x—=300（米）,

2

：.AC=———=,30°一一3oo-o.6=500（米）,

sinZACHsin37°

即/与C之间的距离为500米;

（2）设C”与£>E的交点为由题意可知，ZADM=ZDMH=ZAHM=9CP,

四边形ZOMf是矩形,

二DM=4笈=300米，CH=ACcosZACH=500x0.8=400（米）,

MH=AD=10042^,

由题意可知，ZMCE=45°,ZCME=1800-ZDMH=90°,

ACME是等腰直角三角形，

CM=S+Afff=（400+100旬米，

二CE=收0/=（4006+200）米，

/.路线①的步行的时间为400号20。=10亚+5=19.1（分钟）

500+100^2+300+400+100yj28y/2/八〃小、

路线②的步行的时间为------------------------------=-j-+16工19.8（分钟）

V19.K19.8,

.♦•走线路①用时更短.

20

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和熟练掌握方位角的概念是解题的关键.

24.如图，矩形/BCD中，AB=4,8C=6,点E为幺8边的中点，点尸为5c边上的三等分点）,

动点P从点/出发，沿折线/-O-C运动，到。点停止运动.点尸的运动速度为每秒2个单位长度，设

点尸运动时间为x秒，△尸所的面积为y.

（I）请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；

（2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

（3）结合函数图象，直接写出当直线％=-2x+b与该函数图象有两个交点时，b的取值范围.

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

2x+40<x<3

【答案】（l）y='、；（2）作图见解析，当0cx<3时,y随着x的增大而增大，当3Vx<5

--4x+22（3<x<5）

时，y随着x的增大而减小；（3）12Vb<16.

【分析】（1）分0VxW3和3cxW5两种情况分别求出函数解析式即可；

（2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；

（3）分别求出直线必=-2x+b经过点（5,2）和点（3,10）时6的值，结合图象写出答案即可.

【详解】解：（1）在矩形48co中，AB=CD=4,BC=AD=6,

•.•点E为48边的中点，点F为边上的三等分点QCFVBF）,

：.AE=BE=-AB=2,CF=-BC=2,BF=-BC=4,

233

当点P在/。上时，则ZP=2x,则0V2xK6,即0WxV3,

此时。尸=6—2x,

21

...“PEF的面积y=4X6—g/E.AP—gBE.AF—；（"+£>「）•CD

=4x6-1x2x2x-1x2x4-l（2+6-2x）x4=2x+4;

当点P在CO上时，即3VX05时，如图,

则DP=2x-6,

：.APEF的面积y=4X6—gBE.BE—.CR—；（ZE+DP）•ZD

=4x6——x2x4——x2x（10-2x）——^2+2x—6）x6=-4x+22；

2x+4（0<x<3）

-4x+22（3<x<5）

(2)函数图象如图所示,

当0<xV3时，y随着x的增大而增大，当3VxV5时，y随着x的增大而减小;

(3)当直线必=—2》+6经过点(5,2)时，2=—2x5+6,贝防=12,

当直线％=—2》+6经过点(3,10)时，10=—2x3+6,则6=16,

22

结合图象可知，直线％=-2x+b与该函数图象有两个交点时，6的取值范围是12Vb<16.

【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键.

25.如图1,已知抛物线y=。必+/«+3(a,b为常数,aH0)经过点2(—3,0),5(1,0),与y轴交于

(2)如图2,若点P为第二象限内抛物线上一点，连接4P、CP、BC、PB,当与APCB的面

积和最大时，求点尸的坐标及此时A4PC与APCB的面积和；

(3)如图3,点。是抛物线上一点，连接8。，当NQ氏4=N/CB时，求点0的坐标.

(57、25

【答案】⑴y=-/_2x+3；(2)P-此时与"C8的面积和彳；(3)0(-1,4)或

2(-5,-12).

【分析】(1)直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；

131913

(2)由SRc「——x1x3——,S——x3x3=—,设尸(x,—x2—2x+3),S——x31x1——x，

22AC)C22、，△pnc/2।I2

1/a\3o91/o\1o3

SPAC——x3(—x—2x+3)=----x—3x-\—,S=—x1x(—x—2x+3)=----x—x—再建立面积

Ar/iu2、,22△/PRr)2、722

和的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；

(3)如图，连接C8,记80,NC的交点为K,过K作KTL48于7,证明A48KsANCB,可得

23

NK=[^=殍，求解K1—可得直线3K为y=—2x+2,再求解函数交点坐标即可，同理K

关于x轴对称的点K'[-1],此时8K'与抛物线的交点0也符合题意；同理可得：直线8K'的解析式

为：y=2x-2,再求解函数交点坐标即可.

【详解】解：⑴•••抛物线4=+辰+3点幺(―3,0),5(1,0),

9a—3b+3=0

：.<，

a+6+3=0

ci——1

解方程组得，

[b=-2

抛物线的解析式为y=—/一2x+3；

(2)如图2,连接OP,BP,

图2

由y=-x—2x+3，

AC(0,3),而8(1,0),/(—3,0),

1319

•'•S.BOC=-XLX3=--S.AOC=-X3X3=-'

设P(x,-x~-2x+3),

1322

△尸0c=-x3\x\=--x=—x3(-x-2x+3)=--x-3x+—,

•*-Su△尸40

2v722

1/2\123

=xlx-x

S.PBO-(-2x+3J=--x-X+

・•・"PC与APCB的面积和

=S&PAO+S&PCO-S”C0+S△尸40+S&pco+S&BOC-S&PAO-S&PBO

24

=2sApc0-S"CO+S^PAO+S*BOC-SdPBO

c932c93（1232u

JXxJXHx、—x

=----------—-----1---------------xH—|=—5x,

2222I22J

-55

当》=----7~~7=一一时，面积和最大,

2x(-1)2

最大面积为：—［一万］—5x^——；

(3)如图3,连接CB,记8。，ZC的交点为K,过K作KTLZ8于7,

•；Z（-3,0）,8（1,0）,C（0,3）,

AB=4,AC=A/32+32=372,ZCAO=45°,

NQBA=ZACB,ZCAB=NBAK,

AABKSAACB,

AB_AK

~AC~~AB

872V28

：.AT=KT=^^x-=-

323

.•——IT

25

：.Krtr

设BK为y=kx+b,

k+b=O

I3