高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）两直线的位置关系

两直线的位置关系

基础知限要打牢

1强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

一、两条直线的位置关系

斜截式一般式

方y-kix+bi4x+8iy+C=0（/+4W0）

程y-左x+bzA2X+B^y+62=0（遂+&W0）

Ai殳-W0

相

k学k2，［当4民#0时，记为日w身

交

\力2到

左=一（或44+BiBz—0

垂

当尻时,记为）.微

直&W0=_1

kikz二-11D\D2

{,4以-A2B1=0,BiG-BiG#0或

k、=k2

平Ai坛-A2B1—0,4Q-&GW0

行且一W-

当44GW0时，记为今

1力2笈5）

A\二44,Bi=人氏,Ci=（几WO）

重k>=k?

（,,,AiBxGA

合且仇二左当4旦C#0时，记为/一区一心

1月2笈5）

二、两条直线的交点

设两条直线的方程是Biy+Ci=0,hA2X+Biy+G=0,两条直线的交点坐标就是方程组

{4x+8y+G=0,4x+旦y+C=0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交,此解就是交点坐标；

若方程组无解,则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.

三、几种距离

1,两点间的距离

平面上的两点/(肛M),6(x2,㈤间的距离公式：

d(A,而二二yj~Xi-x2~~r4-yi-j^~~上

2.点到直线的距离

|Ax\+By\+C\

点P(Xi,%）到直线1：Ax+By+C=0的距离d-

6+1.

3.两条平行线间的距离

IG-GI

两条平行线G=o与/x+8y+G=o间的距离d-

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）已知人的倾斜角为45。，人经过点尸（-2,-1）,0（3,而•若则实数加

为（）

A.6B,-6

C.5D.-5

ZZ7+1

解析：选B由已知得左二1,左二二

1\J-72,k\k2——1,

m+1

1X---=-1,gpm--6.

o

2.（教材习题改编）点（0,-1）到直线太+2/=3的距离为（）

V5

1

5

D.5一

|0+2X-1

解析：选B

3•点（a,6）关于直线x+y+1=0的对称点是（）

A.(-a-1,-b-1)B,(-b-1,-5-1)

C.(-a,-6)D.(—Z?,~3)

解析：选B设对称点为(x'，V),则

y'-bx'+ay'+b

T++1=°，

解得V=-6-1,V=-a-\.

4.Z：x-y=。与心：2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上，贝lj必的值为（

A.3B.5

C.-5D.-8

解析：选D由｛x-y=0,2x-3p+l=0,得，与4的交点坐标为（1,1）.

所,以"+3+5=0,m--8.

5.与直线4x+3y-5=0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是.

\m+51

解析：设所求直线方程为4x+3y+〃=0,由3=卞=^,得0=10或-20.

+3

答案：4x+3y+10=0ng4x+3y-20=0

1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜

率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑.

2.在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax+By+C=0的形

式，否则会出错.

高频考点要通关抓考点I学技法I得拔高分|掌握程度

GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN.一］］］

3两直线的平行与垂直

典题导入

［例1］(•浙江高考)设aCR,贝“a=l”是“直线入：ax+2y-l=0与直线A：x+(a+l)y+4=0

平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［自主解答］由a=l,可得，〃/2；反之，由乙〃4可得a=l或a=-2.

［答案］A

»>一题多变

在本例中若，」心，试求a

解：,；7iJ_I2,aXl+2X(a+l)=0,

2

a=--

由题悟法

1■充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线，和

"，〃/2=左=左，八，入O4•左=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定

要特别注意.

2.(1)若直线4和八有斜截式方程71-.y=hx+b,,12：y=k2x+则直线H的充要条件是鼠•左

-1.

(2)设hAix+Biy+Ci—,0,I2A2X+Biy+C=0.贝IJh-L+B1B2=0.

以题试法

1.（•大同模拟）设a,b,c分别是中角4B,C所对的边，则直线xsin/+ay+c=0与

ysinB+sinC=0的位置关系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

解析：选C由已知得aWO,sin身0,所以两直线的斜率分别为左=由正弦

aSillD

sinAb

定理得k\•原=-----------=-1,所以两条直线垂直.

<3SinD

两直线的交点与距离问题

典题导入

［例2］（•浙江高考）定义：曲线C上的点到直线1的距离的最小值称为曲线。到直线1的距离.已

知曲线G：y=/+a到直线l：y=x的距离等于曲线C：V+（y+4>=2到直线1：y=x的距离，则实数

0__4

［自主解答］因曲线G：/+5+4）2=2到直线1.尸x的距离为———一事=2取一木二木,

所以曲线G与直线/不能相交，故y+a>x,即Y+a-x>0.

IXo-%|—Xo+/+a

设Ciy=x+a上一点为（xo,㈤,则点（孙㈤到直线1的距离d=

9

所以a=~

［答案］

由题悟法

1.点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求.注意直线方程为一般式.

2•点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解.也可用如下方法去求解：

⑴点尸（荀,㈤到与y轴垂直的直线y=a的距离d=\ya-a\.

⑵点户（刘，㈤到与X轴垂直的直线X=b的距离d-\xo-b\.

以题试法

2.（•通化模拟）若两平行直线3x-2y-l=0,6矛+”+。=0之间的距离为邛^,则。的值是

10

6a0

解析：由题意得十”

得-4,cW-2,

贝6x+ay+c-0可化为3x-2y+1=0,

1+l|2V13

则=咪一，解得c=2或-6.

答案：2或-6

3对称问题

典题导入

［例3］(•成都模拟)在直角坐标系中，4(4,0),8(0,4),.从点尸⑵0)射出的光线经直线48反射后,

再射到直线加上，最后经直线/反射后又回到尸点，则光线所经过的路程是()

A.2^/10B.6

C.3小

［自主解答］如图，设点户关于直线4及y轴的对称点分别为〃C,得

2(4,2),C(-2,0),由对称性知，D,M,N,。共线，则A/W的周长=|画

\PN\=\DM\+|M+1^1=\CD\=诉=2①即为光线所经过的路程.

［答案］A

由题悟法

对称问题主要包括中心对称和轴对称

(1)中心对称

①点尸(x,力关于。(包6)的对称点户(/,V)满足

［x'=2a-x,y'-2b-y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

(2)轴对称

①点/(a,6)关于直线加+分+C=0(.8W0)的对称点4E,n),则有

a+mb+n

A,-+8•---+C-0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

以题试法

3.（-南京调研）与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为（）

A.3x+4y+5=0B.3x+4y-5=0

C.一3x+4p-5=0D.-3x+4y+5=0

解析：选A与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是3x-4（-力+5=0,即3x+4y+5=0.

却।解SSiM绛要高举（、“抓速度）抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

&翼全员必做题

1.（•海淀区期末）已知直线7i：klX+y+1=0与直线h：kzx+y-1=0,那么"A=k『是"M

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选c由左=",1W-1,得h//12；由卜”k知LX1-左x1=0,所以k、=k2.故"k、=k『是

的充要条件.

2.当0<A<g时，直线，：4x-.y=A-1与直线入："y-x=2A的交点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选B解方程组｛h-y=A-l,ky-x=2k,得两直线的交点坐标为话a/,因为0

1k2«-1

<k<~,所以「<0,丁丁>°，故交点在第二象限.

乙K—1K—1

3.（•长沙检测）已知直线人的方程为3x+4y-7=0,直线力的方程为6x+8p+1=0,则直线，与

人的距离为（）

83

A•5B-2

C.4D,8

解析：选B:直线上的方程为3x+4y-7=0,直线4的方程为6x+8y+1=0,即为3x+4y+，=0,

1

5+73

直线/与直线h的距离为不了=9-

y3+4乙

4.若直线，：y=#（x-4）与直线4关于点（2,.1）对称，则直线入恒过定点（）

A.（0,4）B.（0,2）

C.(-2,4)D.(4,-2)

解析：选B由于直线，：y=A(x-4)恒过定点(4,0),其关于点⑵1)对称的点为(0,2).又由于直线

Z：y=Ax-4)与直线，关于点⑵1)对称，故直线右恒过定点(0.2).

5.已知直线Z：y=2x+3,若直线心与/关于直线x+y=0对称，又直线入,4则心的斜率为()

1

A.-2B.

2

1

D2

2-

解析：选A依题意得，直线h的方程是-x=2(-力+3,

131

BPy=-x+~,其斜率是1,

由入，lz,得4.的斜率等于-2.

6.(-岳阳模拟)直线1经过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点，且过点⑸1).则1的方程是

()

A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0

C,x+3y-8=0D,x-3y-4=0

解析：选C设/的方程为7x+5y-24+A(x-y)=0,即(7+4)x+(5-4)y-24=0,则(7+A)X5

+5—儿—24=0.解得A=—4.7的方程为x+3y—8=0.

7.(•郑州模拟)若直线l\：ax+2y=0和直线h：2x+(a+1)y+1=0垂直，则实数a的值为一.

解析：由2a+2(a+1)=0得a=-

1

答

案2-

8.已知平面上三条直线x+2y-1=0,x+l=0,x+ky=Q,如果这三条直线将平面划分为六部分，

则实数k的所有取值为.

解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时《=0或2；若三条直

线交于一点，也符合要求，此时4=1,故实数人的所有取值为0,1,2.

答案：0,1,2

9.(•临沂模拟)已知点尸(4,a)到直线4x-3y-l=0.的距离不大于3,则a的取值范围是

4X4-3Xa-1||15-3a|15-3a|

解析：由题意得，点到直线的距离为-------；--------=一—.又一；—W3,即115-3a|W15,

OOO

解得，OWaWlO,所以aE[0,10].

答案:[0,10]

+；=l(a>0,6>0),求点(0,6)到直线己=0的距离的最小值.

10.(•舟山模拟)

解：点(0,力到直线x-2y-a=0的距离为"=*=,+26)(沁=捻+?+J*(3+

L3V5+2V10,,L2+V2

2P="口V,当且仅当君=2尻a+b=ab,即a=l+隹，6=十一时取等号.所以点(0,人到

U/

3^5+2^10

直线x-2y-a=0的距离的最小值为丫匚丫.

11.(•荆州二检)过点尸(1,2)的直线1被两平行线7i：4x+3y+1=0与L：4x+3y+6=0截得的线

段长隔冽=也，求直线，的方程.

解:设直线1的方程为7-2=-x-1),

由｛y=Ax+2-A,4x+3y+l=0,

(3k-7-54+8、

解得^3A+4'3A+4J'

rf3k-128-10^

由｛y=Ax+2-左4x+3y+6=0,解得13“+4,3/.+4J.

整理,得7A2-484-7=0,

解得k\=R或ki=

因此，所求直线1的方程为x+7y-15=0或lx-y-5=0.

12.已知直线1：3^-y+3=0,求：

(1)点尸(4,5)关于/的对称点；

(2)直线x-了-2=0关于直线1对称的直线方程.

解：设尸(x,0关于直线，：3x-y+3=0的对称点为9(x,，V).

y'-y

kpp,*ki——1,即7一二^义3=—1.①

又PP'的中点在直线3x—y+3=0上,

+xy'+y

/.3X2-2-+3=0.(2)

-4x+3y-9

-3

5

由①②得＜

3x+4y+3

y'

5,4

(1)把x=4,y=5代入③D得/=-2,y'=7,

.,•户(4,5)关于直线/的对称点户的坐标为(-2,7).

—4x+3y—93x+4/+3

(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于1的对称直线方程为一^^-—-r--2

0«3

二0,

化简得7x+y+22=0.

B级重点选做题

1.点户到点力(1,0)和直线x=-1的距离相等，且点夕到直线y=x的距离为乎，这样的点?的个数

是()

A.1B.2

C.3D,4

解.析：选C•.•点户到点A和定直线距离相等，

二尸点轨迹为抛物线，方程为/=4工

设户(r2t),则坐="姬】,解得力i=l,t2=1+^2,k=1-y[2,故P点有三个.

2.(•福建模拟)若点(必，力在直线4x+3y-10=0上，则病+”的最小值是()

A.2B,272

C.4D,273

解析：选C设原点到点E,〃)的距离为d,所以4=序+〃1又因为()，〃)在直线4x+3y-10=0上,

—10„„

所以原点到直线4x+3y-10=0的距离为，的最小值，此时d=1所以7+〃”的最小值为4.

勺4+3

3.在直线2：3^-y-l=0上求一点尸，使得户到4(4,1)和8(0,4)的距离之差最大.

解：如图所示，设点6关于1的对称点为B',连接AB'并延长交1千P、此时的

产满足I*-I阳的值最大.设B'的坐标为(a,6),则加•左=-1,

贝IJa+3/7-12=0,®

(a6+4、

又由于线段仍'的中点坐标为匕，丁]且在直线，上,

a6+4

则3*万一丁_1=0,即3a_6-6=0.②

解①(2),得a=3,6=3,即夕(3,3).

y-1x-4

于是力夕的方程为「=「，即2x+y-9=0.

解｛3x-y-l=0,2x+y-9=0,得｛x=2,y=5,

即/与初的交点坐标为0(2,5).

|飞临备选题|

1.点(1,cos。)(其中0WdWm)到直线xsin。+jcos0-1=0的距离是:，那么。等于()

5兀兀-5兀

A.丁B.5或丁

JI7

—JI或一JI

6d6

sin。+cos2。-111

解析：选B由已知-4-

ylsin0+cos20

21

夕

夕

即sinn--

S1-4

/.4sin9-4sin。一1=0或4sin9-4sin。+1=0,

*挈或到，*

...OWsin仁1,

1兀5兀

••.Sine=-即八7或不

2.已知直线1x-y-1=0,2i：2x-y-2=0.若直线乙与，关于/对称，则心的方程