2024年高考数学模拟试题十五（含解析）

2024年高考数学模拟测试卷

一、单项选择题:

1.已知集合4={》|/—2x—3>0},集合3={xeZ|x2V4x},贝。(aA)c6=()

A.{x|O<%<3}B.{-1,0,1,2,3}C.{0,1,2,3}D.{1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式，依据代表元所满意的条件，求得集合A和集合B,之后利用补集和交集的定义求得

结果.

【详解】集合人={H三-2*-3>0}={尤|%>3或1<-1},

B={xeZ|x2<4%}={4,3,2,1,0}

^A={x|-l<x<3},故隔A)c5={0,L2,3}

故选：C.

【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的学问点有解一元二次不等式求集合，集合的补集和交集

的运算，属于简洁题目.

37r

2.设a=2°$,Z?=log3,c=cos一，贝U()

44

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】C

【解析】

【分析】

依据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及特别角的余弦函数值即可推断.

5

【详解】a=2°->2°=b

由0=log41<log43<log44=1,即O</?<1，

C-cos-,所以。>%>£■•

42

故选：C

【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较式子的大小，属于基础题.

3.在，ABC中，角4B,。的对边分别为a,b,c.若acosA-bcos5=0,则.ABC肯定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

依据正弦定理得到sin2A=sin28,计算得到答案.

【详解】acosA-bcosB-O,则sinAcosA-sin3cosB=0,即sin2A=sin23.

71

故A=5或2A+25=»,即A+3=—.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了依据正弦定理推断三角形形态，意在考查学生的应用实力.

12

4.如图，在A45C中，AN=-NC,尸是BN上的一点，若AP=mA3+—AC,则实数机的值为（）

311

【答案】C

【解析】

【分析】

平面内三点A,5c共线的充要条件为：存在实数尢〃，使0C=/lO4+〃03,且九+〃=1.求得

Q

AP=mAB+—AN,从而可得结果.

11

【详解】由AN=；NC,可得AC=4AN，

2Q

所以AP=772AB+—AC=7〃AB+-⑷V,

1111

Q

又&P,N三点共线，由三点共线定理，可得：m+—=1,

3

m=—,

11

故选C.

【点睛】本题主要考查平面对量共线定理的应用，意在考查敏捷应用所学学问解答问题的实力，属于基础

题.

jr

5.将函数/(x)=sin4x+cos4x的图像向左平移一个单位长度后,得到g(x)的图像,若函数y=g{(ox)在

8

[—二，上单调递减，则正数0的最大值为

124

.1八32

A.—B.1C.一D.-

223

【答案】A

【解析】

【分析】

先化简/(%)的表达式，平移后得到g(x)的解析式，再求出g(s)的解析式，然后利用g(°x)的单调减

区间列不等式组，求得。的取值范围，进而求得正数。的最大值.

甬*。/\(1-cos2xY(1+COS2XY1+cos22x3+cos4%―“世3兀人品

【详解】依题意，/(%)=1——-——I+1——-——I=---------=——-——，向左平移§个单位长

度得到j+；cos4[x+])]=；+；cos(4x+]]=：—；sin4x.故g(6yx)=:―：sin(4ox),下面求

itkunku

函数的减区间：由一百+2E<40xV至+2E,由于。>0故上式可化为8+2--8+2，由于函

22————<x<-———

(0(D

兀kn

---1---Cc

—§一2_<--a)<--6k

数g(6yx)在一'，?上单调递减，故<712,解得］，所以当左=0时，0=，为

兀E,1~2

34

正数0的最大值.故选A.

【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像改变的学问，考查三角函数的单调区间的

求法，综合性较强，须要较强的运算实力.sir?x+cos,％是不能够干脆合并起来的，须要通过运用降次公

式两次，才能化简为45泣(。％+0)+5的形式.求解三角函数单调区间时，要留意A是正数还是负数.

6.函数/■⑴=二，在[-应4]上的图象大致为()

e+e

y

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=x—sinx,证明当xe[0,%]时，g(x)»g(O),即x—sinx2O,从而当xe[0,句时,

/(%)>0,解除B,C,D,即可得解.

【详解】记g(x)=x-sinx,xe7i\,

=l-cosx>0,

g(x)在［一巴布上单调递增,

又g(O)=O,

.,.当xe[O,句时，g(%)>g(O),即x—sinxNO,

又ex+e~x>0，

二当xe[O,〃]时，/(x)>0,

故解除B,C,D.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图象的推断以及利用导数证明不等式，考查了转化实力，属于中档题.

7.已知。，b为正实数，直线V=x—a与曲线y=ln(x+b)相切，则工+工的最小值是()

ab

A.2B.472C.4D.272

【答案】C

【解析】

【分析】

求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得。+)=1,再由乘1法和基

本不等式，即可得到所求最小值.

【详解】解：y=/〃(x+b)的导数为y'='r，

由切线的方程V=x—。可得切线的斜率为1,

可得切点的横坐标为1-A,所以切点为(1-40),

代入V=x—。，得a+b=L

b为正实数，

n,,11/7、/I1、-bacba，

贝!J—I—=(Q+b)(—I—)=2-1----1—..2+2J—♦—=4.

ababab\ab

当且仅当a=b=工时，!+工取得最小值4.

2ab

故选：C

【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题.

8.已知“X)是可导的函数，且/'(X)</(x),对于xeR恒成立，则下列不等关系正确的是()

2020仪/⑴〉

A./(l)>ef(O),/(2020)<e/(0)B.〃1)>0),e?”-1)

C.41)〈歹⑼，/(l)<e2/(-l)D./(l)>ef(O),/(2020)>e2020/(0)

【答案】C

【解析】

【分析】

构造新函数g(x)=整，求导后易证得g(x)在R上单调递减，从而有g⑴<g(0),g(2020)<g(0),

e

g(l)<g(—1),故而得解.

【详解】设g(x)=』半，

e

则g(1)J3H%)，

e

-f'(x)</(x),

g'(x)<0,

即g(x)在R上单调递减，

g⑴<g(0)，

即d华，

即/(l)<e/(O),故选项A不正确；

g(2020)<g(0),

"(2020)7(0)

即一而L<'

ee

即/(2020)<e2°2°/(0),故选项D不正确；

g⑴<g(T)，

即幽即/(l)<e2/(—1).

ee

故选项B不正确；

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析实力、逻

辑推理实力和运算实力，属于中档题.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求

的.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.下列命题中，是真命题的是()

A.已知非零向量a,若卜+同=,一可，则a_L6

B,若w(0,—1Win%

C.在AABC中，"sinA+cosA=sinB+cosB"是"A=6"的充要条件

D.若定义在7?上的函数y=/(x)是奇函数，则y=/(/(x))也是奇函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对A,对等式两边平方；对B,全称命题的否定是特称命题；对C,sinA+cosA=sin5+cos6两边平方

可推得A+B='或A=6；对D,由奇函数的定义可得、=/(/(%))也为奇函数.

【详解】对A,Q+Z?=〃一4=>a+b+2a-b=a+b一2a=a，b=0,所以故A正确；

对B,全称命题的否定是特称命题，量词随意改成存在，结论进行否定，故B正确；

对C,sinA+cosA=sin5+cos5n2sinA•cosA=2sin6•cosB=sin2A=sin2B,

TT

所以A+3=—或A=5,明显不是充要条件，故C错误；

2

对D,设函数E(x)=/(/(%)),其定义域为H关于原点对称，且

F(-x)=/(/(-%))=f(-/(x))=-/(/(x))=-F(x),所以尸(x)为奇函数，故D正确;

故选：ABD.

【点睛】本题考查命题真假的推断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒

等变换、奇函数的定义等学问，考查逻辑推理实力，留意对C选项中sin2A=sin23得到的是A3的两种

状况.

10.已知/(%)是定义域为公的函数，满意/(x)=/(x—4),/(%+2)=/(2-x),当0WxW2时，

=x,则下列说法正确的是()

A.函数/(x)是偶函数

B.函数“X)的最小正周期为4

C.当OW九W4时，函数/(%)的最小值为一g

D.方程/(x)=log3国有10个根

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用偶函数的定义推断A；利用函数周期的定义推断B；依据对称性以及二次函数的性质可推断C；利用数

形结合的推断D.

【详解】/(九)是定义域为公的函数，

由/(%+2)=/(2—%),则/(x)=〃4—%),即〃x)=/(4—x),

又/(x)=/(x—4),所以/(4—x)=/(x—4),即/[—(x—4)]=/(%-4),

所以/(—x)=/(x),所以函数/(九)是偶函数，故A正确；

由/(尤)=/(尤—4),依据周期的定义可知函数的最小正周期为4,故B正确；

当0WxW2时，f(x)=x2-x,函数的最小值为

由/(x+2)=/(2—%),所以％=2为对称轴,

所以当0<x<4时，函数/(%)的最小值为-；，故C不正确；

作出了>0时y=/(x)与y=log3》的图像，由图像可知％>0时，函数有5个交点,

又y=/(%)与y=1。83国为偶函数，由对称性可知方程〃x)=iog3国有1。个根，

【点睛】本题考查了函数的性质、求方程的根的个数，考查了数形结合的思想，属于中档题.

11.已知向量a=(1,-2)，b=(-1,m),则()

A.若［与］垂直，则m=—1B.若］〃［，则;/的值为-5

C.若加=1,则a—力=厉D.若相=—2,则:与了的夹角为60°

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用向量数量积、向量垂直、平行、模、夹角的坐标表示分析每一个选项即可.

详解】对于选项A：由可得1x(—1)+(—2)•机=0,解得m=—g,故月错误，

对于选项B：由可得lxm—(―2)x(—l)=0,解得加=2,...力=(一1,2),

a,Z?=1x(-1)+(-2)x2=-5,故6正确；

对于选项C：若m=1,则a—/?=(2,—3),则a—故C正确：

若加二—2,对于选项D：b=(-l,-2)：设〃与b的夹角为氏

a,b—1+43

则侬'=丽=诟1=二'故'错误.

故选:纪

【点睛】本题主要考查平面对量的坐标运算及其性质，属于基础题

12.a,b,C分别为-.ABC内角A,B,C对边.已知6sinA=（3b-c）sinB,且cosA=；,则（）

A.a+c—3bB.tanA=2^2

C.ABC的周长为4cD.ABC的面积为迪,2

9

【答案】ABD

【解析】

【分析】

依据6sinA=（3b-c）sin3,利用正弦定理化简得到a=3b—C.然后利用余弦定理化简得到6=gc,再结合

cosA=」逐项推断.

3

【详解】vZ?sinA=（3/?-c）sinB,

ab=（3b-c^b,

••ci—3Z?—c.

由余弦定理得（3Z?-C）2=〃+02-2Z?CCOSA,

21

整理得Z?=—c,又cosA=-,

33

.2&r-

・・sinA-------，tanA—2A/2•

3

周长为〃+/?+c=4/7.

故，ABC的面积为L友5也4=侦02.

29

故选：ABD

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数/（%）=日—lux在区间（1,+8）内不单调，则4的取值范围是.

【答案】（0,1）

【解析】

【分析】

求解出了'(%),采纳分类探讨的方法分析了(%)的单调性，从而求解出满意题意要求的左的取值范围.

【详解】因为/''(力=左—,，且工e(O,l),

当上31时，恒成立，所以/(%)在(1,+8)上单调递增，不符合；

当左＜0时，/'(x)＜0恒成立，所以〃龙)在(1,+8)上单调递减，不符合；

，贝若xe|g,+co),则/'(X)>0,

当0〈左＜1时，若xe

上单调递减，在，上单调递增,

所以/(%)在，+8符合题意,

综上可知：Ze(0,1).

故答案为：(0」).

【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性，其中涉及到依据单调性求解参数范围，难度一般.本例中的

“不单调”问题也可以先转化为“单调”问题，求出结果后再取其补集也能得到对应结果.

14.在数列｛。“｝中，4=1,“2=2,且。“+2-%=l+(T)”("eN*),则”1+“2+-.+%i=.

【答案】676

【解析】

【分析】

对“分奇偶探讨，由此得到奇数项和偶数项的规律，按规律即可求解出％+出++%1的值•

【详解】当"为偶数时，a,.-。,=2,所以偶数项成首项为2,公差为2等差数列，所以

4=2+21_1]=〃；

当〃为奇数时，an+2-an=0,所以奇数项为常数列，所以所以％,=1；

.1+51、(2+50)x25

所以％+出+…+%1=-^-xl+(z2+4+6+...+50)=26+^————=676,

故答案为：676.

【点睛】本题考查等差数列前〃项和的计算，其中涉及到递推公式中分奇偶项探讨的问题，难度一般.对须

要分奇偶项探讨的数列进行求和时，可以先分别求解稀奇偶性对应的通项公式，然后运用对应求和方法进

行求和.

1+cos20

15.-sin10x----------tan5

2sin20Itan5

【答案】亚

2

【解析】

【分析】

依据切化弦，由两角差的正弦公式，即可化简出结果.

cos5sin5、cos10cs

【详解】原式-------------2cos10