河北石家庄某中学2024年中考数学模拟试卷含解析

河北石家庄28中学教育集团2024年中考数学模拟精编试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间

的函数关系式为y=Tx+440,要获得最大利润，该商品的售价应定为

A.60元B.70元C.80元D.90元

2.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）

3.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB

的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D，处，则点C的对应点C，

A.（百，2）B.（4,1）C.（4,百）D.（4,2百）

4.已知关于x的方程3+3*+的0有一个根为-2,则另一个根为（）

A.5B.-1C.2D.-5

5.如图钓鱼竿AC长6,”，露在水面上的鱼线8c长30钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15。

到4。的位置，此时露在水面上的鱼线9。长度是（）

C.2/m

k

6.已知常数kVO,b>0,则函数y=kx+b,y=—的图象大致是下图中的（）

%

A.

C.

7.老师随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则

条形图中被遮盖的数是（）

D.22

8.如图是反比例函数y=±（k为常数，k#0）的图象，则一次函数y=依-左的图象大致是（）

X

C,D.X

9.如图，平面直角坐标系xOy中，四边形（M3C的边04在x轴正半轴上，5C〃x轴，NQ45=90。，点C（3,2）,

连接。C.以0C为对称轴将OA翻折到04,反比例函数的图象恰好经过点£、B,则左的值是（）

10.一、单选题

如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分另I」是NBAC、NABC的平分线，ZBAC=50°,ZABC=60°,则

ZEAD+ZACD=（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.已知关于X的一元二次方程/+/=0的两个实数根分别是X|=-2,X2=4,则7〃+八的值为.

12.在数轴上与-2所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是.

k+1

13.已知双曲线y=——经过点（一1,2）,那么k的值等于.

x

14.若关于X的一元二次方程侬；2—2%一1=0无实数根，则一次函数丁=如+”的图象不经过第象限.

15.如图，圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,ZA=22.5°,OC=4,CD的长为.

16.如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,（DC的半径为1,点P是斜边AB上的点，过点P作。C的

一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为.

X轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2,AD=1,点E的坐标为（0,2）.点F

（x,0）在边AB上运动，若过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分，则x的值为_.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点分别在坐标轴的正半轴上，--4,

点-在直线上，直线与折线--_-一有公共点.点—的坐标是______________；若直线-经过点

，n-———J一0°u

求直线的解析式；对于一次函数，当-随的增大而减小时，直接写出的取值范围.

U，一一g9,一JWW.UUU

一=__=0）

19.（5分）已知正方形A5C。的边长为2,作正方形AEfY?（A,E,F,G四个顶点按逆时针方向排列），连接BE、

GD,

（1）如图①，当点E在正方形A3C。外时，线段8E与线段OG有何关系？直接写出结论；

（2）如图②，当点E在线段50的延长线上，射线R4与线段OG交于点M,且OG=2Z>M时，求边AG的长；

（3）如图③，当点E在正方形A3。的边所在的直线上，直线A3与直线OG交于点V,且。G=4OM时，直

接写出边AG的长.

G

G

E

图①图②图③

k

20.(8分)如图，一次函数yi=-x-l的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数y,=一图象的一个交

x

点为M(-2,m).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求点B到直线OM的距离.

21.(10分)为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广

场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示.请

在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置.(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必

须用铅笔作图)

22.（10分）如图，RtAABC中，ZACB=9Q°,CELAB于E,BC=mAC=nDC,。为边上一点.

图1图2

(1)当加=2时，直接写出—=，—=.

BE-----BE-----

3

(2)如图1,当m=2,〃=3时，连OE并延长交C4延长线于歹，求证：EF=-DE.

2

3)77

⑶如图2,连AD交CE于G,当=且CG=：AE时，求一的值.

2n

23.(12分)石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20

件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件

童装降价1元，那么平均可多售出2件.设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；(用x

的代数式表示)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.

24.(14分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4,OC=3,

若抛物线经过O,A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D,动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；

(3)是否存在以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P,Q的坐标；若不存在，请说

明理由.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解析】

设销售该商品每月所获总利润为w,

则w=(x-50)(-4x+440)=-4x2+640x-22000=-4(x-80)2+3600,

.•.当x=80时，w取得最大值，最大值为3600,

即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C.

2、A

【解析】

试题分析：观察图形可知，该几何体的主视图是|[।.故选A.

考点：简单组合体的三视图.

3、D

【解析】

由已知条件得到AD，=AD=4,AO=yAB=2,根据勾股定理得到OD，=储萨为“=273,于是得到结论.

【详解】

解：VAD=AD=4,

1

AO=-AB=1,

2

•••OD，=JAD，2—=2石,

；CD=4,CD〃AB,

：.C(4,273)，

故选：D.

【点睛】

本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题关键.

4、B

【解析】

根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值,

本题得以解决.

【详解】

•关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,设另一个根为m,

3

・・-2+m=—，

1

解得，m=-l,

故选B.

5、B

【解析】

因为三角形A3C和三角形4力。均为直角三角形，且BC、砂。都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求

出NC4B,进而得出NOAn的度数，然后可以求出鱼线用。长度.

【详解】

*2...„BC3^2A/2

解：.sinZCAB=-----=-------=

AC62

：.ZCAB=45°.

；NCNC=15。，

：.ZC'AB'=6Q0.

..,B'CA/3

..sin60ftO=------=-—,

62

解得：B'C'=3yf3.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题.

6、D

【解析】

当kVO,b>0时，直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限，由此确定正确的选项.

【详解】

解：•.•当k<0,b>0时，直线与y轴交于正半轴，且y随x的增大而减小，

•••直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限.

故选D.

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质.关键是明确系数与图象的位置的联系.

7、B

【解析】

条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来.扇

形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚地

表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的面积表示总数（单位1）,用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分

数.

【详解】

课外书总人数：6+25%=24（人），

看5册的人数：24-5-6-4=9(人)，

故选5.

【点睛】

本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键.

8、B

【解析】

根据图示知，反比例函数y=人的图象位于第一、三象限，

:.无＞0,

...一次函数尸质i的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，且该一次函数在定义域内是增函数,

一次函数产丘T的图象经过第一、三、四象限;

故选：B.

【解析】

设B(1,2),由翻折知OC垂直平分AA，，ArG=2EF,AG=2AF,由勾股定理得OC=Mi，根据相似三角形或

锐角三角函数可求得A，(22)，根据反比例函数性质k=xy建立方程求k.

2613

【详解】

如图，过点C作CD，x轴于D,过点A，作A，G，x轴于G,连接AA，交射线OC于E,过E作EF，x轴于F,

CX5

GDFAx

设B(-,2),

2

在R3OCD中，OD=3,CD=2,ZODC=90°,

二oc=7(?O2+CD2=A/32+22=V13，

由翻折得，AAf±OC,A，E=AE,

2x

.\AE=CD-04_2^k，

OC~

,.,ZOAE+ZAOE=90°,ZOCD+ZAOE=90°,

AZOAE=ZOCD,

EFOD

••sin^OAE=-=sinNOCD,

AEOC

ODAE3713,3,

EF=-----------=~^=x--k=—k

OCV131313

,**cosz^OAE=-----=-----=cosNOCD,

AEOC

:.AF=".AE=三x叵k二k,

OCy/131313

•・・EFJ_x轴，A，G_Lx轴,

・・・EF〃A'G,

.EFAFAE_1

"A7G"AG-

64

:・A!G=2EF=—k,AG=2AF=—k

1313f

145

:.OG=OA-AG=-k——k=—k

213269

：・A，上k,%),

2613

：.—k-k=k

26139

7169

K=----

15

故选C.

【点睛】

本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等,

解题关键是通过设点B的坐标，表示出点A，的坐标.

10、A

【解析】

分析：依据AD是BC边上的高，ZABC=60°,即可得到NBAD=30。，依据NBAC=50。，AE平分NBAC,即可得到

ZDAE=5°,再根据△ABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,可得NEAD+NACD=75。.

详解：YAD是BC边上的高，NABC=60。，

.\ZBAD=30°,

VZBAC=50°,AE平分NBAC,

NBAE=25°,

ZDAE=30°-25°=5°,

VAABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,

ZEAD+ZACD=5°+70°=75°,

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180。.解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义

的运用.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、-10

【解析】

根据根与系数的关系得出-2+4=-m,-2x4=n,求出即可.

【详解】

•••关于x的一元二次方程_?++〃=o的两个实数根分别为=-2,X2=4,

-2+4=-m,-2x4=n,

解得：m=-2,n=-8,

m+n=-10,

故答案为：

【点睛】

此题考查根与系数的关系，掌握运算法则是解题关键

12、2或-1

【解析】

解：当该点在-2的右边时，由题意可知：该点所表示的数为2,当该点在-2的左边时，由题意可知：该点所表示的

数为-L故答案为2或-1.

点睛：本题考查数轴，涉及有理数的加减运算、分类讨论的思想.

13、-1

【解析】

VI1VI1

分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点(一1,2)代入y=—，得：2=—,解得：k=-L

x-1

14、一

【解析】

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m邦且△=(-2)2一4mx(-1)<0,所以m<-l,然后根据一次函数的性

质判断一次函数y=mx+m的图象所在的象限即可.

【详解】

2

•.•关于X的一元二次方程mx-2X-l=0无实数根，

；.m并且A=(-2)2-4mx(-1)<0»

/.m<-l,

...一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.

故答案为一.

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax?+bx+c=O(a/))的根与△=b?-4ac有如下关系：当A>0时，方程有两个不

相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程无实数根.也考查了一次函数的性质.

15、4*^2

【解析】

试题分析：因为OC=OA,所以/ACO=NA=22.5°,所以NAOC=45。，又直径A5垂直于弦CD,0C=4,所以

CE=2血，所以CD=2CE=4逝.

考点：1.解直角三角形、2.垂径定理.

16、&.

【解析】

当PCLA8时，线段尸。最短；连接CP、CQ,根据勾股定理知PO=cp2-c。，先求出。尸的长，然后由勾股定理即

可求得答案.

【详解】

连接CP、eg；如图所示：

•••尸。是。C的切线，...CQLPQ,ZCQP=90°,根据勾股定理得：尸。=cp2-c0,.•.当PCLA5时，线段尸。最短.

.在RtAACB中，NA=30。，BC=2,：.AB^2BC=4,AC=2Jj,：.CP=——-——=*—=Jj,

AB4

；•PQ=^CP'-CQ1=JT斤=贬,:.PQ的最小值是夜.

故答案为：V2.

0

【点睛】

本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PCLA5时，线段P0最短是关键.

22

17>一或---.

33

【解析】

试题分析：当点F在OB上时，设EF交CD于点P,

Y

可求点P的坐标为（二，1）.

2

33

贝!JAF+AD+DP=3+-x,CP+BC+BF=3——x,

22

.33

由题意可得：3+—x=2（3x）,

22

解得：x=g.

2

由对称性可求当点F在OA上时，x=-

3

22

故满足题意的x的值为彳或-

33

22

故答案是；或-

33

【点睛】

考点：动点问题.

三、解答题（共7小题，满分69分）

瓜⑴（叼⑵⑶

—=百一+：-R一<0

【解析】

（1）OA=6,即BC=6,代入即可得出点B的坐标

(2)将点B的坐标代入直线1中求出k即可得出解析式

(3)一次函数，必经过，要使y随x的增大而减小，即y值为，分别代入即可求出k

二=二匚+“二・为(ay

的值.

【详解】

解：VOA=6,矩形OABC中，BC=OA

/.BC=6

•.•点B在直线上，

4

,解得x=8

A=-C

故点B的坐标为(8,6)

故答案为(8,6)

(2)把点-一•的坐标代入得，

二=二二+”=

解得：

口=35

口=渣+:

(3))•.•一次函数，必经过),要使y随x的增大而减小

ZSZZ+1(Z*0)(ftf)

，y值为

0□；

...代入，

二=二二+Q

解得一

-S口＜0

【点睛】

本题主要考待定系数法求一次函数解析式，关键要灵活运用一次函数图象上点的坐标特征进行解题.

19、(1)结论：BE=DG,BELDG.理由见解析；(1)AG=1石；(3)满足条件的AG的长为1所或1而.

【解析】

(1)结论：BE=DG,BELDG.只要证明ABAE之△ZMG(SAS),即可解决问题；

(1)如图②中，连接EG,作GHLAO交04的延长线于由A,D,E,G四点共圆，推出NAOO=NAEG=45。,

解直角三角形即可解决问题；

(3)分两种情形分别画出图形即可解决问题；

【详解】

(1)结论：BE=DG,BE±DG.

图①

理由：如图①中，设3E交OG于点K,AE交OG于点。.

••,四边形A5C。，四边形AEFG都是正方，形，

J.AB^AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=9Q°,

：.ZBAE=ZDAG,

：.ABAE^ADAG(SAS),

BE=DG,：.ZAEB^ZAGD,

'：ZAOG^ZEOK,

：.NOAG=NOKE=90。，

：.BE±DG.

(1)如图②中，连接EG,作GH,4。交04的延长线于H.

E

图②

■:NO4G=NOZ)E=90。，

AA,D,E,G四点共圆,

:.ZADO=NAEG=45。，

,:NZMM=90。，

:.NAZ>M=ZAMD=45°,

•*-DM=41AD=2A/2,

'：DG=WM,

：,DG=4"

VZH=90°,

ZHDG=NHGD=45。,

:.GH=DH=4,

：.AH=1,

在RtAAHG中，AG=V22+42=275.

(3)①如图③中，当点E在CD的延长线上时.作G77LZM交ZM的延长线于H.

图③

易证AAHG丝△ED4,可得GH=AB=1,

'：DG=4DM.AM//GH,

.DADM_1

；.DH=8,

：.AH=DH-AD=6,

在RtAAHG中，AG=V62+22=2M

②如图3-1中，当点E在。。的延长线上时，易证：AAKE义AGHA,可得AH=EK=3C=L

.ADDM_1

"GH~MG-M

\'AD=1,

.*.HG=10,

在RtAAG〃中，AG=A/102+22=2726.

综上所述，满足条件的AG的长为2河或2面.

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角

形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

22I-

20、(1)y——(2)—\5.

2x5

【解析】

(1)根据一次函数解析式求出M点的坐标，再把M点的坐标代入反比例函数解析式即可；

(2)设点B到直线OM的距离为h,过M点作MC±y轴，垂足为C,根据一次函数解析式表示出B点坐标，利用

△OMB的面积=,xBOxMC算出面积，利用勾股定理算出MO的长，再次利用三角形的面积公式可得▲OM・h,根

22

据前面算的三角形面积可算出h的值.

【详解】

解：(1)二•一次函数yi=-x-1iiM(-2,m),/.m=l.AM(-2,1).

k

把M(-2,1)代入丫2=一得：k=-2.

x

2

・•・反比列函数为丫2=——.

X

(2)设点B到直线OM的距离为h,过M点作MCLy轴，垂足为C.

•・•一次函数yi=-x-1与y轴交于点B,

・••点B的坐标是(0,-1).

••^AOMB=-X1X2=1.

在RtAOMC中，OM=JOC2+CM2=712+22=A/5，

••,SAOMB=1-OM.h=^h=l,.-.h=-1=|^.

，点B到直线OM的距离为|逐.

21、解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可.

易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半.

11TYL3

22、(1)-；(2)证明见解析；(3)-=

24n4

【解析】

(1)利用相似三角形的判定可得ABCESAC4ESM4C,列出比例式即可求出结论；

(2)作DH〃CF交AB于H,设=则应;=4〃，根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可求出AH和EH,

然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可得出结论；

(3)作于4,根据相似三角形的判定可得AAEGSACE4,列出比例式可得AE?=欣；.EC,设CG=3a,

AE=2a,EG=X,即可求出X的值，根据平行线分线段成比例定理求出砒＞:3C=ZV7:CE=5:8,设BD=AD=5b,

BC=8b,CD=3b,然后根据勾股定理求出AC,即可得出结论.

【详解】

(1)如图1中，当相=2时，BC=2AC.

图1

CELAB,ZACB=90°,

/.ABCE^ACAE^ABAC,

.CEACAE_1

-EB~BC~EC~29

,\EB=2EC9EC=2AE,

•1

,,一•

EB4

故答案为：一，一.

24

(2)如图1-1中，悴DHHCF交.AB千H.

.,CEAC1AE1

・・tanNB=二——tanZACE=tanNB=-----=

BEBC2CE2

/.BE=2CE,AE=-CE

2

BE=4AE,BD=2CD,设AE=a,贝！JBE=4。，

DH//AC,

BHBD

AH=-a,EH=-a—a=-a,

333

DH//AF,

EFAEa3

DE-EH-l^-2,

3

3

:.EF=-DE.

2

(3)如图2中，作于".

图2

ZACB=ZCEB=90°,

.•.ZACE+NECB=90。,ZB+ZECB=90°,

:.ZACE=/B,

DA=DB,

ZEAG=ZB9

:.ZEAG=ZACEf

ZAEG=ZAEC=90°9

:.^AEG^\CEA,

AE2=EG.EC,

3

CG=-AE设CG=3〃，AE=2a,EG=x,

29

贝！］有4a2=x(x+3a),

解得x=〃或Ta(舍弃)，

EG1

/.tanNEAG=tanZACE=tanZB==—,

AE2

EC=4<7fEB=8a,AB=lOci,

DA=DB,DH±AB,

.\AH=HB=5a,

DH——a,

,DH//CE,

:.BD:BC=DH:CE=5:8,设BZ)=AD=56,BC=8b,CD=3b,

在RtAACD中，AC=y/AD2-CD2=4b>

:.AC:CD=4:3,

mAC—nDC,

/.AC:CD=n:m=4:39

.m_3

••=•

n4

【点睛】

此题考查的是相似三角形的应用和锐角三角函数，此题难度较大，掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比

例定理和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

23、(1)(20+2x),(40-x)；(2)每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；(3)不可能做到平均每天盈利

2000元.

【解析】

(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价一进价一降价，列式即可；

(2)、根据总利润=单件利润x数量，列出方程即可；(3)、根据⑵中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可.

【详解】

(1)、设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，

故答案为(20+2x),(40-x)；

(2)、根据题意可得：(20+2x)(40-x)=1200,

解得：xl=10,x2=20,

即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；

(3)、(20+2x)(40-x)=2000,x2-30x+600=0，

•.•此方程无解，

,不可能盈利2000元.

【点睛】

本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型.解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程.

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24、(1)y=—-x2+3x；(2)当PO+PC的值最小时，点P的坐标为(2,-)；(3)存在，具体见解析.

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【解析】

⑴由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)D与P重合时有最小值，求出点