天津市南开中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题(无答案)

南开中学2022-2023学年度第二学期期末检测高一数学试卷考试时间：100分钟Ⅰ卷（共32分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3 B．4 C．5 D．62．一组数据：16，21，23，26，33，33．37，37的第85百分位数为（）A．34 B．35 C．36 D．373．已知三个不同的平面及两条不同的直线，则下列四个命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（）A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（）A． B． C． D．6．如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（）A． B． C． D）7．如图，已知正方体的棱长为1，点在棱（不含端点）上运动，现有如下命题：①平面内不存在直线与垂直；②平面与平面所成的锐二面角为；③当点运动到棱的中点时，线段上存在点，使得平面；④设点为线段的中点，则三棱锥的体积为定值．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（）A．米 B．米 C．米 D．米Ⅱ卷（共68分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．9．i为虚数单位，若复数，则______10．已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为______．11．已知向量，向量在向量上的投影向量，则的最小值为______．12．在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为______．13．设三角形是等边三角形，它所在平面内一点满足，则向量与夹角的余弦值为______．14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骎骎汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则______，______．三、解答题：本大题共3小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生：（ⅰ）写出该试验的样本空间；（ⅱ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．16．（本小题满分15分）在中，角所对的边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知，（ⅰ）若的面积为，求的周长；（ⅱ）求周长的取