2024年高考数学摸底考试卷原卷版（新高考）

2024年高考数学摸底考试卷

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求.

1.设集合A={—3,—2,—1,0,1,2,3},B=[x\x2-x<0\,则AB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

2.已知复数z满足z(l+2i)=3—z•，贝|z|=

A.2B.73C.V2D.1

3.已知向量a,6满足同=2忖=2,(a-b)(2a+6)=8,则d与方的夹角为()

A.@B.£C.工D.2

3366

4.已知随机变量X8(2,p),随机变量¥N(2,吟,若尸(XWl)=0.36,P(y<4)=p,贝|*0<丫<2)=

()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

z[xx2+ar

5.若函数〃x)="在[L2]单调递减，则a的取值范围()

A.a>—2B.a<—2C.a<—4D.a>-4

22

6.已知点Fi、F2分别是椭圆*+斗=l(a>b>0)的左、右焦点，过Fi且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、

B两点，若AABF2为正三角形，则椭圆的离心率是

A.2B.J2C.3D.且

3

7.已知等差数列｛4｝的前/项和为S"，命题":"%>。，4>0"，命题，“S7>0”，则命题P是命题4的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.在边长为6的菱形ABCD中，ZBAD=现将菱形ABCD沿对角线BD折起，当AC=3#时，三棱锥

A-BCD外接球的表面积为（）

A.24兀B.48兀C.60兀D.72兀

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本甲的数据毛，一组样本乙的数据2%+1,其中％。=1,2,3,4,5,6,7,8）为不完全相等的正数，则

下列说法正确的是（）

A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差

B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C.若样本甲的中位数是加，则样本乙的中位数是2m+1

D.若样本甲的平均数是〃，则样本乙的平均数是2〃+1

10.已知正方体ABC。-4旦6〃，则（）

A.直线BG与。A所成的角为90°B.直线BG与CA所成的角为90°

C.直线BG与平面88QQ所成的角为45。D.直线8C］与平面ABC。所成的角为45。

11.已知定义在R上的函数〃尤）满足〃x+2）+/（x）=0,且y=/（2-x）为偶函数，则下列说法一定正确

的是（）

A.函数〃尤）的周期为2B.函数的图象关于（1,0）对称

C.函数”力为偶函数D,函数〃尤）的图象关于x=3对称

12.抛物线C:x2=2py5>0）的准线方程为y=T,过焦点歹的直线/交抛物线C于A,8两点，贝I］（）

A.C的方程为无2=2〉

B.MH+2忸司的最小值为4+26

C.过点”（4,2）且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条

/、/、211

D.过点AB分别作。的切线，交于点尸(%0，%)(不。0),则直线f5的斜率满足二二1+1

KpFKpAKpB

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至

少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有种.(用数字作答)

14.已知正四棱台的侧棱长为3,两底面边长分别为2和4,则该四棱台的体积为

15.已知直线/：尤一殁+1=。与|C:(x-l)2+y2=4^A,B两点，写出满足“JLBC面积为:'的m的一

个值______.

16.设函数〃x)=sin,x+T在区间(0㈤恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是.

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.S”为数列｛4｝的前〃项和，已知a.>0,a；+2a“=4S”+3.

(1)求证：数列｛%｝为等差数列；

⑵设2=」一，求数列也｝的前n项和T”

anan+l

18.在锐角三角形中，角A&C的对边分别为a,b,c,且g伊-acosC)=csinA.

(1)求角A的大小；

(2)若。=2,求.ABC周长的取值范围.

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，PC，底面ABC。，四边形ABCD是直角梯形，ADA.DC,AB//DC,

PC=AB=2A£)=2CD=2,点E在棱PB上.

(1)证明：平面£AC_L平面PBC；

(2)当8E=2EP时，求二面角P-AC-E的余弦值.

20.为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4

道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是=且每道题正确完成与否互不影

4

响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.

(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；

(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；

(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参

加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由.

21.已知函数〃x)=xe"-alnx在x=l处的切线方程为y=(2e+l)x-b(a,Z?eR)

(1)求实数a，b的值；

⑵设函数g(X)=/(x)-2e“-尤+3,当无e时，g(x)<m(meZ)恒成立，求加的最小值.

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