2024年中考数学复习最短路径模型专项练习

最短路径模型专项练习

“两定一动”模型

如图，A,B两定点在定直线1的同侧，在直线1上找一动点P,使得PA+PB最小.

模型证明

作法：过点A作关于直线1的对称点A',连接A'B交直线1于点P,此时点P为所求.

证明:依题意PA二PA：

.*.PA+PB=PA4PBNA旧.

当A',P,B三点共线时,（（PZ+P3）目团=A'B.

经典例题

如图，在△ABC中,BC=10,CD是NACB的平分线.若点P,Q分别是CD和AC上的动点,且^ABC的面积为24,则PA+PQ的

最小值是（）.

1224

A.—B.4C.—D.5

55

完全解答

答:C.

解过点A作AQ'IBC于点Q：交CD于点P,过点P作PQ_LAC.如图所示：

VCD平分NACB,点P,Q分别是CD和AC上的动点,

，PQ，=PQ,点Q与Q，关于CD对称.

...此时,AQNPA+PQ）最小值•

VBC=10,SAABC=24,

...40，_2SABC_2X24_24

•・~BC-10-5,

...PA+PQ的最小值是g.

实战演练

1.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4cm,面积为16cm?,腰AC的垂直平分线EF交AC于点E,交AB于点F,点D为BC

的中点，点M为直线EF上的动点.则4CDM周长的最小值为（）.

为（）.

A.6cmB.8cm

C.9cmD.10cm

E,

M

AB

2.如图,在^ABC中，ZBCA=90°,BC=3,CA=4,AD平分NBAC,点M,N分别为AD,AC上的动点，则CM+MN的最小值是().

A.1.2B.2C.2.4D.5

3.如图,A(4,3),B(2,l).在x轴上取P,Q两点，使PA+PB的值最小,|QA-QB|的值最大，则PQ=

“一定两动”模型

如图.在NAOB中有一定点P.在射线OAQB上分别找M,N两点，使得△PMN的周长最小.

模型证明

作法：过点P作关于射线OB的对称点.Pi,,作关于射线0A的对称点.P2连接P1P2交直线OAQB于M,N两点,此时点M,点N为所求.

证明：依题意PN=PNPM=MP2,

:.CPMN=PM+PN+MN

=P2M+P[N+MN

>P1P2,

即当Pi.N,M,P2四点共线时,△PMN的周长取得最小值，为PR

经典例题

如图，在五边形ABCDE中,/B4E=136°,ZB=ZE=90°,iSBC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时，则NAMN+NANM的

度数为().

A.84°B.88°C,90°D.96°

完全解答

答：B.

解：如图所示，作点A关于BC和ED的对称点A；A”,连接AA”,交BC于点M,交ED于点N,则AA唧为△AMN的周长最小值.

延长EA,作A'H±AE于H点.

ZBAE=136°,.'.ZHAA'=44°.

AAA'M+乙4”=^HAA'=44°.

又TZAA'M=ZMAA',ZNAE=ZA",

HZAA'M+ZMAA'=ZAMN,ZNAE+ZA"=ZANM,

■.UMN+乙ANM=LAA'M+Z.MAA'+乙NAE+乙4”

=2（乙44'“+N4''

=2x44°

=88°.

实战演练

1.如图，点P是NAOB内任意一点QP=8cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm,

则NAOB的度数是一

2.四边形ABCD中="=90°,zC=70。,在BC,CD上分别找一点M,N,当A4MN的周长最小时，乙4MN+/4NM的

度数为一

“两定两动''模型

如图.在NAOB中有两定点P,Q,在射线OA,OB上分别找M,N两点，使得四边形PMNQ的周长最小.

模型证明

证明:依题意PM二MP】，NQ=NQi,则C四边形PQNM=PQ+QN+NM+MP

=PQ+NQi+MN+MPI

>PQ+PiQi.

当Pi,M,N,Qi四点共线时，四边形PMNQ的周长取得最小值，为PQ+PIQL

经典例题

如图,NAOB=30。,点M,N分别在边OAQB上，且OM=2QN=5,点P,Q分别在边OBQA上，则当MP+PQ+QN取得最小值时,

SNOQ+SQOP+SM0P=___.

完全解答

解：作点M关于0B的对称点M1作点N关于0A的对称点N',如图所示，连接MN,交0A和0B于点Q与点P,此时MP+PQ+QN的

值最小.

根据轴对称的定义可知，

ZN'OQ=ZM'OB=ZAOB=30°,

0M=MO=2,ON=ON'=5,

：•乙NOM=乙NOQ+乙MOB+乙40B=90°.

又根据对称，得

SNOQ+^QOP+^MOP=^NOQ+^QOP+^MOP

=SN.O/=：°M•ON'=Ix2x5=5,

SNOQ+SQOP+SM0P=5.

实战演练

L如图,NAOB=30。,点M,N分别是边OAQB上的定点，点P,Q分别是边OBQA上的动点，记NOPM=a,NOQN邛，当MP+PQ+Q

N的值最小时，关于a,p的数量关系正确的是（）.

A.P-a=60。B.p+a=210。

C.P-2a=30°D.0+2a=240°

M

oB

PN

2.如图，已知.^AOB=24°,OP平分/40B点C在OA上点D在OB上点E在OP上.当CP+CD+DE取最小值时，此时."CD的

度数为().

A.36°B.480C.60°D.72°

3.如图,已知在Rt△4BC中,NC=90°,AC=BC=10,,点D,E在线段BC上，且CD=2,BE=5,,点P,Q分别是线段AC,AB上的动点,

则四边形PQED周长的最小值为多少？

“两定点一定长”模型

如图，已知LII12,A,B两定点在定直线I1和口的两侧，在定直线11和卜上分别找M,N两点,使得MNLli,且AM+MN+N

A•

B的值最小.v

模型证明

作法：把点A向下平移至点Ai,使.AAt=MN,连接AiB交卜于点N,作MN±12交h于点M,连接AM,此时点M,N为所求.

证明：依题意.44=MN且AAiIIMN,则四边形AAXNM是平行四边形.

.,.AM=AjN,

即.AM+MN+NB=AtN+MN+NB

>AtB+MN.

当A1,N,B三点共线时.

(AM+MN+=AtB+MN.

经典例题

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0.1),点B(4,2),PQ是x轴上的一条动线段,且PQ=1.当AP+PQ+QB取最小值时，点Q

坐标为一

完全解答

答：(2,0).

解：如图，把点A向右平移1个单位长度得到点E(1,1)，作点E关于x轴的对称点F(l,-1),连接BF,BF与x轴的交点即为点Q.此时A

P+PQ+QB的值最小.

设直线BF的解析式为y=kx+b，则有：匚；'解得｛J

，直线BF的解析式为y=x-2.

令y=0,得到x=2.

•••Q点坐标为(2,0).

实战演练

I.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为A(0,1),B(0,2),线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动,且CD=1,

连接AC,BD.则AC+BD的最小值为一.

2.如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F为对角线BD上的动点，且EF=VX连接CE,CF,求△CEF周长的最小值.

3.已知正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M是AO上一点

⑴如图①,AQ1DM于点N,交BO于点Q.

①求证:(OM=OQ;

②若DQ=DC,求证：QN+NM=与MD=

⑵如图②，点M是AO的中点，线段EF(点E在点F的左边)在直线BD上运动，连接AF,ME若AB=4,EF=2直接写出AF+ME的最小

值.

田①

国②

4.如图①，直线a,b表示一条河的两岸，且a||b,,现在要在这条河上建一座桥，使村庄A经桥过河到村庄B桥的长度等于

河宽且桥与河岸垂直.现在由小明、小红两位同学在图②中设计两种建桥方案：

小明:作AD_La,交a于点D,交b于点C.在CD处建桥.路径是A-C-D-B.

小红:把CD平移至BE,连接AE,交b于点G,作GF_La于点F.在FG处建桥.路径是A-G-F-B.

⑴在图②中，请问：小明、小红谁设计的路径长度较短？请用平移等知识说明理由.

⑵假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥，到达后立即返回，

在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直，船在静水每小时行驶14千米，水流每小时2千米.第二天早上