2024年中考数学二轮题型突破阅读理解及定义型问题 （训练）（学生版）

题型十阅读理解及定义型问题（专题训练）

1.（2023・湖南岳阳•统考中考真题）若一个点的坐标满足化2人），我们将这样的点定义为“倍

值点”.若关于尤的二次函数y=[+l）/+（/+2）x+s（s,/为常数，/w-1）总有两个不同

的倍值点，则s的取值范围是（）

A.s<-lB.svOC.OvsvlD.-l<5<0

2.（2021•甘肃武威市•中考真题）对于任意的有理数。力,如果满足0+2那

232+3

么我们称这一对数a力为“相随数对"，记为（a,b）.若（加,〃）是“相随数对”，则

3m+2[3m+（2n-l）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

z、[a（a<b）

3.（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：min{a,b}=若函数

[b（a>b）

j=min（x+l,-x2+2x+3）,则该函数的最大值为（）

A.0B.2C.3D.4

4.（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数^=办+6的特征数为[凡可，

3

若一次函数y=-2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=—-的图象交于

x

A,B两点，且点A,B关于原点对称，则一次函数y=-2》+加的特征数是（）

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,-3]

ua—b

5.（2021•广西来宾市•中考真题）定义一种运算：a*b=「则不等式

b,a<b

（2x+l）*（2—x）>3的解集是（）

A.x>l或B.-l<x<-C,x>l或x<-lD.x>-或x<—1

333

6.（2021•湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数加，n,P,巩有

[加,0]※'川=加〃+的，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：

[2,3]X[4,5]=2x5+3x4=22.若关于x的方程[x2+l,x]^[5-2k,k]=Q有两个实数

根，则k的取值范围是（）

1

C,左w*且ZNOD.k>-

A.k<—且左NOB.ks—

4444

7.(山东省荷泽市2021年中考数学真题)定义：［见仇c］为二次函数y=ax2+bx+c(a^O)

的特征数，下面给出特征数为［加,1-加,2-间的二次函数的一些结论：①当加=1时，函

数图象的对称轴是J轴；②当加=2时，函数图象过原点；③当加＞0时，函数有最小值；

④如果加＜0,当x＞!■时，V随x的增大而减小，其中所有正确结论的序号是

8.(2023・湖北随州・统考中考真题)某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”

两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”.现

有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2

的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100

个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次.问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开

关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态.

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏.

9.(广西贵港市2021年中考数学真题)我们规定：若：=(占，%)］=(%,%),贝U

4方=再%+%％，例如。=(1,3),6=(2,4)，则"6=1x2+3x4=2+12=14•已知

a-(x+l,x-l),b-(x-3,4)'且一2x3,则4小的最大值是--------

10.(2023•重庆•统考中考真题)如果一个四位自然数丽的各数位上的数字互不相等且均

不为0.满足％-豆=豆，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4129,;41-12=29,

二4129是“递减数”;又如：四位数5324,;53-32=21/24,二5324不是“递减数”.若一

个“递减数”为,，则这个数为;若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数

正与后三个数字组成的三位数商的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是

2

11.（2023・四川乐山・统考中考真题）定义：若x,y满足V=4y+t,y2=4x+/且（/为

常数），则称点M（x,y）为“和谐点”.

（1）若尸（3,⑼是“和谐点”，则m=.

（2）若双曲线、=&（-3。＜-1）存在“和谐点”，则左的取值范围为.

X

12.（2021•湖北中考真题）对于任意实数a、b,定义一种运算：a®b=a2+b2-ab,

若x0（x-1）=3,则x的值为

13.（2023・重庆•统考中考真题）对于一个四位自然数若它的千位数字比个位数字多6,

百位数字比十位数字多2,则称M为“天真数”.如：四位数7311,,.•7-1=6,3-1=2,

二731L是“天真数”;四位数8421,•••8-1^6,二8421不是“天真数”，则最小的“天真数”

为;一个“天真数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,

记P（M）=3（4+6）+c+d,。（“）=”5,若3鬲能被10整除，则满足条件的M的最大

值为.

14.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形.根据

规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角

线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0,1）,

（0,-1）,P是二次函数y=Lx?的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y=-l于

点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其中正确的是.（填序号）

15.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征

值”.若等腰△ABC中，4A=80°,则它的特征值k=.

16.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M

的内部，或在图形河上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形"的“梦之点”.

3

加

4-

3-

012

-2

-3

-4

图①图②

⑴如图①，矩形/BCD的顶点坐标分别是7分),5(-1-1),C(3,T),0(3,2),在点

跖(1,1),监(2,2),M(3,3)中，是矩形48co“梦之点”的是;

⑵点G(2,2)是反比例函数乂=勺图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之

X

点”〃的坐标是,直线GH的解析式是%=.当%〉力时，x的取

值范围是.

1a

(3)如图②，已知点4,2是抛物线>=-5/+x+g上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，

连接NC,AB,BC,判断AABC的形状，并说明理由.

17.阅读下面的材料：

如果函数y=f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意％,X2,

(1)若X1<X2,都有f(X1)<f(x2),则称f(X)是增函数；

(2)若XSX2,都有f(X->f(x2),则称f(x)是减函数.

例题：证明函数f(x)=—(x>0)是减函数.

证明:设0<Xi<x2）

f（Xi）-f（X2）=—

£

,/0<Xi<x2,x2-Xi>0,XiX2>0.

4

6(%一2)

—->0.即f(xi)-f(x2)>0.

再％2

.*.f(xi)>f(X2),.,.函数f(x)=—(X>O)是减函数.

X

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数f(x)=-y+X(X<O),

X

117

f(T)=7Z^V+(-1)=。，f(-2)=-(-2)

(1)计算：f(-3)=,f(-4)=;

⑵猜想：函数f(x)==+x(x<0)是__________函数(填“增”或“减”)

x

(3)请仿照例题证明你的猜想.

18.(2023・湖南张家界•统考中考真题)阅读下面材料：

将边长分别为a+4b,a+28,a+3四的正方形面积分别记为，，邑，M,%

贝！]-S]=(a+—a~

=[(a+四)+a]{(a+

=(2a+4b)-4b

=b+2a&

例如：当。=1,6=3时，S2-St=3+2A/3

根据以上材料解答下列问题：

(1)当。=1,6=3时，星一邑=,邑一邑=；

⑵当。=1,6=3时，把边长为〃+〃新的正方形面积记作5角，其中〃是正整数，从(1)

5

中的计算结果，你能猜出s”+「s,等于多少吗？并证明你的猜想;

⑶当"1,，=3时，令「邑一九-邑，，3='-品，…，且

T=tx+t2+t3+---+t50,求T的值.

19.(2022•四川凉山)阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax?+bx+c=0(aW0)的两个根为4,x2,则XI+X2=-2,

a

c

X1X=-

2a

材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求n？n+m/的值.

解：•.•一元二次方程x2-x-l=0的两个实数根分别为m,n,

/.m+n=1,mn=-1,

贝！Jm2n+mn2=mn(m+n)=-lxl=-l

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

⑴材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为Xi,X2,贝1Jxi+X2=；X1X2

⑵类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-l=0的两根分别为m、n,求己+竺的值.

mn

⑶思维拓展：已知实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且sXt,求工-1的值.

st

20.若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为嬴，易知

mn=10m+n；同理一个三位数、四位数等均可以用此记法，如a6c=100a+10b+c.

6

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若2x+%3=45,贝！Jx=---------；

②若7y-y8=26,贝！Jy=---------；

③若丽+丽=用，贝1h=----------；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数嬴的个位数字与十位数字，可得到一个新数嬴，则嬴+嬴一

定能被----------整除，mn~nm-■定能被----------整除，mn'nm-mn一■定能被

__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极

大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要

求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大

的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325,

则用532-235=297）,再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后

一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为;

②设任选的三位数为次（不妨设a>b>c）,试说明其均可产生该黑洞数.

21.（2023•山西・统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅

读并完成相应任务.

瓦里尼翁平行四边形

7

我们知道，如图1,在四边形/BCD中，点瓦分别是边NdBC,CD,D4的中点,

顺次连接E,RG,〃，得到的四边形是平行四边形.

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFG8被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

（幺”尸ie/l654-1722）是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关

系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接NC,分别交E〃,FG于点尸,0,过点。作DM//C于点交由于

点N.

1•MG分别为4D,C£）的中点，.18G〃/C,HG=』/C.（依据1）

2

.-：DG=GC,：.DN=NM=-DM.

NMGC2

•.•四边形斯GH是瓦里尼翁平行四边形，.•.HE〃GF,即即〃GQ.

HG//AC,即//G〃尸。，

.•.四边形形0G是平行四边形.（依据2）SaHPQG=HG-MN=^HGDM.

8

SAADC=^ACDM=HG-DM,...SaHPQG=^S^ADC.同理，…

任务：

(1)填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

(2)请用刻度尺「三角板等工具，画一个四边形/BCD及它的瓦里尼翁平行四边形跖，

使得四边形EFG/Z为矩形；(要求同时画出四边形/3CD的对角线)

(3)在图1中，分别连接得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形跖的周长与对角

线/C,长度的关系，并证明你的结论.

22.在平面直角坐标系X0V中，的半径为1,对于点A和线段5C,给出如下定义：

若将线段5c绕点A旋转可以得到。。的弦"C分别是民C的对应点)，则称线

段是。。的以点A为中心的“关联线段”.

9

⑴如图，点4综G^C，耳，G的横、纵坐标都是整数•在线段4G，鸟GWG中,

。。的以点A为中心的“关联线段”是

(2)A/BC是边长为1的等边三角形，点/(0/),其中twO.若5c是。。的以点A为

中心的“关联线段”，求才的值;

(3)在4/台。中，AB=1,AC=2.若是。。的以点A为中心的“关联线段”，直接

写出0A的最小值和最大值，以及相应的长.

23.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值

点”.例如，点(1/)是函数y=+g的图象的“等值点”.

⑴分别判断函数y=x+2,y=x2—%的图象上是否存在“等直点”？如果存在，求出“等

值点”的坐标；如果不存在，说明理由;

10

3

(2)设函数y=—(x>O\y=-x+b的图象的“等值点”分别为点A,B,过点B作1x

x

轴，垂足为C.当△ZBC的面积为3时，求b的值;

⑶若函数y=一-2(%zm)的图象记为名,将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2.当

%,%两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.

24.定义:在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满是

a+cy=2?，那么称点T是点A,B的融合点.

x=----

3

-1+48+(-2)

例如：A(-1,8),B(4,-2),当点T(x.y)满是x=—y-=1,y==2时.则点T

3

11

(1,2)是点A,B的融合点。

(1)已知点A(-1.5),B(7,7).C(2,4)。请说明其中一个点是另外两个点的融合

点.

(2)如图，点D(3,0)

E的融合点.

①试确定y与x的关系式.

②若直线ET交x轴于点H,当aDTH为直角三角形口寸，求点E的坐标.

25.如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABe的边长为4,边OA,0c分别在x轴，y轴的正半

轴上，把正方形。ABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线丫=

—(x—2)2+m+2的顶点.

(1)当m=0时，求该抛物线下放(包括边界)的好点个数.

(2)当m=3时，求该抛物线上的好点坐标.

(3)若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点，求m的

取值范围.

26.如图，平面内的两条直线/幻点8在直线4上，点C、0在直线4上，过B

两点分别作直线4的垂线，垂足分别为4,耳，我们把线段4瓦叫做线段功在直线4上的

T

正投影，其长度可记作儿俎，必或m；特别地线段AC在直线12上的正投影就是线段4c.

12

请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图1,在锐角中，AB=5fQc")=3,则Gej产.

(2)如图2,在RtAABC中,44cB=90。，@“=4,4…==9,求—BC的面积;

(3)如图3,在钝角中，4=60°,点。在42边上，48=90。，々皿，o=2

27.(2022•山西•中考真题)阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程#+笈+c=0(an0)的根就是相应的二次函数

13

y=a/+6x+c（aw0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有

三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应，一元二次方程的根也有三种情

况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交

点个数确定一元二次方程根的情况

b4ac-b2

下面根据抛物线的顶点坐标（2a,4〃）和一元二次方程根的判别式△=/-4ac,分

别分。>°和。<0两种情况进行分析：

（1）时，抛物线开口向上.

4ac-b1八

-------<0

①当A=〃9-4ac>0时，有4ac-Z?r<0...。>0,，顶点纵坐标4a

，顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）.

4ac-b2八

77-------二0

②当△=/>--4ac=0时，有4"一6=0...a>0；,顶点纵坐标4a

顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）.

二一元二次方程4++c=0（a/0）有两个相等的实数根.

③当△=b2—4ac=0时

（2）。<0时，抛物线开口向下.

⑴上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）;

A.数形结合

B.统计思想

14

C.分类讨论.

D.转化思想

⑵请参照小论文中当“>0时①②的分析过程，写出③中当。>（）,△<0时，一元二次方程根

的情况的分析过程，并画出相应的示意图；

⑶实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可

用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为

28.（2022•浙江嘉兴）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据

及函数图象如下：

X(h)1112131415161718

y(cm)18913710380101133202260

（数据来自某海洋研究所）

15

Jkyicm')

350

320

290

260

230

200

170

110y

1012141618202224

⑴数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象.

②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？

⑵数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论.

⑶数学应用：根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口.请问当天

什么时间段适合货轮进出此港口？

29.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四

边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点0,AC1BD.

试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)解决问题：如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG

16

和正方形ABDE,连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

30.（2023・四川凉山,统考中考真题）阅读理解题：

阅读材料：

如图1,四边形/3CD是矩形，是等腰直角三角形，记/B4E为a、2FAD为。,

若tana=J,贝!Jtan£=g.

17

证明：设=左，•/tan6zAB=2k,

2

易证/\AEB^XEFC(AAS)

/.EC=2k,CF=k,

FD=k,AD=3k

nDFk\

：.tanB=---二——二一，

AD3k3

若a+/5=45。时，当tana=g,则tan/?=；.

同理：若a+/?=45°时，当tana=；,贝lJtan/?=g.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线>=3尤-9与反比例函数y=3(x>0)的图象交于点A,与x轴交于点反将直

X

线AB绕点A顺时针旋转45。后的直线与y轴交于点E,过点A作NW1x轴于点M,过点A

作/NLy轴于点N,已知0/=5.

(1)求反比例函数的解析式;

18

（2）直接写出tanABAMAmANAE的值；

（3）求直线/£的解析式.

31.（2023•浙江台州•统考中考真题）【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直

放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置.

［实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水

后每隔lOmin观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间〃min010203040

水面高度A/cm（观察值）302928.12725.8

任务1分别计算表中每隔lOmin水面高度观察值的变化量.

［建立模型】

小组讨论发现：）=0,30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可

以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.

数解析式.

［反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优

19

化函数解析式，减少偏差.通过查阅资料后知道：/为表中数据时，根据解析式求出所对应

的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w;1V越小，偏差越小.

任务3(1)计算任务2