圆锥曲线的方程（十）讲义-2025届高三数学一轮复习

人教A版数学一圆锥曲线的方程专题十

知识点一求椭圆的离心率或离心率的取值范围，椭圆中的直线过定点问题

典例1、已知椭圆C：W+m=l(a>b>0)过点(2,0),且离心率是胃.

ab2

(1)求椭圆C的方程和短轴长；

(2)已知点*1,0),直线/过点(0,3)且与椭圆C有两个不同的交点AB,问：是否存在直线/,使得.PAB

是以点尸为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

22

随堂练习：已知椭圆c：*+[=1(a>8>0)的左、右焦点分别为耳，F,长轴的长度为4,离

ab2

心率为.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设尸(1,0),过点P作两条直线4,k,直线4与椭圆C交于A、8两点，直线4与椭圆C交于。、E两

点，A3的中点为M,OE的中点为N；若直线4与直线4的斜率之积为:，判断直线脑V是否过定

点.若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由.

典例2、如图，已知椭圆C：会+y2=l(q＞l)的左焦点为尸，直线，=丘(左＞0)与椭圆C交于A,8两点,

且E4•q=0时，k=—.

3

(1)求。的值;

(2)设线段AF,9的延长线分别交椭圆C于，E两点，当人变化时，直线OE是否过定点？若过

定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

22

随堂练习：已知椭圆。：3+?=1(。＞0)的焦点在X轴上，且经过点E(2,0),左顶点为〃右焦点为少

(1)求椭圆。的离心率和』纪尸的面积；

(2)已知直线丫=履+1与椭圆。交于N,6两点.过点8作直线＞=4的垂线，垂足为G.判断直线AG

是否与F轴交于定点？请说明理由.

22

典例3、已知椭圆C*+方=l（a＞10）的左焦点为耳，过原点。的直线与椭圆C交于尸，。两点，若

归耳|=3|0周，且COSNPF；Q=T.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）椭圆C的上顶点为。（0,2）,不过。的直线/与椭圆C交于A,8两点，线段AB的中点为M,若

ZAMD=2ZABD,试问直线/是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明

理由.

22

随堂练习：已知椭圆一号+方=1（。＞。＞0）的左、右焦点分别为

（1）以心为圆心的圆经过椭圆的左焦点片和上顶点B,求椭圆r的离心率；

（2）已知。=5,6=4,设点尸是椭圆「上一点，且位于X轴的上方，若片乙是等腰三角形，求点尸的

坐标；

（3）已知。=2/=0，过点歹2且倾斜角为5的直线与椭圆r在X轴上方的交点记作A,若动直线/也过

点歹2且与椭圆「交于M、N两点（均不同于A）,是否存在定直线：x=%,使得动直线/与/。的交

点C满足直线4V的斜率总是成等差数列？若存在，求常数与的值；若不存在，请说明理

由.

知识点二抛物线的焦半径公式，根据抛物线上的点求标准方程，抛物线中的参数范围问题，抛物线中的

定值问题

典例4、已知抛物线。：/=2力(0>0)的焦点为修过点6且垂直于x轴的直线与。交于8两点，三

角形AOB(点。为坐标原点)的面积为2.

(1)求抛物线。的方程；

(2)设不经过原点。的直线/与抛物线交于P,0两点，设直线。。的倾斜角分别为。和£,证明：

当。+尸=£时，直线/恒过定点.

4

随堂练习：已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为歹，A为抛物线上一点，。为坐标原点，AO/弘的外

接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为6万.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点8(T0),设不垂直于x轴的直线/与抛物线C交于不同的两点M,N,若ZMBO=/NBO,

证明直线/过定点并写出定点坐标.

典例5、设抛物线。：x2=2py(p>0)的焦点为户，抛物线。上一点/的横坐标为不同>0),过点/

作抛物线。的切线4,与x轴交于点D,与y轴交于点E,与直线1,y=日交于点M.当因q=2时,

ZAFD=60°.

(1)求抛物线。的方程；

(2)若8为y轴左侧抛物线。上一点，过8作抛物线。的切线6,与直线4交于点R与直线,交于

点儿求PMN面积的最小值，并求取到最小值时看的值.

随堂练习：已知抛物线C：y2=2px(Q>0)的焦点为人，A,8是该抛物线上不重合的两个动点，。为坐标

3

原点，当月点的横坐标为4时，cosZOFA^--.

(1)求抛物线。的方程；

(2)以"为直径的圆经过点尸。,2),点力，6都不与点尸重合，求1M+|明的最小直

典例6、如图，过抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点户的直线4交抛物线于第一象限的点。(2,%),且少=3,

过点P(a,0)(a>0)(不同于焦点分)的直线4与抛物线£交于4,B,过/作抛物线的切线交y轴

于四过刀作M尸的平行线交y轴于4

(1)求抛物线方程及直线4的斜率；

(2)记耳为AM,3N与y轴围成三角形的面积，是否存在实数4使5皿=2岳，若存在，求出实数力的

值，若不存在，请说明理由.

随堂练习：如图，已知点尸(2,2)是焦点为尸的抛物线。:丁=2。42>0)上一点，A,B是抛物线C上异

于尸的两点，且直线以，网的倾斜角互补，若直线的斜率为左化>1).

(1)证明：直线AB的斜率为定值；

(2)求焦点P到直线A3的距离d(用上表示)；

(3)在△ABF'中，记NE4S=a,ZFBA=/3,求sina-sin尸的最大值.

人教A版数学一圆锥曲线的方程专题十答案

22

典例1、答案：（1）。+==1,2/.⑵存在，直线/：x=0.

42

解：（1）由题意知椭圆C：W+g=l（a>8>0）过点（2,0）,且离心率是正，

ab2

贝Ua=2,且£=c—>/2,b2—a2—c2—2,

a2

22

故椭圆c的方程为?+、=1,短轴长为劝=2a.

（2）假设存在直线/,使得小是以点尸为顶点的等腰三角形，

由于直线/过点（0,3）,当直线斜率不存在时,直线/为尤=0,

此时为椭圆的短轴上的两顶点，止匕时」^是以点尸为顶点的等腰三角形;

当直线/斜率存在时，设直线方程为？=依+3,

y=kx+3

联立f2,得（2二+I）f+12履+14=0,

—+—=1

142

当直线>=米+3与椭圆。有两个不同的交点A8时,

7

该方程A=（12幻2-4义14（2公+1）>0,整理得公〉“

,12k14

则n占+%=一京石，%尤2=

2k2+1

所以％+丫2=（h[+3）+（也+3）=汰（占+%）+6=2后[+],

设AS的中点为点〃则。（咛，当口），即。（-需二不三），则尸/〃4?,

222k+12k+1

6k

当-不「=1时，尸D斜率不存在，

2k+1

此时AB的斜率A为0,不满足公>：,故一岛

42F+1

3

由题意可知GX^PD=T,即Zx—2对1=_*

~2k2+l~X

171

解得上=—1或k=一5，由于廿>:，故左=-i或笈=一5不适合题意，

综合以上，存在直线/"=0,使得一E4B是以点尸为顶点的等腰三角形.

随堂练习：答案：（1）y+/=l；（2）/过定点，且定点坐标为（4,0）.

解：（1）由题意知2a=4,a=2,所以e=£=且，所以C=由/=/十。2可得方=1,

a2

所以椭圆C的方程为=+y2=l.

4

（2）由题意知的4，，2斜率必存在,

设4的斜率为片，，2的斜率为%2,股%，%），5（孙％）

y=ki

设4的方程为丁=匕（九-1）,联立％227肖THPJ（1+《kJ）Y_8k:1_!_4k]2_4=0,

L'=1

8M4——4

＞。恒成立，由韦达定理为+々=%%=--——-,

1+4勺2'121+4―

嵋

所以“=，…国-D=奇

1+4短

1

4k24/4一匕3k[-3k

同理可得%=

"49"'2彳/

—3k]

+

购92+41+4左23勺（1+44）+勺（9勺2+1）

44kj-4（1+4M卜4M（9父+4）一4（1+30

9婷+41+4蜡

_3k4k\

x---,----即----股-（无一4）

9匕2+44（1+3婷）

.♦./过定点,且定点坐标为（4,0）

（2）过定点，定点为1-：应，。］.

典例2、答案：（1）6

解：（1）设A®，%）,则3（-%-%）,由题意得焦点为歹

ULTULT

2

所以，FAFB=+da-1,%）•f-x0+J，—1,一%）=r；-y；+/一]

当X4.而=0时,有其+W-L

y=kx,

。222222

kaaka2

联立W+-L得",从而22+22=a—1.

k2a2+1k2a2+1ka+1ka+1

I。

将人争弋入，得4a2

=/-1,即/一2a2-3=0,

a?+3

所以4=3或/=_1（舍），故a=石.

（2）由（1）知，网一四,0）,椭圆C：—+y2=1.

3

设AD:尤=主业＞一夜，代入椭圆C：X2+3/=3,

%

消去X并整理得3+(^9-,2_20、+&)…=0,

%为

所以(3*+*+20/+2)/-205+应)%y—¥=0,

而x；+3y；=3,所以(5+2衣4y2―2后(/+四)%y_y；=0,

由韦达定理得％%=-WS；，所以"产不^?

同理BE：x=f+丁k0,即x=1-应，%=；"万,,

-%%5-2V2x0

GCMv+v_%：_%_4夜x。%_=_%______7。=1°%

所以小厂"用5+2后一^i^，£°5-2缶。5+2缶。25-隘

所以%+%—25—8焉_2亚x,,

yE-yD10%5'

25-8片

矶=涯2比=_____3_____=______1______=______1______=5・血=5左

DEXX

于是E~Dx「及葩+亚x072yE+yD/g2^2x0x0^

-------yE----------yD--------------------------------「

y0%%为yE-yD%%5

所以直线DE：y-%=X-XDY

令/0,得尤=为=

5yoy05yo5y0

将%=5+2之代入得x=-|夜,所以DE经过定点［-2，。］.

随堂练习：答案：（1）离心率为丰，DEF的面积为2+拒；（2）见解析.

解：（1）因为］+:=1（。＞0）经过点E（2,应），所以：+：=1（。＞0）,解得a=20.

所以椭圆°：=+==1,c=g=2,所以e=£=j=9.

84a2V22

因为20,0）,-2,0）,£（2,72）,所以％EF=120+2）X0=2+0.

（2）设4（石,幻,3（孙为），则G（%,4）,

则AG的方程为y-4=：U（x72）,

令尤=0,贝！J-=一一14一（何+3+4%一钠=何马+々一4爸①.

x2一%x2-石

H£=i

联立至十丁一，可得（1+2储卜2+4痴_6=0,

y=kx+1

因为丁=h+1过定点（0,1）,（0,1）在椭圆内，所以＞=履+1与椭圆恒有两个交点,

4k

X+X,=----------------T

,,A„1+2左2匚匚…，6k3（\

故A＞。，1£所以依/2=“〃2=；（.+.）.

UL十乙K乙

代入①,所得.1（*+'）+1_4__|芭+：45,

y———T

x2_%%2_%2

故直线AG是否与y轴交于定点］。，］

典例3、答案：（1）去。）直线/恒过定点，定点坐标为［。，-|）

解：（1）设椭圆C的右焦点为工，连接尸工，QF2

根据椭圆的对称性可知|。耳|=|相|,四边形尸火卫区为平行四边形.

又附|=3|Q耳所以附|=3|P阊

而忸团+「阊=2。，所以旧周=事，

在四边形尸耳Q&中，cosNPKQ=-g,所以侬/月产工=（：05（万一/?片。）=一＜：05/?耳。=；,

在△尸百鸟中，根据余弦定理得：怩囚2=陷「+归耳『―2附||尸闻.8$/耳尸耳

即（2c）2=（网］+Rj-2.网.4，化简得/=202.

I2J12J223

（2）因为椭圆C的上顶点为。（0,2）,所以6=2,所以储=62+°2=4+°2,

22

又由（1）知2c2=〃，解得"=8,所以椭圆C的标准方程为一+一=1.

84

在△ABD中，ZAMD=2ZABD,ZAMD=ZABD+ZBDM,

所以=从而|。叫=怛的，

又M为线段A3的中点，即忸叫=所以口叫=

因此ZAD3=90。，从而£>4。3=0,

根据题意可知直线/的斜率一定存在，设它的方程为广辰+机，A（XQJ,8（%，%），

y=kx+m

联立d消去y得（28+1卜？+4初氏+2病一8=0①，

I84

△=（4碗）2一4（21一8）（2产+1）>0,

根据韦达定理可得%+%=-含，为%=空一，

2K+12k+1

所以DA・£）5=（X1，X一2）=（1+%2）%%2+k（加一2）（%1+%2）+（加一2）2

=（1+〃）黔+皿一2）［-岩）+（加-2）2

所以（1+/）虻1+M吁2）［含J+（吁2）2=0,

9

整理得（加-2）（痴+2）=。，解得加=2或相=-§.又直线/不经过点（0,2）,所以m=2舍去,

于是直线/的方程为y=—恒过定点（0，-皆，

该点在椭圆C内，满足关于x的方程①有两个不相等的解，

所以直线〃恒过定点，定点坐标为-11.

随堂练习：答案：（1）|（2）答案见解析（3）存在，毛=4,理由见解析

解：（1）由题意得后寿=2c即。=2c,所以离心率e=%=］.

22

（2）由题意得椭圆「夫+为=1

ZJIO

①当|「耳|=|%|时,由对称性得尸（0,4）.

②当|叫=闺闾时，归耳|=|耳阊=6,故归阊=2°-冏|=4,设尸（x,y）,

由耳（TO）园TO）得上+3『；=36”：+：。.

（x-3）+y=16[x-6x+y=7

两式作差得无=葭代入椭圆方程，得了=迪（负舍），故尸

33

③当|%|=|耳阊时，根据椭圆对称性可知尸-天发.

（3）由题意得椭圆「：1+:=1,耳（T。）,8（1,O）,A[1,|[

y=k^x-1）

2

设直线/：,=左（％-1）,由1/得（必2+3）X-8/x+4/—12=0

--1=1

[43

8k°

x+x=-：——

1-74左2+3

则

4左2-12

1-4k2+3

33左（王一1）一怖k（x—

X一万刈一万2

^AM+^AN=~

X1—1其2—1王—

-[2k+（，i+元2）+2k+32k.4J28k2

+2k+3

4产+3-,止+3

------=21,

再%2一（再+%2）+14V-128产

0-----------0+1

4产+34V+3

%一；%（x（）T）一；3

3由21二整一一得—.

玉）T七一121-1）

典例4、答案：（1）y2=4x；（2）证明见解析.

解：（1）根据题意可得焦点尸（。，。），因此可得A（fM）,3（f,“）,

乙LL

所以5小。8=（22£=2,解之可得P=2,故可得抛物线的方程为：y2=4x.

（2）证明：根据题意，设尸（占，％）,。（三，%）,易知直线/的斜率存在，假设直线/的方程为丫=衣+”,

"V=KX+TYL

联立抛物线方程得，<2一/=>ky2-4y+4m=0,

[y=4x

4

由韦达定理可得，弘+%=7，%为=不，

kk

则/+工2=9+9=；[（%+%）2-2%%]=言一竿,占三=

444kK

4ky+y2kxx+根(玉+x)4

y%二16k0p+k°Q}2i22

%％2%%m%]X2石工2m

又因为%=tana,k=tm13,所以tana+tan/=百,tancr-tan,

OQmm

所以当a+”?时，tag所息|喘=之=1,解得%=4左+4,

m

所以直线/的方程即为：y=kx+4k+4^y-4=k(x+4),

即得直线/恒过定点（Y，4）.

随堂练习：答案：（1）>2=8X（2）证明见解析，恒过定点。,0）

解：（1）因为公。网的外接圆与抛物线的准线相切，

所以AQR4的外接圆的圆心到准线的距离等于半径，

因为外接圆的周长为6万，所以圆的半径为3,

又圆心在小的垂直平分线上，|。盟=£,4+与=芋=3,解得：P=4,

所以抛物线C的方程为y2=8x.

（2）设MV的方程为丫=履+%,〃（菁,乂），N（x2,y2）,

y2—

由｛1+（2kb-8）x+b2=0,A=64-32妨>0,则幼<2.

y—kx+b

所以西+尤2=-与不，卒2=:，

因为NMBO=NNBO,所以原户+即°，

即;：+?;：=0,化简得2gx2+（左+6）（%+々）+»=0,

所以2q+（八^+26=0,所以》=*

所以“V的方程为产左（了-1）,恒过定点（1，。）.

典例5、答案：（1）x2=4y（2）Smin=^,%=¥

解：⑴由题知小?，y高,所以切点A1右，

22

切线4方程为：>=土（》一番）+乎=土无一）,

P2Pp2P

令>=0=£>已,0}x=0nE[0,-/],所以〃为/£的中点，

2

因为根据焦半径公式得：|A尸|=%+<=*+£=|四,ZAFD=60°.

2Zp2

所以r>F_LAE,ZOFD=ZAFD=60°,

因为但。|=2,所以|。同=1,即p=2,所以抛物线。的方程为r=4y；

（2）设八刀，由⑴得4方程：y=*x-工①

<4J24

同理4方程y=②，联立①②二%=受产，所以力=个,

14乙T"

因为直线/的方程为：>=1,所以M4+彳/，N-+^,1,

I项2）2J

32

令V=nt,S=-^--\-----\-m(m>0),

。，322,3/+8疗-16（3疗一4）（疗+4）

S'=—"——+1=-------------------=----------仝-----

8m28m28m2

当0<m<RS单调递减，m>g,S单调递增，

.』­闾=竽，当且仅当，书=-§时取,此时寸述.

I）卜=一々'

所以PMN面积的最小值为竽，此时看的值为与=孚.

随堂练习：答案：（1）y2=4.x；(2)11.

解：⑴设4(4,%),因为cos/O/71=-|<0,所以4>mAF=4+§过点/作加4x轴于点〃

4-P

nDFo3

则叱=4一与，cosZDFA=—=-%,解得：p=2,所以抛物线方程为丁=4x.

2AA4+K$

2

（2）设直线由为了=叼+〃,A（xI,y1）,B（x2,y2）,

由方程X』冲+"与y2=以联立得：y2-4my-4n=0,

2

所以△=（-4/力y+16”>0,BPm+n>0,且%+%=4旭,y1y2=~^,

所以％,+x,=m（y+y）+2n^4m2+2n,x=—=n2,

12Xl216

因为以N8为直径的圆经过点尸（1,2）,所以R4±PB,即上4-尸8=（占-1,%-2）.（々-1,%-2）=0,

即王々一（西+丫2）+乂％—2（%+%）+5=0,所以“2_（4根2+2〃）_4〃_8力2+5=0,

所以（"-3）2=（2m+2）2,所以〃=2加+5或〃=一2力？+1,

当〃=-2机+1时，直线4?为》=冲+1-2加过点P,

此时与题干条件N,8都不与点P重合矛盾，不合题意，舍去；

当〃=2加+5时，直线N8为工=冲+2m+5,满足要求，所以七+W=4〃J+2”=4/+4根+10,

贝1]|4司+忸司=苞+9+2=4/+4m+12=4（m+（]+11,

所以当吁4时，|AF|+忸耳最小，且最小值为n.

典例6、答案：（1）y2=4x；2夜（2）存在；2=2

解：⑴由焦半径公式得：|西=3=2+5=>0=2,I./=4x:.y°=2近,

•.¥(1,0),・•.直线4的斜率为宜1=2收

2-1

(2)存在；4=2,理由如下：

设A(凡2。,切线A":制y-2/)=兀-5与抛物线联立得y2-4my+8mt-4t2=0,

由相切得A=0nm=乙得AM：O=%+*①，令]=()得：y=t9所以M(0/)

设过〃的直线为x=〃y+。，与抛物线联立得9-4〃y-4a=0,

由韦达定理力力=-4〃，得{「,一；

又丁L='，*e*BN:y+—=--{x②