2024年中考数学二次函数压轴题：阿氏圆模型（学生版+解析）

阿氏圆模型

一、知识导航

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等

于定值(不为1)的点的集合叫做圆.

如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k(k手1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.

下给出证明

法一：首先了解两个定理

(1)角平分线定理：如图，在AABC中，AD是NBAC的角平分线，.

ACDC

证明.日3=些S.ABDABXDEAB即空=变

,SACDCD'S,CDACxDFAC'AC~DC

(2)外角平分线定理：如图，在aABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则丝=阚

ACDC

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则4ACD丝ZkAED(SAS),CD=ED且AD

平分NBDE,则翅=丝，即丝

DEAEACDC

接下来开始证明步骤:

如图，PA:PB=k,作NAPB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，一=——=k,故M点为定

MBPB

点，即NAPB的角平分线交AB于定点；

NAPA

作NAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，—=—=k,故N点为定点，即NAPB

NBPB

外角平分线交直线AB于定点；

又NMPN=90°,定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.

法二：建系

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m,0),则B(m,0),设P(x,y),PA=kPB,

即：

+根)2+y2=左J(x-m)2+y2

(x+m)2+y2=k2(<x-mf+k2y2

(左2-l^x2+y2j-(lm+2k2rnjx+{k2-l^m2=0

2

2m+2km八

x9+y9----------------x+m?=0

k2-l

解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线.

除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：

PAMANA

U;——=------=------=k1.

PBMBNB

应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O.

(2)AOBP^AOPA,即竺="，变形为。P二必.。5.

OPOA

应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置.

OPOB4=k

~OA~~OPPB

应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值.

二、典例精析

1.如图，在AABC中，AB=4,AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，AACD^AABC.

AT)

解：若△ACDs/\ABC则有——=—即AC2=AB・AD

ABAC

•；AB=4,AC=2

3=%=1

故答案为1.

2.如图，点P是半径为2的上一动点，点A、B为。。外的定点，连接PA、PB,点B与圆心O的

距离为4.要使+的值最小，如何确定点P,并说明理由.

【思路分析】构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求.

【详解】连接OB,0P,在OB上截取OC^l,连接AC交。于点P',连接PC.

—=—=-,ZPOC=ZBOP

OBOP2根据阿氏圆可得OP°=OBOC即

POCBOP

PC11“OP-22।

：,L^=L^LPB=PC(JC=------=—=1

PB22OB4

PA+-PB=PA+PC>AC

2

当点A、P、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+gp8的

值最小.

2

3.如图，平面直甭坐标系中，A(4,0),B(0,3),点E在以原点O为圆心，2为半径的圆上运动，求AE+^BE

的最小值.

【思路分析】在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条

线段的长，即为最小值.

44

【详解】如图，在y轴上取一点M（O,g）,连接OE,EM,AM,贝“0E=2,OB=3,0M=-

.OEOM2

"''OB~~OE~3

又,:ZEOM=ZBOE

一EOMsBOE

:•普嘿总即EM*

：.AE+-BE=AE+EM>AM

3

当A、E、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长.

在凡AQW中，AM=VOM2+3OA2=

3

24710

•••当E为线段AM与；O的交点时，AE+-BE有最小值为.

33

39

4.如图，已知抛物线y=--x?+—x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,

44"

点E的坐标为(2,0),将线段OE绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为a(0°<tz<90°),连接3E'、

CE',求+的最小值.

【思路分析】由旋转可知£点的运动轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧,

在y轴上找一点，构造相似三甭形，再结合各点坐标求解即可.

3a

【详解】解：..,抛物线的解析式为丫=-1/+^x+3

B(4,0),C(0,3)

•••点E的坐标为(2,0)

二点£’的运动轨迹为以原点。为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧.

44

如图在y轴上取一点,连接5M,则OE'=2OC=3,OM=-

3

.E,MOM2

OC~~OE'~3

又,:ZE'OM=ZCOE

E,OMs一COE'

E'M27

=TPE'M=_CE'

CE,33

/.BE'+-CE'=BE'+E'M>BM

3

当5、E\M三点共线时，的值最小，最小值为BM的长.

BM=y/OM2+OB2=+42=

24\/10

・'・当上''为BM与圆弧的交点时，BE'+耳C?有最小值为--一,

三、中考真题演练

1.（2022•广东惠州•一模）如图1,抛物线丁=办2+法-4与x轴交于A、B两点，与丁轴交于点C,其中点A

的坐标为(—1,0),抛物线的对称轴是直线x=：.

2

E'B,求E'A+jE'B的最小值.

3.(2019・山东・中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两

点，抛物线y=x?+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

(1)求抛物线解析式及B点坐标；

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

(3)如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+^PA的

值最小，请求出这个最小值，并说明理由.

4.(2018•广西柳州•中考真题)如图，抛物线>=加+灰+。与x轴交于4(石，0),8两点(点8在点A的

左侧)，与y轴交于点C,且OB=3OA=6OC,NOAC的平分线AD交丁轴于点。，过点A且垂直于AD的

直线/交y轴于点E,点P是X轴下方抛物线上的一个动点，过点尸作尸产_Lx轴，垂足为E，交直线AD于

点、H.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点尸的横坐标为"Z,当FH=HP时,求"Z的值；

(3)当直线尸尸为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，为半径作：“，点。为।”上的一个动点，

求!AQ+EQ的最小值.

4

阿氏圆模型

一、知识导航

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等

于定值(不为1)的点的集合叫做圆.

如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k(k#l),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.

下给出证明

法一：首先了解两个定理

如图，在AABC中，AD是NBAC的角平分线，则丝=阚

(1)角平分线定理:

ACDC

ABD_BDSABxDEABABDB

证明：SABD——,二

S.ACDCDSACDACxDFACACDC

(2)外角平分线定理：如图，在4ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,^]—=—

ACDC

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACDgZkAED(SAS),CD=EDJLAD

,DBABABDB

平分NBDE,贝n4——=一，o——=——

DEAEACDC

接下来开始证明步骤:

如图，PA:PB=k,作NAPB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，一=—=k,故M点为定

MBPB

点，即NAPB的角平分线交AB于定点；

NAPA

作NAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，—=—=k,故N点为定点，即NAPB

NBPB

外角平分线交直线AB于定点；

又NMPN=90°,定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.

法二：建系

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m,0),则B(m,0),设P(x,y),PA=kPB,

即：

[k2-1)(冗2+j；2_(2m+2k2mjx+{k2—ijm2=0

2m+2k2m

x2+y2-x+m2=0

k2-1

解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线.

除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:

,八PAMANA]

-----=-----=-----=k.

PBMBNB

应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心0.

(2)AOBP^AOPA,即竺="，变形为。尸二必.在

OPOA

应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置.

⑶OP=OB=PA=k_

OAOPPB

应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值.

二、典例精析

1.如图，在aABC中，AB=4,AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，AACD^AABC.

c

BA

D

An

解：若aACDsaABC则有——=——AC2=ABAD

ABAC

VAB=4,AC=2

・.・AD=%=1

故答案为1.

2.如图，点P是半径为2的。。上一动点，点A、B为。。外的定点，连接PA、PB,点B与圆心O的

距离为4.要使+的值最小，如何确定点P,并说明理由.

【思路分析】构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求.

【详解】连接OB,0P,在0B上截取OC3，连接AC交。于点P',连接PC.

—=—=-,ZPOC=ZBOP

OBOP2根据阿氏圆可得OP°=OBOC即

POCBOP

PC11“OP-22।

：,L^=L^LPB=PC(JC=-----=—=1

PB22OB4

PA+-PB=PA+PC>AC

2

当点A、P、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+gp6的

值最小.

2

3.如图，平面直甭坐标系中，A(4,0),B(0,3),点E在以原点O为圆心,2为半径的圆上运动，求AE+^BE

的最小值.

【思路分析】在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条

线段的长，即为最小值.

44

【详解】如图，在y轴上取一点MIO3),连接OE,EM,AM,贝“OE=2,OB=3,OM=y

.OE0M2

OBOE3

又,:ZEOM=ZBOE

:.一EOMjBOE

，空=也=2,即EM=2BE

BEOE33

/.AE+-BE=AE+EM>AM

3

当A、E、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长.

在凡AQW中，AM=VOM2+OA2=

3

24710

•••当E为线段AM与;。的交点时，+有最小值为

33

39

4.如图，已知抛物线y=--X?+—x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,

44

点E的坐标为(2,0),将线段OE绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为a(0°Vtz<90°),连接3E'、

CE',求BE'+gc?的最小值.

y

【思路分析】由旋转可知£点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧,

在y轴上找一点，构造相似三甭形，再结合各点坐标求解即可.

3Q

【详解】解：..,抛物线的解析式为y=--x2+—x+3

44

3(4,0),C(0,3)

•.•点E的坐标为(2,0)

.••点的运动轨迹为以原点。为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧.

44

如图在y轴上取一点,连接OE'EMIM,则OE'=2,OC=3,OM=-

3

.E,MOM2

OC~~OE'~3

又,:ZE'OM=ZCOE

：.E'OM^COE'

E'M22

=YPE'M=_CE'

CE,33

/.BE'+-CE'=BE'+E'M>BM

3

当B、E\M三点共线时，的值最小，最小值为BM的长.

,/BM=y/OM2+OB2=J]]+42=

24J1O

•二当石''为BM与圆弧的交点时，有最小值为—--

三、中考真题演练

1.(2022•广东惠州•一模)如图1,抛物线>=依2+次-4与x轴交于AI两点，与y轴交于点C,其中点A

的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴是直线％=

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是直线3c下方的抛物线上一个动点，是否存在点?使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出

点P的坐标若不存在，请说明理由；

(3)如图2,过点8作3尸，3c交抛物线的对称轴于点以点C为圆心，2为半径作(C,点Q为C上的

一个动点，求立8。+尸。的最小值.

4

【答案】⑴y=/_3I

⑵尸(1,6)或(3,4)

(3)收

【分析】(1)根据点A的坐标为抛物线的对称轴是直线x=].待定系数法求二次函数解析式即可,

(2)先求得直线解析式，设尸何,苏-3机-4),则。(〃Z,〃L4),过点尸作PQ轴交直线3c于点Q,根

据S四边礴^囱:^入.+^^户等于知建立方程，解一元二次方程即可求得加的值，然后求得尸的坐标，

(3)在CB上取”=①，过点E作EGLOC,构造CQEsCBQ,则当£Q,E三点共线时，取得最小

2

值，最小值为小，勾股定理解直角三形即可.

【详解】(1)解：：抛物线>=加+灰一4与x轴交于AB两点，与丁轴交于点C,点A的坐标为(TO),

3

抛物线的对称轴是直线x=1,

C(OT),

__^_3

<2〃2,

a-b-4=Q

[a=l

解得5V

[b=-3

抛物线解析式为:y=x2-3x-4,

(2)当y=0,即》2-3工-4=0,

解得再=T，W=4,

.•.5(4,0),

C(OT),

设直线3C解析式为〉=云+以

J-4=6

[4k+b=0'

伏=1

解得八”，

直线BC解析式为'=彳一4,

设P(m,m2-3m-4),过点p作PQ轴交直线BC于点Q,

S四边形ABPC=SABC+SBCP

=gx（4+l）x4+；（加一4-%2+3m+4）x4=-2根2+8m+10,

四边形A8PC的面积为16,

•'­-2m2+8机+10=16,

解得叫=1,%=3,

・••尸(1,6)或(3,4),

(3)如图，过点8作跖，3c交抛物线的对称轴于点以点C为圆心，2为半径作CC,

S（4,0）,C（0,4）,

:.OB=4,OC=4,

;.BC=4y[2,NOBC=45。,

BFLBC,

NFBO=45。,

在CB上取CE=，^,过点E作EGLOC,交，轴于点G,交抛物线对称轴于点H,则

2

CG=EG=-xsin45°=-,£H=f-1=l

2222

:.FH=6,

CQ=2,CE=^~,BC=4s/2,

显

.CE_垃CQ_2_应,ZQCE=NBCQ,

:..CQEs’CBQ,

,£e=CC=2/2

‘屈一百一彳

:.QE-BQ,

:.^BQ+FQ>FE,

当三点共线时，取得最小值，最小值为小,

EGLFG

EF=\)HE2+HF2=Vl2+62=历•

则贬BQ+FQ的最小值为扃.

4

【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质

与判定是解题的关键.

2.(16-17九年级下.江苏盐城.阶段练习)如图1,抛物线广加+(a+3)x+3("0)与x轴交于点A(4,0),

与y轴交于点B,在无轴上有一动点E(租,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物

线于点P,过点P作PMLAB于点M.

(1)求a的值和直线AB的函数表达式：

(2)设APA/N的周长为G，AAEN的周长为C?,若才=§求根的值.

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为a(0°<«<90°),连接EA、

2

E'B,求+的最小值.

33

【答案】⑴斫-：.直线A8解析式为产-\x+3；

(2)2

(3)亚

【分析】(1)令尸。，求出抛物线与无轴交点，列出方程即可求出。，根据待定系数法可以确定直线A8解

析式；

(2)由△PNMs△⑷V£,推出？=g,列出方程即可解决问题；

AN5

42

(3)在y轴上取一点M使得。财=工，构造相似三角形，可以证明AM僦是EA+QEB的最小值.

【详解】(1)令y=0,贝！|(〃+3)x+3=0,

(x+1)("+3)=0,

・_1¥3

•»X—1-,

a

•.•抛物线产依2+(。+3)x+3(g0)与1轴交于点A(4,0),

•••-j

a

.3

・・a=--.

4

VA(4,0),B(0,3),

[b=3

设直线AB解析式为广质+b,贝”北+6=0，

fk7__3

解得，4,

b=3

3

・・・直线A3解析式为产z%+3；

(2)如图1,

图1

9：PM±AB,PELOA,

：./PMN=/AEN,

/PNM=/ANE,

：.APNM^AANE,

・5

.PN_6

・・菽—二，

■:NE//OB,

.AN_AE

••瓦一乐，

AN=|(4-/n),

3o

2

V抛物线解析式为y=-^x+^x+3f

44

3933

PN=——m2+—m+3-(——m+3)=——m2+3m,

4444

：

——3m2+3m(

・・.^_______=g,

|(4-m)5

解得根=2或4,

经检验x=4是分式方程的增根，

m=2；

4

(3)如图2,在y轴上取一点心使得连接AM,在AM'上取一点E使得OE=OE.

A

OEA\X

图2

4

VOEr=2,OM'・OB=-x3=4,

3

I.OE，2=OM^OB,

.OEf_OB

**OMr~OE''

/BOE'=NM'OE',

.ME'_OE'_2

"BE'~OB-3,

2

：.M'E'=-BE',

3

22

AE'+-BE'=AE'+E'M'=AM',此时最小(两点间线段最短，A、M\£共线时)，

最小值=AM'=业+守=率.

【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，

2

解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM就是+的最小值.

3.(2019•山东・中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两

点，抛物线y=x?+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

(1)求抛物线解析式及B点坐标；

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

(3)如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+gPA的

值最小，请求出这个最小值，并说明理由.

【答案】(1)y=x2-6x+5,B(5,0)；(2)当M(3,-4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于

18；(3)PC+JPA的最小值为屈，理由详见解析.

【分析】(1)由直线y=-5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标.

(2)从x轴把四边形AMBC分成AABC与AABM；由点A、B、C坐标求AABC面积；设点M横坐标为m,

过点M作x轴的垂线段MH,则能用m表示MH的长，进而求AABM的面积，得到AABM面积与m的二

次函数关系式，且对应的a值小于0,配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC

的面积最大值.

(3)作点D坐标为(4,0),可得BD=1,进而有些=空=1,再加上公共角NPBD=NABP,根据两

BPAB2

边对应成比例且夹角相等可证APeDs^ABP,得磔等于相似比;，进而得PD=；AP,所以当C、P、D

PA22

在同一直线上时，PC+/PA=PC+PD=CD最小.用两点间距离公式即求得CD的长.

【详解】解：(1)直线y=-5x+5,x=0时，y=5

AC(0,5)

y=-5x+5=0时，解得：x=l

AA(1,0)

*.*抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点

Jl+Z?+c=0b=-6

解得:

[o+O+c=5c=5

・••抛物线解析式为y=x2-6x+5

当y=x2-6x+5=0时，解得：xi=l,X2=5

图1

VA(1,0),B(5,0),C(0,5)

.'.AB=5-1=4,OC=5

SAABC=；AB«O