海洋石油污染清理的优化问题

海洋石油污染清理的优化问题摘要:本文对于清理海洋石油污染所需雇佣清洁队的数目及总支出的最优解问题，应用高等数学里线性规划的知识，建立数学模型，对于问题一我们提出了合理的假设,对其建立了数学模型并运用了lingo数学软件包对其进行了求解.对于问题二与问题三,我们首先对题中所给的数据进行了规范化的数学分析，并根据分析结果对清洁队每周清洁海岸线长度及罚金数额的灵敏性进行了分析，分别得到了最优的额外雇佣清洁队的数目关于清洁队每周清洁海岸线长度的灵敏性、公司的总支出关于清洁队每周清洁海岸线长度的灵敏性，公司用来清理漏油的总天数关于罚金数额的灵敏性、公司的总支出关于罚金数额的灵敏性结果，均与假设分析及事实相符。对于问题四，我们在问题三公司用来清理漏油的总天数关于罚金数额的灵敏性的基础上，重新构思了有关判定罚金数额是否合理的标准的假设模型，并进行了分析，得出了合理的分析结果。本文最大的特色是对原问题作出了合理假设，将实际问题转化为数学问题，并用适当的方法建立了相应的数学模型，并尽量避开不可预知因素对我们建立数学模型的影响，通过对对实际问题的优化，由简易到复杂，层层递进地考虑所求的最优解问题，但始终没有离开实际数据，时时回归实际数据以验证模型，得出与实际相吻合的结论。一．问题的提出一处石油泄漏污染了200英里的太平洋海岸线，所属石油公司被责令在14天内将其清除，逾期则要被处以10000美元/天的罚款。当地的清洁队每周可以清洁5英里的海岸线，耗资500美元/天。额外雇佣清洁队则要付每支清洁队18000美元的费用和500美元/天的清洁费用。（1）为使公司的总支出费用最低，应该额外雇佣多少支清洁队？并求出清洁费用。（2）讨论清洁队每周清洁海岸线长度的灵敏性。分别考虑最优的额外雇用清洁队的数目和公司的总支出。（3）讨论罚金数额的灵敏性。分别考虑公司用来清理漏油的总天数和公司的总支出。（4）石油公司认为罚金过高而提起上诉。假设处以罚金的唯一目的是为了促使石油公司及时清理泄漏的石油，那么罚金的数额是否过高？二.问题的假设1.当地清洁队和雇佣清洁队同时开工同时完成.2.石油污染的海域在清理过程中不会扩散.3.当地清洁队只有一只.4.所用天数为整数。5泄漏的石油污染的太平洋海岸线为200英里。6超过规定的时间(14天)清理完泄漏的石油处以10000美元/天的罚款。7每支清洁队每周可以清洁5英里的海岸线。8每支清洁队每天的工资为500美元。9额外雇佣的清洁队每支需付款18000美元。三.符号说明d清洁队一周清理长度(单位:英里)m逾期每天罚款数(单位:美元)P公司所要支付的总费用单位(单位:美元)s所需雇佣额外清洁队数（单位：支）t清洁队工作的天数（单位：天）四问题分析这个问题的目标是使总的支出费用最低，总的支出费用与清理完石油所需的天数和额外雇佣的清洁队数量有关。而且，所属石油公司被责令在14天内将石油清除，逾期则要被处以10000美元/天的罚款。因此，应该考虑在14天以内和超过14天将石油清理完这两种情况下的总支出费用。五建立模型模型一：P=500t+18000s+500st(t<=14)5t(s+1)/7=>200模型二：P=500t+18000s+500st+10000(t-14)(t>14)5t(s+1)/7=>200六模型求解模型一：目标函数minP(t,s)=500t+18000s+500st约束条件5t(s+1)/7=>200t<=14用lingo数学软件求解，结果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:482000.0Extendedsolversteps:5totalsolveriterations:106VariableValueReducedCostt14.000000.000000R19.000000.000000RowslackorsurplusDualPrice1482000.0-1.000000214.000000.00000030.00000025714.29419.000000.00000050.1001276E-05-357.1429由上述结果可知，在清洁时间不超过14天的情况下，额外雇用19支队伍，清洁时间14天时总费用最小，为482000.0美元。模型二:目标函数minP(s,t)=500t+18000s+500st+10000(t-14)约束条件5t(s+1)/7=>200t<=14同样用lingo软件求解结果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:430998.9Extendedsolversteps:5totalsolveriterations:131VariableValueReducedCostt22.449940.000000R11.472190.000000RowslackorsurplusDualPrice1430998.9-1.000000222.449940.00000038.4499440.000000411.472190.00000050.7149401E-07-260.3567根据问题假设s，t必须为整数，为此我们在目标值附近取值s=10,11,12;t=21,22,23.能满足5t(s+1)/7=>200的只有s=12,t=22;s=12,t=23.将这两组值带入P(s,t)=500t+18000s+500st+10000(t-14)中，求得值分别为：439000.0，455500.0。从结果中可分析当额外雇佣清洁工对数为12支，清洁时间为22天的时候可使公司总的清洁费用最小。七．清洁队每周清洁海岸线长度的灵敏性分析在此实际问题中，我们没有绝对准确的信息，即使建立了一个完美的精确的模型，我们也采用了较简单和易于处理的近似方法，因此在此我们必须考察数学模型的稳健性：即即使数学模型不完全正确，由其导出的结果仍然正确。在建模过程中我们提出了两种类型的假设：（1）数据假设；（2）其它假设。由于我们不能保证这些假设都是完全正确的，因此我们需要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度，此问题中的数据是由测量、观察甚至猜测得到，因此需要考虑数据的不准确的可能性。有些数据的具有相当大的确定性，如雇佣清洁队的费用，清洁队的清洁效率，清洁每天的耗资等；有些数据的确定性更低，如受污染的海岸线长度，罚金数额等。在模型2（最优解）的情况下（1）考虑公司用来清理漏油的总天数t不变，清洁队每周清洁海岸线长度d发生变化时，最优的额外雇佣清洁队的数目s关于清洁队每周清洁海岸线长度d的灵敏性。d（英里/周）s（支）d（英里/周）s（支）414.969.6511.7通过上表我们可以观察可得：每周清理海岸线增加的d增加1%，雇佣队数减少的s减小1.0036%，清洁海岸线的变化只是引起雇佣对数的微小变化，所以我们可以从表中得到最佳的雇佣对数。(2）考虑额外雇佣对数s（支）不变，清洁队每周清洁海岸线长度d发生变化时，公司的总支出P（美元）关于清洁队每周清洁海岸线长度d的灵敏性。d（英里/周）P（美元）d（英里/周）P（美元）4520230.86372153.85431384.6通过上表我们可以观察可得：每周清理海岸线增加的d增加1%，总支出增加0.8238%，清洁海岸线的变化只是引起总支出的微小变化，所以我们可以从表中得到最少的总支出。八．罚金数额的灵敏性分析在模型2（存在最优解）的情况下：（1）考虑清洁队每周清洁海岸线长度及额外雇佣的清洁队数目s（支）不变，罚金数额发生变化时，清理漏油的总天数t（天）关于罚金数额m（美元）的灵敏性。m（美元/天）t（天）m（美元/天）t（天）900022.51100021.51000022罚金数m增加1%，清理漏油的总天数t减少0.02%，影响较小，原结果可用。（2）考虑额外雇佣对数s（支）及公司用来清理漏油的总天数t不变，罚金数额m发生变化时，公司的总支出P（美元）关于罚金数额m的灵敏性。m（美元/天）P（美元）m（美元/天）P（美元）9000431000.011000447000.010000439000.0罚金数m增加1