江苏省淮安市、连云港市2024学年高三上学期第一次调研考试《数学》试题（解析版）

第第页2023~2024学年度第一学期高三年级期末调研测试数学试卷2024.1总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（是虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2.已知集合，，则（）A. B. C.7 D.0【答案】B【解析】【分析】由集合中的元素特征结合交集的定义判断可得.【详解】因为，，所以或，，所以.故选：B.3.随机变量，若，，则（）A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.85【答案】C【解析】【分析】解：根据随机变量，得到，再由求得m即可.【详解】解：因为随机变量，所以，，解得，所以，故选：C4.图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面与平面的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接相交于点，取的中点，可得即为平面与平面的夹角，设，在中由余弦定理可得答案.【详解】连接相交于点，连接，平面，取中点，连接，因为，所以，所以即为平面与平面的夹角，即，设，则，所以，，在，由余弦定理得.故选：C.5.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（）A.108种 B.90种 C.72种 D.36种【答案】A【解析】【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种；第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案，综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案.故选：A6.已知双曲线：（，）的左顶点为M，左、右焦点分别为，，过作轴的垂线交于，两点，若为锐角，则的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据为锐角，由求解.【详解】令，得，解得，则，因为为锐角，所以，因为，，即，即，即，结合，解得，故选：B7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（）A.2 B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】据题意，，，，根据向量的数量积运算即可求.【详解】因为为边上的中线，所以，又BE为边AC上的高，所以，且在中，，所以.故选：D.8.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为，，，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性比较的大小，再结合对数函数的单调性比较的大小可得结论.【详解】因为，，构造函数，因为，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，所以，故，即，因为，，因为，，所以，，所以，即，所以，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过将化为结构相似的形式，通过构造函数，再利用函数的单调性比较函数值的大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】通过古典概型概率计算公式即可判断A、B选项；通过X和Y的分布列，可以计算对应的期望和方差的大小关系.【详解】对选项A：正四面体骰子，记向下的数字为X，当时，对应的概率为，错误；对选项B：正六面体骰子，记向上的数字为Y，其中时，即，则，正确；对选项C、D：X的分布列为：X1234P则，且；Y的分布列为：Y123456P则，且，所以，C错误；，D正确；故选：BD10.已知函数（，），且，，则（）A. B.的最小正周期为C.在上单调递减 D.为奇函数【答案】BC【解析】【分析】根据，，求得，再逐项判断.【详解】解：因为函数（，），且，所以，又，所以，故A错误；，则，则，又，则，所以，故B正确；，因为，所以，故C正确；，为偶函数，故D错误，故选：BC11.已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（）A.若，则为等差数列B.若，则为递增数列C.若，则当且仅当时取得最小值D.“”是“数列为递增数列”的充要条件【答案】ACD【解析】【分析】先求出，当时，，再逐项判断选项.【详解】由，当时，，当时，，若，则，符合，故为等差数列，A正确；若，则，，所以不是递增数列，B错误；若，则，当时，，为公差为2的等差数列，且，所以当且仅当时取得最小值，C正确；当时，，故数列为递增数列等价于，即，可得，故D正确.故选：ACD12.已知抛物线C：的焦点为F，的半径为1，过F的直线l与抛物线C和交于四个点，自下而上分别是A，C，D，B，O为坐标原点，则（）A.B.C.面积的最小值是8D.的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由题意可得，化简后进行判断，对于B，根据抛物线的定义分析判断，对于C，设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，代入计算判断，对于D，根据抛物线的定义结合基本不等式分析判断.【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，，对于A，，所以A错误，对于B，因为，所以，所以B正确，对于C，设直线为，，由，得，因为，所以，所以的面积为，当且仅当，即直线轴时取等号，所以面积的最小值是8，所以C正确，对于D，由选项C可知，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，所以D正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆，直线与抛物线的关系，解题的关键是利用抛物线的定义将距离进行转化，考查计算能力和数学转化思想，数形结合的思想，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是______．【答案】【解析】【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论.【详解】设所求圆的一般方程为，因为点，，在圆上，所以，解得，则所求圆的一般方程为：，.故答案为：.14.若角的终边经过点，则______．【答案】##-0.96【解析】【分析】利用任意角三角函数定义求出的三角函数值，利用两角差的余弦公式求出，最后利用二倍角公式得出答案即可.【详解】由任意角三角函数定义得，，故，由二倍角公式得.故答案为：15.已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则______．【答案】1【解析】【分析】由已知可得，，从而得，可解.【详解】由函数为奇函数，为偶函数，则，为偶函数，所以得图象关于对称，且关于对称，即，，则，所以，即函数的周期为4，则.故答案为：1.16.某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意作出圆锥取得最大体积时的图形，结合图形分别求得圆锥底面圆的半径与高，利用圆锥的体积公式即可得解.【详解】如图，在正方体中取各边棱长中点得正六边形，则正六边形的边长为，其最大内切圆的半径为，正方体的体对角线的一半为圆锥的高，所以圆锥的最大体积为.【点睛】关键点点睛：本题解决关键是找到圆锥取得最大体积时的图形，从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列为递增数列，其前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）求和：．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出等比数列的公比，根据给定条件列出方程求解即得.（2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，，得，解得或，当时，；当时，，由于为递增数列，因此，，所以数列的通项公式．【小问2详解】令，由（1）知，，则，于是，两式相减得：，所以．18.如图，在直四棱柱中，，，．（1）证明：；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）法一：连接，交于点，利用相似证得，从而平面可证；法二：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标运算得，得证；（2）空间向量法求二面角.【小问1详解】法一：连接，交于点，在梯形中，，，所以，又，所以，则，因为，所以，则，即．直四棱柱中，平面，因为平面，所以．因、平面，，所以平面．因为平面，所以．法二：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．因为，，所以，所以，即．【小问2详解】设平面与平面的一个法向量分别为与，因为，，，由得，则，令得，所以．由得，令，则，，所以．所以，由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为．19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若，，求；（2）点D在边上，，若，，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出；（2）在，中分别利用余弦定理列式可得，再由条件切化弦，根据正、余弦定理化简得，运算求得.【小问1详解】在中，，，由余弦定理得，即，所以．，由正弦定理，得，所以．【小问2详解】因为，，所以，．在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，所以，即①因为，所以．又，由正弦定理得，，即，则②联立①②可得，所以．20.某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入2个红球和1个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再取1个相同颜色的球放入罐中，如此反复操作．（1）求活动参与者第2次操作时取到白球的概率；（2）记3次操作后罐子中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布与数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，4【解析】【分析】（1）由条件概率、全概率公式即可求解.（2）首先，3，4，5，依次求得相应的概率即可得分布列，进一步即可求解数学期望.【小问1详解】记活动参与者“第1次操作时取到白球”为事件，“第2次操作时取到白球”为事件，则，，，．所以，所以活动参与者第2次操作时取到白球的概率为．【小问2详解】，3，4，5，，，，，则随机变量的概率分布为2345所以，随机变量的数学期望．21.已知椭圆：的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线l与E交于，两点（异于点），设直线与的斜率分别为，．（1）若直线l的斜率为，求的面积；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件列方程求可得椭圆方程，联立直线与椭圆的方程，结合弦长公式求出，再求点到边的距离，由此可求面积；（2）方法一：先在条件直线的斜率不存在时，求出，再求，再利用设而不求法求出当直线的斜率存在时的值即可；方法二：设的方程为，设直线的斜率为，联立方程组，利用设而不求法确定的关系，由此可得结论；方法三：设直线：，即，设直线的斜率为，联立方程组结合设而不求法法确定的关系，由此可得结论.【小问1详解】因为，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，，所以椭圆的方程为．直线：，即，代入得，设，，则，，所以，又点到直线：的距离，所以的面积．【小问2详解】当直线斜率不存在，即：时，，不妨取，，因为，，则，，所以．当直线斜率存在时，设：，代入：得：，由已知方程的判别式，设，，则，，则．综上可知，．法二：设：，代入：得，由已知方程的判别式，设，，则，，设直线的斜率为，则，又，即，所以，则，所以．法三：设直线：，即，所以．椭圆：，即，所以，即，则，整理得，设直线的斜率为，则又，即，所以，则，所以．【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.已知函数．（1）当时，求最小值；（2）若在处取得极小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）1（2）．【解析】【分析】（1）时，，求出的单调区间，即可求解；（2）分讨论，即可求解.【小问1详解】当时，，设，由得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，则，所以．因为在上单调递增，且，则0－0＋递减极小值递增所以，的最小值为．【小问2详解】记，，则．①当时，，则在上单调递减，又因为，所以当时，，所以，令