2024年中考数学第二次模拟考试试卷+解析(浙江卷)

2024年中考第二次模拟考试（浙江卷）

数学全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.浙江省博物馆之江馆区（如图）位于浙江省之江文化中心，是首批被确定的国家一级博物馆和中央地方

共建国家级博物馆，建筑面积逾10万平方米.突出了浙江历史的高光亮点，体现浙江人文和科技发展对中

华文明的贡献.其中，数据10万用科学记数法可表示为（）

A.1x104B.1x105C.10x104D.0.1x106

【答案】B

【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",

其中IHaklO,〃为整数，且"比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【详解】解：10万=l°0°°°=lxl05.

故选：B.

2.如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（）

【答案】D

【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可.

【详解】解：该直口杯的主视图为\_______I

故选：D.

【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提.

3.下列计算正确的是（）

（）

A.-a^b+ba2=0B.3a+b=3a+b

C.X2+2X2=3X4D.2m+3n=5nm

【答案】A

【分析】本题主要考查了合并同类项，去括号，解题的关键是熟练掌握合并同类项和去括号法则，根据运

算法则进行判断即可.

【详解】解：A、-Gb+bG=O,故本选项运算正确，符合题意;

B、3（a+b）=3a+36,故本选项运算错误，不符合题意;

C、xz+2x2=3承，故本选项运算错误，不符合题意；

D、2机与为不是同类项，故本选项运算错误，不符合题意.

故选：A.

4.一组7个数据分别为2,2,2,3,3,4,5.若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是

（）

A.中位数与众数都不变B.众数与方差都不变

C.中位数与极差都不变D.众数与极差都不变

【答案】D

【分析】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差、极差的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键.

先根据去掉一个数据，平均数不变，可知去掉的数据，然后根据平均数、众数、中位数、方差、极差的概

念即可阶段.

【详解】解：一组7个数据分别为2、2、2、3、3、4、5的平均数为3,则去掉的数据为3；新的这组

数据为2、2、2、3、4、5.

15

原数据的中位数为3,众数为2,极差为3,方差为了；

514

新数据的中位数为5,众数为2,极差为3,方差为7；

综上，两组数据的众数和极差都不变.

故选：D.

5.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：”今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问

人与车各几何？''其大意为：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐.问人数和车数各

多少？设车x辆，则符合题意的方程是（）

A.3（x-2）=2x+9B.3（x-2）=2x-9

C.3x-2=2尤+9D.-+2=-+9

32

【答案】A

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，注意正确理解题意即可.

【详解】解：•••每车坐3人，两车空出来

•••总人数为：3（"2）

•••每车坐2人，多出9人无车坐

・••总人数为：2X+9

故可列方程：3（、-2）=2彳+9,

故选：A.

6.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角N。的大面小，需将转化为与它相等的

角，则图中与/。相等的角是（）

A.ZBEAB.Z.DEBC.NECAD.ZADO

【答案】B

【分析】根据直角三角形的性质可知：与NA。。互余，NDEB与ZADO互余,根据同角的余角相等可

得结论.

【详解】由示意图可知：和LQ8E都是直角三角形,

.../。+ZADO=90°，ZDEB+ZADO=90°，

:./DEB=/09

故选：B.

【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

7.如图，一个钟摆的摆长的长为。，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角NAOB为2x,点C是A/｝的

中点，OC与AB交于点。，则CD的长为（）

C.a（l-sinx）D.«（l-cosx）

A.asin2xB.acos2x

【答案】D

【分析】本题考查了解直角三角形的应用.由点C是A8的中点，NAOB为2x,可得NA℃的度数，已知

的长为。，用余弦公式可表示OD,CD=OC-OD,可得CD的长.

口

【详解】解：：点C是AB的中点，

.„ZAOC=NBOC=-ZAOB=x

/.AC=BC92,

•；OD=OD,OA=OB,

.UOAD^JOBD（SAS）

ZODA=/ODB=90°,

OD=OA•cosZ.AOC=acosx,

CD=OC-OD=a-acosx=a（l-cos九），

故选：D.

8.关于x的二次函数>=s2一（2加一l）x—2（mw。），甲同认为：若冽V0,则当时，V随x的增大而增

大，乙同学认为：若该二次函数的图象在X轴上截得的线段长为3,则机的值是1或-3,以下对两位同

学的看法判断正确的是（）

A.甲、乙都错误B.甲、乙都正确C.甲正确、乙错误D.甲错误、乙正确

【答案】B

【分析】根据解析式,=侬2一（2根-必-2g°）,得到对称轴为直线2m=X~2m,当机（。时，

-（2m-l）1

x=—=1—>1

抛物线开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，且2m2m判断了41在对称轴的

左侧，可判断甲的判断正确，设蛆2一（2帆-1）*-2=°的两个根为七个，根据截长为3,构造方程解答即可，

本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.

【详解】•・懈析式：产的一（2时必-2金工0）,

-（2m-1）1

x=--------------1------

・•・对称轴为直线：2m2m,

-（2m-l）1

x=------------=1—>1

当机<0时，抛物线开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，且：2m2m,

在对称轴的左侧,

故甲的判断正确，

设四-（2…）尤-2=0的两个根为丁,，

lx-%1=3

1121

(%-x>=G+x>-4x=9

121212

2

2m-1]+8=9八

m)m

m=—TYI=\

整理得，5加2—4切-1=0,解得5，

11

m=-YYi—\

经检验，5,都是原方程的根，

故乙的说法是正确的，

故选B.

9.已知线段AB,按如下步骤作图:

①取线段AB中点C；

②过点。作直线/,使

③以点C为圆心，4B长为半径作弧，交/于点。;

④作NZMC的平分线，交/于点E.则tan/ZME的值为（)

D.与1

A一c.理

【答案】D

【分析】

本题主要考查了求角的正切值，角平分线的性质，勾股定理等等,先利用勾股定理求出AD=6AC,由角

CE_75-1

平分线的性质和定义得到所=CE,NDAE=NCAE,再利用等面积法求出AC—一厂即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点E作EF'AD于F,

由题意得，CD^AB=2AC,NACD=90。,

AD=4AS+cm=非AC,

平分EF.LAD,ACD=9Q°

.EF=CENDAE=ZCAE

-AD-EF+-ACCE=-ACCD

.222

—CE-AC+-ACCE=ACAC

.22

CE_2_5/5-l

,AC-V5+1T~

CEJ5-1

tanZDAE=tanZG4E=­=—

AC2

故选：D.

10.若函数图象上存在点P（a,6）满足a+b=〃z（a>0,且m为常数），则称点P为这个函数的“优和点”.例

如：函数图象上存在点PQ1T）,因为/+1T=1,所以我们称点P为这个函数的“1优和点若二次函数

，=尤2+。-3卜+5的”优和点”有且仅有一个，则上的取值范围为（）

A.k=±4-B.左=-4或左>3C.左=-4或左>5D.%=±4或左〉5

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“女优和点”，再联立新方程是解本题的关

键，综合性较强，难度适中.设这个二次函数的"女优和点”P坐标为（。#-。），将点P坐标代入二次函数,

根据题意分类讨论，再求人的范围即可.

【详解】解：设这个二次函数的"女优和点”P坐标为（。#-。），将点P坐标代入可得:

+(k—3)G+5=左一a.

整理得：成+（女一2）。+5—左二0,

人y=G+（左一2）a+5—左Q>0）

V二次函数产九2+（左—3）x+5的1优和点,，有且仅有一个,

“=。2+（%-2）。+5-4>0）与*轴只有—个公共点，

第一种情况是〉="2+"一2）"+5-4>°）与*轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上,

-匕〉。

二.A二（左一2）2-4（5-女）=0,且2,解得：k=±49且％<2,

第二种情况是>="2+"一2）。+5-4>0）与*轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上,

..了=02+/-2）.+5-4>0）对称轴在丫轴左侧，且交于丫轴的负半轴,

一〈。且5”,

解得％>5,

综上，%的取值范围为左=-4或左>5.

故选：C

第n卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.若二次根式有意义，写出一个满足条件的x的值：.

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数不

小于0,

根据被开方数不小于0解答即可；

【详解】解：■.・二次根式用F有意义，

/.1-2%>0,

解得2,

・”=0（答案不唯一），

故答案为：0（答案不唯一）

12.有10个外形相同的蔬菜盲盒，其中3盒装着西兰花，2盒装着菠菜，4盒装着豆角，1盒装着土豆，随

机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率是.

2

【答案】10/0.3

【分析】本题考查概率公式计算概率，用所求的情况数除以总情况数即可.

【详解】解：，.•有10个外形相同的蔬菜盲盒，其中3盒装着西兰花，2盒装着菠菜，4盒装着豆角，1盒装

着土豆.

3

,随机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率是正，

3

故答案为：1°.

13.如图所示，若“兵''的位置是（1,2）,“炮”的位置是（8,3）,贝广将”的位置可以表示为

T丁

丁

+++「

++

丑

+++

++

土t

J

L__L_L_L_L.L_1_

（25）

【答案】

【分析】直接利用，兵”、“炮”的位置确定列、行代表的意义，进而得出答案.

【详解】解：由题意可知：

以“兵”所在列为第1列，则“兵”的位置（12）表示第1列，第2行，

“炮”的位置（83）表示第8列，第3行，

则“将”在第2歹!],第5行，

故“将”的位置可以表示为V'A,

（25）

故答案为：、

【点睛】本题考查了有序数对；解题的关键是明确列和行的意义.

14.如图1,宁波城区最大摩天轮'芯动北仑''已成为北仑地标性建筑.已知“芯动北仑''摩天轮半径约为26

米，每个轿厢安装在摩天轮圆周30等分的分点处，如图2所示，则相邻轿厢之间的弧长为米.（结果

保留）

图1图2

26

【答案】15

Inr

【分析】本题考查正多边形与圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式.由弧长公式：一丽（1是弧长，n

是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算.

【详解】解：•.・每个轿厢安装在摩天轮圆周30等分的分点处，

”=12。

相邻轿厢之间的弧所对的圆心角为30°,

12x26_26

••・相邻轿厢之间的弧长为NO-7T.

26

故答案为：15.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点/的坐标是（0,7）,点8的坐标是（3,7）,将二AOB向右平移到二CED

的位置，点。、E、。依次与点/、0、B对应点，DF=：EF,若反比例函数y="QwO）的图象经过点

4x

C和点尸，则左的值是.

【答案】16

【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义以及相似三角形的判定及性质，正确作出辅助线构造

出矩形是解决本题的关键.根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可.

【详解】解：过点F作/G_Lx轴于点G,FH工y轴于点H,过点D作DQ'x轴于点Q,如图所示,

根据题意可知，AC=OE=BD,AB=CD=EQ=3fDQAO7,

设AC-OE=BD=a,

四边形ACE°的面积为7a,

...FGLx轴，DQLx轴，

FG//DQ

,OEDQ^LEFG

3

VDF-EF

4,

4

EF-DE

7

441212

FGDQ4EG-EQ—OGOEEGa—

7,77,则7,

J12)

...四边形HFGO的面积为I7人

k—~\----J=7a

16

解得：a~~

,.,左=16«

故答案为：16.

16.如图1是小鸟牙签盒实物图，图2是牙签盒在取牙签过程中一个状态的部分侧面示意图，D.E为连

接杆上两个定点，通过按压点8,连接杆A8绕点£旋转，从而带动连接杆。厂上升，带动连接杆切

与FG绕点G旋转，致使牙签托盘〃/向外推出.在取牙签过程中固定杆EG位置不变且。咒与EG始终平

Q1

行，牙签托盘印始终保持水平，现测得FG=lcm,EB=—cm,DF=EG=lcm,/HFG=46°与

B90,杆长与杆长之间角度大小不变.已知，牙签盒在初始状态，。、〃、厂三点共线，在刚好取到

牙签时，E、H、G三点共线，且点C落在线段印上.(参考数据：

(1)从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘印在水平方向被向外推出cm；

(2)鸟嘴BC的长为cm.

图1图2

16954

【答案】

12013

【分析】

本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解

题的关键.

(1)利用三角函数求得边长，再利用三角形的面积公式即可得到结论;

(2)根据全等三角形的性质得到BC=NC,再利用三角函数建立方程求得即可.

【详解】

解：(1)如图2,牙签盒在初始状态，D,H,歹三点共线，NHFG=46：杆长与杆长之间角度大小不变,

FG=FH=1cm,

连接H3,过尸作于O,

:.ZGFO=Xx46°=23°,HO=GO,

2

设OG=5xcm,则OF=12xcm,

/.FG=y/oG^-OF2=13x=1cm，

1

x

13

FO=12x=—cm,GH=cm

1313

S=LFO•HG=

n-HM•HF,

FGH22

1210120

(cm),

1313169

120

故答案为:

169

图3

VFD//EG,。b=£G=7cm,

•・.四边形GE是平行四边形,

/.DE//FG,

•/ZHFG=46°,杆长与杆长之间角度大小不变，FG=FH=1cm,

:.ZFGH=ZFHG=61°,

过尸作RVLHG于N,

:.ZGFN=ix46°=23°,HN=GN,

2

NG=tan230=5,

NF12

设NG=5ycm,则NF=12ycm,

FG=13ycm,

1

/.y=-,

13

/.NG=5y=—cm,GH=—cm,

1313

・.♦EG=7cm,

/.EH=—cm,

13

O1

EB=—cm,EC=EC,

13

/.RtDEBC^RtDE//C(HL),

...BC=HC,

DE//FG,ZFGH=67°,

:.ZGEM=67。，

ZM=23°,

•/tan23°=-5,DBD90D,ZEHM=90°,

12

EH生"23。=5

UMMB12

设3C="C=5xcm,贝1Affi=12xcm,

二.MC=13xcm,

•EH_5

,isx~n

u12义EH54

181813

54

二.BC=—cm.

13

故答案为:冷54

三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(6分)⑴计算：x/8+1-<21-2sin45°+(2023-n)o.

x4

（2）化简:

X2—4犬4x-X2

£

2

【答案】（1）^2+1：（2）x

【分析】

题目主要考查特殊角的三角函数的运算、实数的混合运算及分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键.

（1）先将二次根式化简、特殊角的三角函数代入、零次嘉运算，然后计算加减法即可；

（2）根据分式加减法计算，然后约分即可.

【详解】解：(1)y/8+\->/2-2sin450+(2023-n)o

=272+72-2x^+1

2

=372-72+1

=2及+1;

(2)=p+J-

尤2-4x4x-X2

_x_______4_

X2-4xX2-4x

_x-4

x(x-4)

_1

X

9_L3_i

18.(6分)小汪解答“解分式方程：卫r与-2=r="的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号,

x-22-x

并写出正确的解答过程.

解：去分母得：2x+3-1=-（彳-1）...①,

去括号得：2x+3—1=—x+1...(2),

移项得：2x+x=l+l-3…③,

合并同类项得：3尤=-1…④,

系数化为1得：…⑤,

是原分式方程的解.

【答案】错误步骤的序号为①，解法见详解.

【分析】本题考查检查解分式方程；错误步骤的序号为①，解方程去分母转化为整式方程，

2x+3-2（x-2）=-（x-l）j进而解这个整式方程，最后检验，即可求解.

【详解】解：错误步骤的序号为①,

2x+3x-1

-----2=---

x—22—x

2x+3-2(%-2)=-(x-1)

去分母得:

去括号得：2x+3-2x+4=-x+l

移项得：2x—2x+x=l-3-4…③,

合并同类项得：工二-6…④,

检验：当x=d时，％_2w0.

••/二-6是原分式方程的解.

19.（8分）如图，在：ABC和口。EF中，已知AB=£）E,ZB=/£'以及可以选择的条件①AC=£>F；②

BF=CE；③ZA=Z£>.

（1）选择.条件（选一个，填序号）使得AABC公ADEF,并给出证明;

⑵若边AC与。F交于点G,AC=712,GF=|X/3,求AG的长.

【答案】（1）③，见解析;

AG=—

⑵2

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

（1）选择③=（答案不唯一），由ASA证得△ABC也△。即即可；选②BF=CE,由SAS证得

△ABC咨ADEF即可；

（2）由△ABC也△。石尸，得出/ACB=/DF£,则GL=GC,即可得出答案.

【详解】（1）解：选择③/A=/。，理由：

ZA=ZD

<AB=DE

在和一DE尸中，［4=4,

,AABC^ADEF（ASA）

故答案为：③；

选②BF=CE,理由：

・：BF=CE,BC=EF

AB=DE

<ZB=ZE

...在口ABC和一。所中，［BC=EF

,AABC^ADEF（SAS）

故答案为：②；

（2）M：-：JABC^：DEF

:.ZACB=ZDFE9

GF=GC*

:.AG=AC-GC=AC-GF=4n-->13=—

22.

20.（8分）在学校组织的“学习强国”知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A,B,C,。四

个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分和70分.八年级的李老师将801班和802

班的成绩进行整理并绘制成如下的统计图

（1）在本次竞赛中，802班C级的人数有多少？

（2）结合下面的统计量：

成绩

平均数（分）中位数（分）众数（分）B级及以上人数

班级

801班87.6909018

802班87.68010012

请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（写出两条）.

【答案】⑴9人

（2）见解析

【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联：

(1)先求出801班总人数，再求802班成绩在C级的人数即可；

(2)只要答案符合题意即可(答案不唯一).

【详解】⑴解：(6+12+2+5)x36%=9人，

・•・在本次竞赛中，802班0级的人数有9人；

(2)解①从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数的角度看801班比802班的成绩好；所以801班成绩

好.②从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看802班比801班的成绩好，所以802班成绩好.(答

案不唯一)

21.(10分)如图，在IABC中，NC=90。，DM=r)E,OE_LAD交A8于点E,AE为口。的直径，DF1AB.

(1)求证：ZCAD=ZDAB；

(2)若。河平分NADC,求/。⑦的度数；

(3)若AD=BO=6cm,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析

⑵3。。

【分析】(1)根据圆周角，弦，弧的关系证明即可.

(2)运用圆的内接四边形的性质，得到结合/C=90。，DF±AB,继而得到

/CDM=/FDE,结合AE为匚。的直径，得到WE=90。，ZDAEZFDE=90°-ZAED.根据

ACAD=ADAB,结合三角形的外角性质，计算即可.

OF=FE=—OD=yj3cm<_<

(3)连接°。，证明出匚ODE是等边三角形，求出2,根据阴影扇形。OEUDOF,

计算即可.

【详解】（1）；DM=DE,

DM=DE,

ACAD=ZDAB.

(2)••・四边形是圆的内接四边形，

,.,ZCMD=/FED，

•.■ZC=90°,DF1AB,

,.•ZCDM=ZFDE，

•・,AE为1°的直径，

,・,ZADE=90°，

,.•ZDAE=ZFDE=9Q°-ZAED，.

-ZCAD=ZDAB,

DAE=/FDE=/CAD=/CDM.

...DM平分NADC,

,・,ZADM=/CDM，.

,.•ZDAE=ZFDE=ZCAD=ZCDM=ZADM，.

,・•ZCAD+ZCDM+ZADM=90°，.

.3ZCAD=90°

解得/C4O=30。.

(3)...AD=BD=6cm,DF1AB9

:./BAD=NB,

连接°。，

••.OA—OD9

...ZADO=ZDAB,

­：ACAD=/DAB,

,・,ZADO=ZCAD,

,.,OD//AC9

VZC=90°

,・,ZODB=90°，

,.•ZB+ZDOB=90。，

.../DOB=ABAD+ZADO=2ZB9

,.•3/3=90。，

解得ZB=30。,

,.•ZBOD=60°,ZODF=30°,

••.OD=OE,

—ODE是等边三角形，

•.•ZODE=ZOED=60°，

,・,ZODF=ZFDE=ZEDB=30°，

DF=—BD=3cm

.2

OF=FE=-OD=y/3cm

...2

60x7txQ3)i

S=S—Sn=------------------——xyj3x3

...阴影扇形OOEDOF3602

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，三角函数，扇形面积公式.解题的关键是掌握以

上知识点.

22.（10分）小孔成像中的数学：如图1,小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质.如

图2是其光路简图：。表示小孔，OE的长为物距，OF的长为像距，E,O,尸三点在同一条直线上，

物AB_LEF于E,像CD_LEF于尸.

D

BC

图1图2

ABOE

（1）求证:

CDOF

（2）某地，正午时分,阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估

算一下太阳的直径.他先测量了光斑的直径，记为d,查阅资料后，知道地球到太阳的距离为/.如果要

估测太阳的直径，还需要测量，用龙表示所测得的量，则太阳的直径可表示为.（用含有d,

x的代数式表示）

【答案】（1）见解析

d（J-x）

⑵树叶缝隙到光斑中心的距离，了

【分析】本题考查了相似三角形的应用.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

ABAOAO_OE

（1）由题意知AB-。，证明二ZAEO^jCFO,则而一而\OF,进而结论得证；

AO_0E

（2）由（1）中心9-0斤可知，如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离，进而可

（7（/-%）

得太阳的直径可表示为x.

【详解】（1）证明：斯于E,CD'EF于歹，

.ABJCD

•,9

,.,ZA=/C，

又・..ZAOB=ZCOD,ZAOE=ZCOF,

，口过CD0,QAEO^aCFO,

AB_AOAO_OE

•~CD~~COCO~OF

,,,,

AB_OE

...五一赤.

ABOE

(2)解：由(1)中五一而可知，记光斑的直径为钻=d,太阳的直径可表示为CD,地球到太阳的距

离为EF=1,

如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离°E=x,

CD_ABOF_d(J-x)

：.0F=l-x,太阳的直径可表示为—一^一,

d(l-x)

故答案为：树叶缝隙到光斑中心的距离，x.

23.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-：x2+bx+3的对称轴是直线》=2,与x轴相交于A,

4

B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点c.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作肱轴于点N,交8c于点连接CM,当线段

CM=CD时，求点M的坐标；

(3)以原点。为圆心，49长为半径作一。，点P为一0上的一点，连接BP,CP,求2PC+3PB的最小

值.

【答案】⑴4,顶点坐标为

(2)点M的坐标为(24)

⑶2PC+3PB的最小值为2展

b

b1

x=2=----=—2x(—)

【分析】(1)由2a4,解得6=1,然后代入解析式求解；

y——(y+y)

(2)当线段Q以=CD时，则点C在加。的中垂线上，即c2.D时，即可求解;

（3）先证明DPOG^JCOP,然后利用当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG即可求解.

【详解】（1）•••对称轴是直线x=2,

b

x=2^--=-2x（-l）

故2a4,解得6=1,

y=」x2+x+3=」（尤-21+4

故抛物线的表达式为44

.•・抛物线的顶点为（24）；

(2)

=

y=」x2+x+3y~.X2+X+3=Q

对r于4，令4

解得彳=6或-2,令x=0,贝”=3,

故点A、B、C的坐标分别为（一2，°）、（6，。）、（。，3）

1

m------

0=6m+nV2

,解得।〃=3

设直线BC的表达式为y=，加+〃，则〃二3

y=--x+3

故直线8C的表达式2

1c

X,----X2+x+3x,—-JV+3

设点M的坐标为4,则点D的坐标为

+）

当线段优=8时，则点C在的中垂线上，即~-51与+、。

即”;

--+x+3—x+3

42

解得x=°（舍去）或2,

故点M的坐标为（24）；

（3）

OPOG2OG4/4、

c——==29=OG=—G0,—

在"上取点G,使。C。尸3,即32,则3,则点(3人

OP_OG

•・武丽，2Gop=2C0P,

POGsgCOP,

"=空=2PG=2pc

...PCOC3,故3,

2PC+3PB=3|PB+2PC\=3（BP+PG）

则I3J,

故当B、P、G三点共线时，2PC+3pB最小，最小值为3BG,

贝IJ2PC+3%的最小值7

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，会利用数形结合的思

想把代数和几何图形结合起来以及利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键..

24.（12分）如图，在A3CD中，AB=8,BC=4,/3=60。，点E从点B出发沿胡向终点A运动，过

点E作AB边的垂线，交ABCD其他边于点尸，在E歹的右上方作正方形EFG”.

图2图3

⑴如图1,点尸为BC中点时，求正方形EFGH的面积.

⑵如图2,点E从B点运动到A点的过程中，点。为该正方形对角线/的中点.

①设BE=X,△OB的面积为y,求上述运动过程中y关于X的函数表达式.

②当△OCR有一个内角为30。时，求8E的长.

【答案】（1）正方形EFGH

3+6心+¥式。<立2)

_32-86_

⑵①；②BE=8-46或13或5-#或5+出

【分析】(1)