2024年中考数学几何模型归纳解直角三角形模型之实际应用模型（学生版）

解直角三角形模型之实际应用模型

解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际

问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注

意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造

直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

模型1、背靠背模型

【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形求解，其中公共

边（高）CO是解题的关键.

【重要关系】如图1,CD为公共边，AD+BD=AB-,

如图2,CE=DA,CD=EA,CE+BD^AB-,

如图3,CD=EF,CE=DF,AD+CE+BF=AB.

例1.（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航

拍.在一次航拍时，数据显示，从无人机/看建筑物顶部2的仰角为45。，看底部C的俯角为60。，无人机

A到该建筑物5c的水平距离NO为10米,求该建筑物BC的高度.（结果精确到0.1米;参考数据：72=1.41,

百,1.73)

B□□

□□

□□

□□

□□

-ar；、竺二或□□

⑷,60。□□

□□

□□

□□

□□

□□

C

例2.（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在

高空测量距离和高度.圆圆要测量教学楼NB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教

学楼底部246米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为

30。，长为49.6米.已知目高CE为1.6米.⑴求教学楼NB的高度.（2）若无人机保持现有高度沿平行于G4

的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线协.

例3.（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯

形/8CO,斜面坡度，=3:4是指坡面的铅直高度好■与水平宽度B尸的比.已知斜坡长度为20米，

ZC=18°,求斜坡”的长.（结果精确到米）（参考数据：sin18°=0.31,cos18°=0.95,tan18°=0.32）

例4.（2023年山东省荷泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机

测最大楼的高度3C,无人机在空中点P处，测得点尸距地面上/点80米，点/处俯角为60。，楼顶。点

处的俯角为30。，已知点4与大楼的距离为70米（点/,B,C,尸在同一平面内），求大楼的高度（结

果保留根号）

模型2、母子模型

图2图4

【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解，其中公

共边8C是解题的关键。

【重要等量关系】

如图1,8C为公共边，AD+DC=AC；如图2,3C为公共边，DC-BC=DB；

如图3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC-,如图4,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BEa

图5图6图9

如图5,BE+EC=BC-,如图6,EC-BC=BE-,

如图7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG-,

如图8,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG-,

如图9,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AG.

例1.（2023•河北沧州•模拟预测）如图1,嘉淇在量角器的圆心。处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪.将

此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M.

⑴在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角若铅垂线在量角器上的读数为53。，求a的值;

⑵如图2,已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的向前走L25米到达。处，此时

334

观测点"的仰角为45。，求树的高度.（注：tan37。。—，sin37°=-,cos37°=-）

455

例2.（2023•内蒙古•统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CO.如图所示，一架

水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为。,无人机沿水平线N尸方向继续飞行12米至8处，

测得河流右岸。处的俯角为30。，线段3=24几米为无人机距地面的铅直高度，点M,C,。在同一条

直线上，其中tana=2.求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：百,1.7）.

4,8F

Qa'7、和。

'、'、、

、、、

\

\'、、、、

\、、、

、、、

、、、

\'、二。

例3.（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减

排.某校组织学生进行综合实践活动一一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为N8,点

。是的中点，0c是灯杆.地面上三点DE与C在一条直线上，DE=1.5m,EC=5m.该校学生在。

处测得电池板边缘点3的仰角为37。，在£处测得电池板边缘点8的仰角为45。.止匕时点42与E在一条

343

直线上.求太阳能电池板宽的长度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°v=,cos37°=-,tan370=-,

554

V2=1,41）

例4.（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门/处有一坡角a=30。的斜坡N5,长

度为30米，在坡顶3处测得教学楼CF的楼顶C的仰角NC2F=45。，离8点4米远的£处有一个花台,

在E处测得C的仰角NCE尸=60。，CF的延长线交水平线4W于点。求。C的长（结果保留根号）.

模型3、拥抱模型

【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。

【重要等量关系】如图1,3。为公共边；如图2,BF+FC+CE=BE；如图3,BC+CE=BE；

如图4,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE.

例1.（2023•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF,从楼顶C处经过树顶E

点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角a为30°,从教学楼CD的底部D处经过树顶£点恰好看到教学楼

N3的顶部/点，且仰角B为53°,已知树高昉=6米，求。尸的长及教学楼N3的高度.（结果精确到0」

米，参考数据：V3=1.73Asin53°——Acos53°——,tan53°=3）

553

例2.（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼和CO的高度，小明将木杆跖

放在楼N3和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、尸、G三点在一条直线上），测得楼

48顶部的仰角4/G3=30°,再将测角仪放在〃处（。、F、8三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰

角4D//C=60。，同时测得BE=15根，CE=14m,EG=6m.（点/、B、C、D、E、F、G、X均在同一平

面内，结果精确到01米，«勺.732）（1）求楼的高度；（2）求楼CD的高度.

例3.（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如

图，把支架（£尸）放在离树（四）适当距离的水平地面上的点歹处，再把镜子水平放在支架（跖）上的点£处,

然后沿着直线8尸后退至点。处，这时恰好在镜子里看到树的顶端4再用皮尺分别测量8尸，DF,EF,

观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CO1BD于点£>,EF1BD于点F,

AB1BD于点、B,8尸=6米，。尸=2米，所=0.5米，。=1.7米，则这棵树的高度（A8的长）是米.

例4.（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.

如图，塔N2前有一座高为。E的观景台，已知。。=6111,/。位=30。，点£,C,/在同一条水平直线上.

某学习小组在观景台C处测得塔顶部2的仰角为45。，在观景台。处测得塔顶部8的仰角为27。.⑴求

的长；（2）设塔的高度为〃（单位：m）.①用含有〃的式子表示线段E4的长（结果保留根号）；②求塔

的高度（tan27。取0.5,百取1.7,结果取整数）.

ECA

课后专项训练

1.（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆

BC=42a,AB=b,48的最大仰角为a.当NC=45。时，则点A到桌面的最大高度是（）

D

A.a+B,C.a+bcosaD.a+bsina

cosasina

2.（2022•浙江金华•中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知8c=6m,ZABC=a,

则房顶A离地面EF的高度为（）

A

单位：m

4+士

A.(4+3sina)mB.(4+3tana)mC.

sinqtana

3.（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近

海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点3处测得灯塔

最高点N的仰角44助=45。，再沿3D方向前进至。处测得最高点/的仰角-CD=60。，SC=15.3m,

则灯塔的高度大约是（）（结果精确到1m,参考数据：V2=1,41,V3=1,73）

A

BCD

A.31mB.36mC.42mD.53m

4.（2022•黑龙江牡丹江•中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30。，小明在坡比为5：12的山坡上

走1300米，此时小明看山顶的角度为60。，求山高（)

12

A.(600-2506)米B,(6006-250)米C.(350+3506)米D,5006米

5.（2022•贵州毕节•中考真题）如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面N2的坡度为1：6,

则斜坡的长度为（）

D.5Gm

6.（2023•云南昆明•校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进

行体温检测.某学校大门高6.5米，学生。尸身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时,

在点D处测得摄像头A的仰角为30。，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像

头/的仰角为60。，则体温检测有效识别区域段的长为（）

人体测温摄像头A

学

校

大

门

，体温检测有效识别区1%排队区］

BEF

A.迪米B.业8米C.10米D.5g米

33

7.（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行

高度NC=1200米，从飞机上看到点8的俯角为37。飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行

直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点。时，地面目标此时运动到点E处，从点£看到点。的仰角为

310

47.4°,则地面目标运动的距离3E约为米.（参考数据：tan37°=-,tan47.40=—）

AD

8.（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无

人机从地面CO的中点/处竖直上升30米到达3处，测得博雅楼顶部E的俯角为45。，尚美楼顶部厂的俯

角为30。，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度。尸为米.（结果保留根号）

9.（2023•浙江•校考三模）如图1是两扇推拉门，是门槛，AD,8C是可转动门宽，且=2/。=28C.现

将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中tan3=],且点4C,。在一条直线上，测得4

。间的距离为18屈cm,贝I]门宽4D=,如图3,已知//=30。，/3=60。，点尸在48上，且4P

支架与04交于点A,支架CG1C。交CM于点G,支架。E平行地面03,篮箧E尸与支架。E在同一

直线上，。4=2.5米，4。=0.8米，N/GC=32。.

⑴求/G/C的度数.⑵某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在髡子上，最高可以把篮网挂到离地面3米

处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由.（参考数据：sin32。*0.53,cos32。=0.85,tan32。*0.62）

11.（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题.

测算发射塔的高度

某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发

射塔的高度儿w（如图1）.他们通过自制的测倾

仪（如图2）在A,B,C三个位置观测，测倾仪

上的示数如图3所示.

景

素

材

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度.

问题解决

分析规划选择两个观测位置：点和点

写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间

获取数据

的图上距离.

任

务推理计算计算发射塔的图上高度MV.

2

任

楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔

务换算高度

的实际高度.

3

注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm.

12.（2023年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需

在气体净化设备上增加一条管道/-D-C,已知。C18C,ABLBC,AA=60°,AB=1Im,CD=4m,求管

道/-O-C的总长.

13.（2023年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线C4,C8及在黑板上

的投影图像高度抽象成如图所示的“3C,ABAC=90°.黑板上投影图像的高度48=120cm,CB与4B

的夹角乙8=33.7。，求/C的长.（结果精确到1cm.参考数据：sin33.7°=0.55,cos33.7°=0.83,

14.(2023年浙江省宁波市中考数学真题)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用

量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示.

⑴如图2,在尸点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上48两点均在视线PC上时，测得视线与

铅垂线所夹的锐角为。，设仰角为乃，请直接用含。的代数式示乃.

(2)如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点8,C分别测得气球A

的仰角为37。，N4CD为45。,地面上点8,C,。在同一水平直线上，BC=20m,求气球A离地面

的高度40.（参考数据：sin37。a0.60,cos37。*0.80,tan37°=0.75）

15.(2023年浙江省金华市中考数学真题)问题：如何设计“倍力桥”的结构?

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁6,使得横

梁不能移动，结构稳固.

图2是长为/(cm),宽为3cm的横梁侧面示意图，三

个凹槽都是半径为1cm的半圆.圆心分别为

阳=0Mo2。=03P=2cm,纵梁是底面

半径为1cm的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭

“桥”，间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥”侧面示意图，43为横梁与地面的交点，为圆心，2g,区是横梁侧面两边的交点.测

得/8=32cm,点C到N2的距离为12cm.试判断四边形CDEg的形状，并求/的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形乜凡&…区2,求/的值；

②若有"根横梁绕成的环（”为偶数，且“N6）,试用关于”的代数式表示内部形成的多边形区凡凡…"的

周长.

图3图4

16.（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在

摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15。，摄像头高度3=160cm,

识别的最远水平距离OB=150cm.

摄像头―木，线

俯的5於、

图3

⑴身高208cm的小杜，头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130cm的点。处，请问小杜最少需要下

蹲多少厘米才能被识别.（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm,踮起脚尖可以增高3cm,但仍无法被识

别.社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20。（如图3）,此时小若能被识别吗？请计算说明.（精确到

0.1cm,参考数据sin15°之0.26,cos150~0.97,tan15°之0.27,sin20°~0.34,cos20°=0.94,tan20°=0.36)

17.（2022•浙江嘉兴•中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1,纸飞机机尾的横截面是一个轴

对称图形，其示意图如图2.已知/D=8E=10cm,CD=CE=5cm,ADLCD,BE1CE,ZDCE=40。.（结

果精确到。1cm,参考数据:sin20。v0.34,cos20。=0.94,tan20°=0.36,sin40°=0.64,cos40。y0.77,

tan40。=0.84）。⑴连结,求线段DE的长.⑵求点A,B之间的距离.

图1图2

18.（2022•浙江绍兴•中考真题）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪

器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）,

当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最

短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表NC垂直圭8C,已知该市

冬至正午太阳高度角（即4BC）为37。，夏至正午太阳高度角（即//DC）为84。，圭面上冬至线与夏至线

之间的距离（即。8的长）为4米.⑴求484。的度数.（2）求表八C的长（最后结果精确到0.1米）.（参考

数据：sin37°»-,cos37°«-,tan37°»-,tan84噎?）

5542

19.（2022•浙江金华•中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2,E尸为吸热塔，在地平线EG上的

点8,9处各安装定日镜（介绍见图3）.绕各中心点（44）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射

后到达吸热器点F处.已知AB=A'B'=Im,EB=8m,EB'=8Gm