6.3 向心加速度（解析版）-高一物理同步讲义（人教版）

6.3向心加速度一、向心加速度1.速度的变化量定义物体在一段时间内的末速度vt与初速度v0之差，表示为Δv=vt-v0标矢性是矢量，有大小，有方向直线运动如果速度是增加的，则速度的变化量与初速度方向相同如果速度减小的，则速度的变化量与初速度方向相反曲线运动初、末速度不在同一条直线上，可根据平行四边形定则2.两个匀速圆周运动的实例实例地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动光滑桌面上的小球在细线的牵引下，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动受力分析地球受太阳的引力，引力方向指向太阳中心，即地球轨迹的圆心小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向轨迹的圆心加速度分析由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力方向相同，指向圆心圆周运动是变速运动，变速运动必有加速度，匀速圆周运动的加速度指向圆心。3.向心加速度（1）定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。（2）大小：①an＝eq\f(v2,r)；②an＝ω2r。an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv。向心加速度an与半径r的关系图象如图(a)(b)所示。（3）方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。物理意义：描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。1．判断下列说法的正误．(1)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0.(√)(2)做匀速圆周运动的物体加速度始终不变．(×)(3)匀速圆周运动是匀变速运动．(×)(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变．(√)(5)根据an＝eq\f(v2,r)知向心加速度an与半径r成反比．(×)(6)根据an＝ω2r知向心加速度an与半径r成正比．(×)2．在长0.2m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为0.6m/s的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为______，向心加速度大小为______．答案3rad/s1.8m/s2解析角速度ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(0.6,0.2)rad/s＝3rad/s，小球运动的向心加速度大小an＝eq\f(v2,r)＝eq\f(0.62,0.2)m/s2＝1.8m/s2.知识点一、对向心加速度的理解1．向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变．2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．3．圆周运动的性质：由于向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运动都是变加速曲线运动．4．变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小．【经典例题1】下列关于向心加速度的说法正确的是()A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心答案ABD解析向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向．所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心．故A、B、D正确，C错误．【变式训练1】（北京市铁路第二中学2019-2020学年高一（下）5月期中物理试题）5.物体做匀速圆周运动，关于其向心加速度的说法正确的是（）A.与线速度的方向始终相同B.与线速度的方向始终相反C.始终指向圆心D.始终保持不变【答案】C【解析】【详解】向心加速度的方向始终指向圆心，方向时刻在变化，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小只是改变线速度的方向，因为加速度是矢量，因此向心加速度是时刻变化的。故选C。知识点二、向心加速度的大小1．向心加速度公式已知向心力表达式：Fn＝meq\f(v2,r)，Fn＝mrω2根据牛顿第二定律Fn＝man得到(1)an＝eq\f(v2,r)＝ω2r.(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以是an＝ωv.(3)由于ω＝eq\f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以是an＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2f2r.2．向心加速度与半径的关系(如2所示)3．向心加速度公式的适用范围心．【经典例题1】如图所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B带动后轮匀速转动时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于()A．1∶1∶8 B．4∶1∶4C．4∶1∶32 D．1∶2∶4答案C解析小齿轮A和大齿轮B通过链条连接，边缘线速度大小相等，即vA＝vB，小齿轮A和后轮C同轴转动，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度大小an＝eq\f(v2,R)可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度大小an＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，故选项C正确．【变式训练1】（山西省太原市致远实验中学校2019-2020学年高一（下）期中考试物理试题）11.如图所示的图象为A、B两球作匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的关系图象，由图象中可得知（）A.A球运动时线速度大小不变B.A球运动时角速度不变C.B球运动时角速度不变D.B球运动时线速度大小不变【答案】AC【解析】【详解】AB．A物体向心加速度与半径成反比，根据可知线速度大小不变。故A正确，B错误；CD．B物体的向心加速度与半径成正比，根据可知角速度不变。故C正确，D错误。故选AC。知识点三、圆周运动的动力学问题分析【经典例题1】如图所示，已知绳长为L＝20cm，水平杆长为L′＝0.1m，小球质量m＝0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动．g取10m/s2，要使绳子与竖直方向成45°角，求：(结果均保留三位有效数字)(1)小球的向心加速度大小；(2)该装置转动的角速度；(3)此时绳子的张力大小．答案(1)10.0m/s2(2)6.44rad/s(3)4.24N解析小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与小球的重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．(1)对小球，利用牛顿第二定律可得：mgtan45°＝manan＝gtan45°＝10.0m/s2(2)由an＝ω2rr＝L′＋Lsin45°联立解得ω≈6.44rad/s(3)FT＝eq\f(mg,cos45°)≈4.24N.【变式训练1】（河南省南阳市2019-2020学年高一（下）期中质量评估物理试题）5.质量为1.5×103kg小汽车在水平公路上行驶。当汽车经过半径为80m的弯道时，路面对轮胎沿半径方向的最大静摩擦力为7.5×103N。下列说法正确的是（）A.汽车转弯时受到的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.如果汽车转弯时的速度为6m/s，所需的向心力为6×103NC.为了确保安全，汽车转弯的速度不能超过20m/sD.汽车能安全转弯的向心加速度不超过6m/s2【答案】C【解析】【详解】A.汽车转弯时受到的力有重力、弹力和摩擦力，没有向心力，向心力属于效果力，故A错误；B.由向心力公式可得故B错误；C.为了确保安全，汽车转弯刚好最大静摩擦力提供向心力，由向心力公式，可得最大速度为故C正确；D.汽车转弯刚好最大静摩擦力提供向心力，此时向心加速度达到最大，由向心加速度公式，可得故D错误。故选C。一、单项选择题1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．匀速圆周运动的线速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体处于平衡状态B．做匀速圆周运动的物体，线速度的方向时刻在改变，所以必有加速度C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动D．做匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，是恒力作用下的曲线运动答案B解析匀速圆周运动的线速度大小不变，方向变化，故线速度是变化的，一定是变速运动，一定具有加速度，故A错误，B正确；匀速圆周运动的加速度大小不变，方向始终指向圆心，故加速度是变化的，是变加速曲线运动，故C错误；做匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，大小不变，但方向时刻在变化，不是在恒力作用下，故D错误．2.（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）4.飞机做可视为匀速圆周运动的飞行表演．若飞行半径为2000m，速度为100m/s，则飞机的向心加速度大小为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】由向心加速度的公式可得：A．，与结论不符，故A项不符合题意；B．，与结论相符，故B项符合题意；C．，与结论不符，故C项不符合题意；D．，与结论不符，故D项不符合题意．3.（江苏省沭阳县2019-2020学年高一（下）期中调研测试物理试题）7.A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为2:1，运动方向改变的角度之比为4:3，它们的向心加速度之比为（）A.3:2 B.2:3 C.8:3 D.3:8【答案】C【解析】【详解】因为在相同的时间内，它们通过的路程之比为2:1，运动方向改变的角度之比为4:3，则由解得由解得由解得它们的向心加速度之比为故ABD错误，C正确。故选C。4.（河北省武邑中学2019-2020学年高一下学期3月线上物理试题）6.在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤。从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是（）A.树木开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断B.树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断C.树木开始倒下时，树梢的向心加速度较大，易于判断D.伐木工人的经验缺乏科学依据【答案】B【解析】【详解】树木倒下时树干上各部分的角速度相同，转动半径越大处线速度越大，树梢处线速度最大；伐木工人双眼紧盯着树梢，根据树梢线速度的方向，判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤，故B项正确，ACD三项错误。5.（河北省邢台市2019-2020学年高一下学期三月月考物理试题）3.自行车，又称脚踏车或单车。骑自行车是一种绿色环保的出行方式。如图所示，A、B、C分别是大齿轮、小齿轮以及后轮边缘上的点。则（）A.A点的线速度大于B点的线速度B.A点的角速度小于B点的角速度C.C点的角速度小于B点的角速度D.A、B、C三点的向心加速度大小相等【答案】B【解析】【详解】AB．A点和B点属于同一皮带传动，皮带上各点的线速度大小相等，据v=ωr，B点的半径小，所以B的角速度大，故A错误，B正确；C．B和C两点同轴转动，所以两点的角速度相等；故C错误；D．A与B的线速度相等，由可知，B的向心加速度大于A的向心加速度；B和C两点的角速度相等，由a=ω2r可知，C点的向心加速度大于B点的向心加速度。故D错误。故选B。6.（山西省芮城市2019-2020学年高一下学期3月物理试题）7.甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度随半径变化的关系图象如图所示，由图象可知（）A.乙球运动时，线速度大小B.甲球运动时，角速度大小为C.甲球运动时，线速度大小不变D.乙球运动时，角速度大小不变【答案】B【解析】【详解】AD.乙物体向心加速度与半径成反比，根据，知线速度大小不变，根据图象可知，时，，则，故A、D项不合题意；BC.甲物体的向心加速度与半径成正比，根据，知角速度不变，根据图象可知，时，，则，故B符合题意，C项不合题意；．7.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为()A．1∶4B．4∶1C．4∶9D．9∶4答案B解析设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意eq\f(r1,r2)＝eq\f(9,4)，eq\f(T1,T2)＝eq\f(3,4)，由an＝eq\f(4π2,T2)r得：eq\f(a1,a2)＝eq\f(r1,r2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2＝eq\f(9,4)×(eq\f(4,3))2＝eq\f(4,1)，B选项正确．8.某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图3所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为()图3A.eq\f(r12ω2,r3) B.eq\f(r32ω2,r1)C.eq\f(r33ω2,r12) D.eq\f(r1r2ω2,r3)答案A解析三个轮相互不打滑，则甲、丙边缘的线速度大小相等，根据an＝eq\f(v2,r)和an＝ω2r，可得a丙＝eq\f(a甲r1,r3)＝eq\f(r12ω2,r3)，故A正确．多项选择题9.关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是()A．角速度、周期、转速、加速度均恒定不变B．匀速圆周运动是变速运动C．向心加速度方向一定指向圆心D．物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度大小与角速度成正比答案BCD解析做匀速圆周运动的物体的加速度大小不变，方向不断变化，选项A错误；匀速圆周运动的速度方向不断变化，是变速运动，选项B正确；向心加速度方向一定指向圆心，选项C正确；根据v＝ωr可知，物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度大小与角速度成正比，选项D正确．10.（湖北省四校2019-2020学年高一（下）期中物理试题）14.一架质量为10吨重的飞机在竖直平面俯冲的飞行表演时其轨迹可视为圆。若飞机俯冲至最低点的轨道半径为2000m，速度为100m/s，则下列说法正确的是（）A.角速度为0.5rad/s B.向心加速度为C.飞机受到的升力为50000N D.飞机受到的升力为150000N【答案】BD【解析】【详解】A．根据可得角速度为故A错误；B．由向心加速度公式可得故B正确；CD．根据牛顿第二定律可得解得故C错误，D正确；故选BD。11.（河北省石家庄精英中学2019-2020学年高一下学期第一次调研考试物理试题）7.A，B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（