6年级上册-一元一次方程应用题型及技巧

6年级上册一元一次方程应用题型及技巧：

列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧：

（1）和差倍分问题：

①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

③基本数量关系：增长量＝原有量×增长率，现在量＝原有量＋增长量。

（3）劳力分配问题：抓住劳力调配后，从甲处人数与乙处人数之间的关系来考虑。这类问题要搞清人数的变化。

例.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

（4）工程问题：

三个基本量：工作量、工作时间、工作效率；

其基本关系为：工作量=工作效率×工作时间；相关关系：各部分工作量之和为1。

例：一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

（5）利润问题：

基本关系：

①商品利润=商品售价-商品进价；

②商品利润率=商品利润/商品进价×100%；

③商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量。

⑤商品售价=商品标价×折扣率例.

例：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

（6）数字问题：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a，然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；

偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

例：有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

（7）盈亏问题：“盈”表示分配中的多余情况；“亏”表示不足或缺少部分。

（8）储蓄问题：

其数量关系是：

利息＝本金×利率×存期；：（注意：利息税）。

本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。

注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

（9）溶液配制问题：

其基本数量关系是：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；

溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。

这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。

（10）比例分配问题：

这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：各部分之和＝总量。

还有劳力调配问题、配套问题、年龄问题、比赛积分问题、增长率问题等都会有涉及。如图，A、B两个平行四边形纸片部分重叠，所占面积为160cm2，A的面积为120cm2，B的面积为74cm2，求重叠部分（图中阴影部分）的面积．解：设重叠部分面积为x，依题意得

120+74﹣x=160，

解得x=34．

答：重叠部分的面积34cm2．二元一次方程组应用中常见的相等关系：

1．行程问题（匀速运动）

基本关系：s=vt

①相遇问题（同时出发）：

确定行程过程中的位置路程

相遇路程÷速度和=相遇时间

相遇路程÷相遇时间=速度和

相遇问题（直线）

甲的路程+乙的路程=总路程

相遇问题（环形）

甲的路程+乙的路程=环形周长

②追及问题（同时出发）：

追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

追及时间×速度差＝路程差

追及问题（直线）

距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间

追及问题（环形）

快的路程-慢的路程=曲线的周长

③水中航行

顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间

逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间

顺水速度=船速＋水速

逆水速度＝船速－水速

静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

2．配料问题：溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

3．增长率问题

4．工程问题

基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。

5．几何问题

①常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

②注意语言与解析式的互化:

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

③注意从语言叙述中写出相等关系：

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。

④注意单位换算:

如，“小时”“分钟”的换算；s、v、t单位的一致

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程承前启后的作用。因此，列方程是解方程的关键整式：

是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中被除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。

代数式中的一种有理式。不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数者，则称为整式。整式的组成性质：

1.单项式

（1）单项式的概念：数与字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。

注意：数与字母之间是乘积关系。

（2）单项式的系数：单项式中的字母因数叫做单项式的系数。

如果一个单项式，只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式

（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号。

（2）单项式的次数：单项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

（3）多项式的排列：

1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。

为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列。

在做多项式的排列的题时注意：

(1)由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。

(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：

a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

b.确定按这个字母向里排列，还是生里排列。

(3)整式：

单项式和多项式统称为整式。

(4)同类项的概念：

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。

掌握同类项的概念时注意：

1.判断几个单项式或项，是否是同类项，就要掌握两个条件：

①所含字母相同。

②相同字母的次数也相同。

2.同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。

3.几个常数项也是同类项。

（5）合并同类项：

1.合并同类项的概念：

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2.合并同类项的法则：

同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母是指数不变。

3.合并同类项步骤：

⑴．准确的找出同类项。

⑵．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

⑶．写出合并后的结果。

在掌握合并同类项时注意：

1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

2.不要漏掉不能合并的项。

3.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

合并同类项的关键：正确判断同类项。整式的计算:

1.单项式乘以单项式，系数与系数相乘的积作为积的系数，相同字母底数不变，指数相加，单独的字母不变，仍作为积的一个因式。

2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的项相加。

3.先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4.数字与数字相除,相同字母的进行相除,对于只在被除数中拥有的字母包括字母的指数一起作为商的一个因式。

5.多项式除以单项式,先把这个多项式分别除以这个单项式,再把所得的商相加。

6.多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式，一般用竖式进行演算。

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除．

（5）如果被除式能分解因式且有因式与除式中的因式相同的，可以把被除式、除式分解因式。

最重要的是必注意各项系数的符号。整式的四则运算：

整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。

加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。

1.整式的加减

合并同类项是重点，也是难点。合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。

2.整式的乘除

重点是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义，学生不易掌握。因此，乘法公式的灵活运用是难点，添括号（或去括号）时，括号中符号的处理是另一个难点。添括号（或去括号）是对多项式的变形，要根据添括号（或去括号）的法则进行。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为，一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除。

整式四则运算的主要题型有：

（1）单项式的四则运算

此类题目多以选择题和应用题的形式出现，其特点是考查单项式的四则运算。

（2）单项式与多项式的运算

此类题目多以解答题的形式出现，技巧性强，其特点为考查单项式与多项式的四则运算。观察按下列顺序排列的等式：

，

，

，

，

，

……

猜想：第个等式（为正整数）应表示为

．这几个等式中，左边：第几个式子是9乘以（几减1），再加上几加2；右边：第几个式子即十位是几减1，个位是3．根据分析：即第n个式子是为响应“美丽河池清洁乡村美化校园”的号召，红水河中学计划在学校公共场所安装温馨提示牌和垃圾箱。已知，安装5个温馨提示牌和6个垃圾箱需730元，安装7个温馨提示牌和12个垃圾箱需1310元。

（1）安装1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？

（2）安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需多少元？解：（1）设安装1个温馨提示牌需x元，安装1个垃圾箱需y元，

根据题意，得，解得。

答；安装1个温馨提示牌需50元，安装1个垃圾箱需80元。

（2）∵，

∴安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需1600元。解：（1）设安装1个温馨提示牌需x元，安装1个垃圾箱需y元，

根据题意，得，解得。

答；安装1个温馨提示牌需50元，安装1个垃圾箱需80元。

（2）∵，

∴安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需1600元。

试题分析：（1）设安装1个温馨提示牌需x元，安装1个垃圾箱需y元，根据“安装5个温馨提示牌和6个垃圾箱需730元”和“安装7个温馨提示牌和12个垃圾箱需1310元”列方程组求解即可。

（2）根据（1）的结果列式计算。已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．

（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．

（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．

、1）∵M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，

∴x的值是-1．

（2）存在符合题意的点P，

此时x=-3.5或1.5．

（3）设运动t分钟时，点P对应的数是-3t，点M对应的数是-3-t，点N对应的数是1-4t．

①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，

所以-3-t=1-4t，解得t=43，符合题意．

②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．

情况1：如果点M在点N左侧，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．

因为PM=PN，所以3-2t=1-t，

解得t=2．

此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．

情况2：如果点M在点N右侧，PM=（-3t）-（1-4t）=2t-3．PN=-3t-（1+4t）=t-1．

因为PM=PN，所以2t-3=t-1，

解得t=2．

此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，符合题意．

综上所述，三点同时出发，43分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．

故答案为：-1．

考点名称：数轴数轴定义：

规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。

数轴具有三要素：

原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。

数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。用数轴上的点表示有理数：

每一个有理数都可用数轴上的点来表示，表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边，原点表示数0。

1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示。

2.表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。

3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。

数轴的画法：

1.画一条直线（一般画成水平的直线）；

2.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”）；

3.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）；

4.选取适当的长度为单位长度，

从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；

从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…。数轴的应用范畴:

符号相反的两个数互为相反数，零的相反数是零。（如2的相反—2）

在数轴上离开原点的距离就叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的相反数是它的正数，0的绝对值是0。考点名称：直线，线段，射线基本概念：

直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。

线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。

射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。

注意：

①线和射线无长度，线段有长度。

②直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。直线、射线、线段的基本性质：图形表示法端点延长线能否度量基本性质直线没有端点的一条线一条线,

不要端点无可以向两边无限延长否两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线射线只有一个端点的一条线一条线,

只有一边有端点一个可以向一边无限延长否一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线线段两边都有端点的一条线一条线,两边都有端点两个不能延长能两端都有端点,不能延长,可测量的线直线、射线、线段区别：

直线没有端点,2边可无限延长；

射线有1端有端点，另一端可无限延长；

线段,有2个端点,而2个端点间的距离就是这条线段的长度。

直线除了“直”这个特点外，还有一个很重要的特点，那就是它可以向两个方向无限延伸，永远没有尽头，所以，直线是不可能度量的。因此，在画直线时，要画出没有端点的直线，表示可以无限延伸；

射线只有一个端点，可以向一个方向无限延伸，也永远没有尽头。所以，射线也