高中一年级上学期数学《函数的概念（第1课时）》教学设计

3.1.1函数的概念第1课时教学内容函数的概念教学目标能用集合语言与对应关系刻画函数，能说出定义域、对应关系、值域的含义和作用，发展数学抽象素养。能用具体实例说明对应关系的含义，能区分对应关系与对应关系的表现形式。教学重点与难点教学重点；函数的三要素。教学难点：用集合语言和对应关系刻画函数，对抽象符号的理解，特别是对的理解。教学过程设计环节一：创设情景，提出问题引导语：通过观看短视频，我们发现，天舟2号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；谷爱凌在北京冬奥会完成向左偏转双周偏轴转体1620度的高难度动作中，转体的角度随时间的变化而变化;春节燃放烟花过程中，烟花开花的次数随时间的变化而变化……所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可以用函数模型来描述，并且通过研究函数就可以把握相应的运动变化规律。在初中我们已学过函数的定义是：在一个变化过程中,如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是的函数，是自变量。问题1.例如，正方形的周长与边长的对应关系是如何的？并且对于每一个确定的，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数。那这个函数与正比例函数相同吗？为什么？问题2.再请同学看下这两个函数与是否相同？为什么？要解决这些问题就需要进一步研究函数的概念。环节二：抽象概念，辨析内涵下面我们先来看几个问题。问题1某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时.（1）这段匀速运动的时间内，列车行进的路程（单位：）与运行时间(单位：)的关系如何表示？这是一个函数吗？（2）有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到后，运行就前进了”，你认为这个说法正确吗？你能确定这趟列车运行多长时间前进吗？（3）根据初中函数的定义，如何使用更精确的语言来表示与的关系呢？师生活动教师给出问题提干和（1）后，提醒学生先不要看教科书，随机抽取部分学生的答案投屏到大屏幕上，教师点评答案，引导学生用“变量说”表述。第（2）问以同样的方式点评学生的答案，引导学生讨论所给说法不正确的原因，以及为什么无法确定列车前进所需的运行时间，从而使学生认识到给定自变量变化范围的重要性。第（3）问让学生思考如何表述与的关系，教师在与学生一起讨论的基础上给出表述的示范。设计意图问题1中，通过（1）引导学生回顾“变量说”，裴艳红用定义做判断的思维习惯；通过（2）激发认知冲突，发现“变量说”不严谨，通过（3）让学生在关注到与的关系的变化范围后，尝试用更精确的语言表述函数概念。问题2某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。（1）你认为该怎样确定一个工人的每周工资所得？（2）一个工人的工资(单位：元）是他工作天数的函数吗？（3）你能仿照问题1的方式刻画这个函数吗？（4）问题1和问题2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？师生活动对于（1），多数学生可能给出正确答案。对于（2），可以设计成判断题，并让学生给出判断依据。对于（3），可以让学生模仿问题1的表述给出。对于（4），教师引导学生讨论后得出结论：判断两个函数是否相同，不能只看对应关系是否相同，还要看自变量的变化范围是否一样。设计意图让学生先用“变量说”判断是的函数，再尝试用不同方法表示函数，为认识函数对应关系作准备，最后让学生模仿问题1的表述方法描述函数，在熟悉“对应关系说”表述方式的同时，训练抽象概括能力。并促使学生思考确定函数的基本要素，进一步认识自变量取值范围的重要性。问题3如图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI）变化图。（1）你能从图中找到16时的AQI值吗？如何确定任一时刻的值？（2）你能仿照前面的说法刻画这个函数吗？师生活动对于（1），学生给出的答案可能不一样，教师点评时要帮助学生理解其原因（测量有误差），并让学生思考、回答16时的值是否唯一存在。在此基础上，再让学生思考如何确定任一时刻的值，引导学生体会图像表示的对应关系的实质，明确由确定的值找出对应的值的方法和步骤。对于（2），时间的变化范围很容易得出，但不容易得出空气质量指数的变化范围。教师引导学生将的范围扩大为，从而得到了对应的函数表述。设计意图学生理解用图象表示的函数，确定其中的对应关系有困难，特别是在值域不能精确给定时，用过引入一个较大范围的集合，使函数值落入其中，这是学生经验中不具备的。实际上，如果以映射观点看，这时的映射就是非满射。值得注意的是，确认图象就是函数的对应关系需要通过想象才能完成，这也是培养学生理性思维的一个契机。问题4国际上常用恩格尔系数（食物支出金额/总支出金额×）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。如表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该城镇居民的生活质量越来越高。（1）你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？（2）你能仿照前面的说法刻画这个函数吗？师生活动对于（1），分别请答案“是”与“不是”的学生说明理由。在学生回答的基础上，教师强调一定要根据函数的定义进行判断。对于（2），让学生分组练习用集合语言与对应关系刻画函数，教师根据学生的回答进行点评。追问根据日常生活经验，再由恩格尔系数的定义，你认为的取值范围应该是什么？通过上述追问，学生对的变化范围的认可程度就会比较高了。在此基础上再让学生给出相应的描述。然后，教师可以引导学生进一步明确，对于表中的任意一个年份，都有唯一的与之对应，虽然中的数不一定都有对应的，但中任意一个在中对应的具有存在性和唯一性。设计意图通过问题4使学生明确函数对应关系不仅可以用解析式、图象表示，还可以用表格表示，为抽象出函数对应关系作准备，并且进一步体会确定函数需要哪些要素。另外，通过此问题还要让学生明确，对于一类实际问题，往往很难给定函数值的精确范围，为了方便，我们采取扩大范围的方法把函数值包含在内。问题5：上述问题1—问题4中的函数有哪些共同特征？师生活动给学生充分思考的时间，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程。给出右表帮助学生思考。在学生独立思考的基础上，再进行小组交流。通过独立思考、合作学习等，教师再引导学生归纳处共同特征。从而得到函数的定义。环节三：例题练习，巩固理解例1：用新的函数定义重新表述一次函数、二次函数与反比例函数。师生活动教师再学生自己用自己的语言进行表述的基础上，帮助学生完善表述。这个问题的困难在对应关系的刻画，教师应提醒学生按新的函数定义的叙述方式，先确定定义域、值域，在明确对应关系把自变量对应到哪个函数值。例2：试构建一个问题情境，使其中函数的对应关系可以用解析式来描述。师生活动让学生独立思考、小组交流。设计意图让学生进一笔体会函数的广泛应用性，从另一个侧面加深对函数概念的理解。环节四：小结提升，形成结构问题6你认为正方形的周长与边长的对应关系是正比例函数相同吗？函数与是否相同？为什么？师生活动教师根据学生的回答引导学生从函数的定义与要素进行判断。课堂小结（1）什么是函数？其三要素是什么？（2）对于对应关系，你有什么认识？（3）与初中的函数概念相比，你对函数有什么新的认识（4）结合本节课的学习过程，你对函数概念的研究方法有什么体会？目标检测设计(一)作业单1．下列集合A到集合B的对应是函数的是()答案A2．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是()A．x＝eq\f(2,y) B．3x＋2y＝1C．x＝2y2＋1 D．x＝eq\r(y)答案C3．【多选题】已知集合，在下列A到B的四种对应关系中，存在函数关系的是()答案AC4．【多选题】下列图象中能作为函数图象的是()答案ACD5．设集合，下图所示的4个图形中能表示集合M到集