2024届泉州高三1月质检（二）数学试题含答案

保密★使用前

泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）

2024.01

高三数学

本试卷共22题，满分150分，共8页。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内

作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号;

非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.设集合4=卜,一2〉。｝,B=|x|x（x-2）＜3x-61,则4nB=

A.（3,+oo）B.（2,+oo）C.（2,5）D.（2,3）

2.已知复数Z]=cos'|+isin/,z2=\,则ZR?在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知6e（0,兀），sin。=cos。，则sin6cose=

A.—V2B.—C.—D.V2

22

4.己知圆柱母线长等于2,过母线作截面，截面的最大周长等于8,则该圆柱的体积等于

A.兀B.2TIC.4TID.8兀

5.函数/（x）的数据如下表，则该函数的解析式可能形如

X-2-101235

/(x)2.31.10.71.12.35.949.1

A.f(x)=kaM+bB.f(x)=kxex+b

C.f(x)=k\x\+bD./(x)=A：(x-1)2+b

22

6.若抛物线必=以与椭圆氏A+f—=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E

的离心率为

A.也二B.避二!•C.V2-1D.V3-1

22

7.某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田

赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类

项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于

A.70B.140C.252D.504

41

8.已知函数/(x)=2+」一(lWxW3).若函数y=/(x)-a存在零点，则a的取值范围为

x4-x

97713

A・[了子B.弓§]5泮D.「

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.抛掷一枚骰子，设事件4=”出现的点数为偶数”，事件3="出现的点数为3的倍数”,

则

A.4与3是互斥事件B.NUB不是必然事件

C.P(AB)=1D.P(JUB)=-|

10.已知定义在R上的函数，(x)满足/(x+l)=-/(x),当时，/(x)=2x,当xe(0,g]

时，/(x)=sin7ix,则

A./(1)-/(|)=0B./(-1)-/(y)=0

C./(|)+/(|)^0D./(|)+/(|)^0

11.已知抛物线C:/=4y的准线为/,焦点为F,过户的直线加与。交于4,5两点，则

A./的方程为歹=-1B./与以线段为直径的圆相切

C.当线段25中点的纵坐标为2时，|NB|=3D.当加的倾斜角等于45。时，|4却=8

12.在空间直角坐标系。中z中，Z（0,0,0）,B（l,l,0）,C（0,2,0）,D（-3,2,1）112,2,1）在球厂的

球面上，则

A.DE//ABC

B.球R的表面积等于100兀

C.点。到平面/CE的距离等于争

D.平面48与平面NCE的夹角的正弦值等于1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平行四边形"CD中，方=（1,2）,AD=（4,-2）,贝”就|+|而卜.

14.数列｛%｝中，％=1,a“+i=%+2",则%=_________.

15.已知直线/：x+y=2,圆。被/所截得到的两段弧的长度之比为1:3,则圆。的方程可以

为.（只需写出一个满足条件的方程即可）

16.若2x2-2x+alnxN0,则0的取值范围为.

四,解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

等差数列应｝和等比数列低｝中,4=4=2,.+4=5,%+2&=。・

（1）求｛%｝的公差d；

（2）记数列｛a也｝的前〃项和为S”,若a”>0,求S2。.

18.（12分）

教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试

工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高

一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.

高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在［5,10）的男生有4人.

高二男生成绩（单位：cm）如下：

10.212.86.46.614.38.316.815.99.717.5

18.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5

（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；

（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm,

高二男生为16.1cm.

已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列2x2列联表，依据小概

率值a=0.005的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？

等级

良好及以上良好以下合计

年级

高一

高二

合计

附.八______"(ad—bcY______

其中〃=a+b+c+d.

•(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.0100.0050.001

%3.8416.6357.87910.828

19.（12分）

如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体力次⑦。.

(1)求证：尸4〃平面Q5C；

(2)求平面尸CD与平面05c的夹角的正弦值.

20.（12分）

一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，

摸出的球不再放回.

(1)求第2次摸到红球的概率；

(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为耳；第1次摸到红球的概率为£；在第1次摸到红

球的条件下，第2次摸到红球的概率为月；在第1,2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球

的概率为用.求百，2，玛之；

(3)对于事件4SC，当尸(48)>0时，写出尸(⑷,尸(5|4),尸(。|48),「(43。)的等量关系

式，并加以证明.

21.（12分）

△Z3C的内•角4瓦。所对的边分别为a,6,c.已知办=百，‘山，士且="£.

sin5+sinCa-c

(1)若。=工,求〃；

6

2

(2)点。是△4BC外一点，ZC平分NAW,且44。。=一兀，求△8CD的面积的取值

3

范围.

22.（12分）

动圆。与圆£:（x+石>+必=4和圆。2：（x-6>+丁2=4中的一个内切，另一个外切,

记点。的轨迹为E.

（1）求E的方程；

33

（2）已知点（w<f<5）,x轴与E交于4,8两点，直线与E交于另一点P,

40

直线与E交于另一点。，记八eM,Z\PQ0的面积分别为B.S?.若S2=jyB，求直线

P0的方程.

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泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）

2024.01

高三数学

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

等差数列｛%｝和等比数列出｝中，q=仇=2,%+4=5,%+24=0.

（1）求｛〃,｝的公差1；

（2）记数列｛“也｝的前〃项和为S.,若°“>0,求$20.

【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列与数列求和等知识，考查运算求解等能力,

考查函数与方程、化归与转化等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心

素养的关注.

【试题解析】

解法一；

导12+2d+2/=5,..........................................2分

(1)设等比数列也｝的公比为4，由题意，彳12+4d+40=0,

整理，得[2/+24=3,........................

............................................................................3分

[2q+2d+1=0,

q=-1,q=2,

解得|1或|5

d=~,d=一不,

I2I2

故d——或d——..............................................................................................................5分

22

q=-1,q=2,

(2)由(1),得11或J5

d=—,d=

I2I2

q-T

因为%>0，所以d>0,故11

d——,

I2

"-i-a

从而2=专，"=2-(一1)"7,.......................................................................................7分

告—"兴b*\斗m石金M1r^-t/II'八rti"、

a也=5+3)x(-l)"T,

所以邑0=(4-5)+(6-7)+…+(22-23)=--10............................................................10分

解法二：

+2d+2/=5,..........................................2分

(1)设等比数列也｝的公比为q,由题意，得12+4d+4q=0,

整理，得]2q2+24=3,...........................

.........................................................................3分

[2g+2d+1=0,

消去g,得4屋+8d-5=0,..............................................................................................4分

解倚d——或d——・.......................................................................................................5分

22

q=-1,q=2,

(2)由(1),得1或，5

d=~,d=

I2I2

q-T

因为%>0，所以d>0,故《I

d——,

L2

从而%-审，6“_2-(一1广、.......

........................................................................7分

a也三("+3)x(_l)i,

10x(4+22)10x(5+23)

所以邑0=(4+6+8+…+22)-(5+7+9+•••+23)=---------------------------------=—1U.

22

......................................................................10分

告-----来斗日京g/+P八京、

18.（12分）

教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试

工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高

一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.

高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在［5,10）的男生有4人.

高二男生成绩（单位：cm）如下：

10.212.86.46.614.38.316.815.99.717.5

18.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5

（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；

（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm,

高二男生为16.1cm.

已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列2x2列联表，依据小概

告-----来斗日京grE*/+P八京、

运算求解、数据处理等能力；考查数形结合等思想；体现基础性与应用性，导

向对发展数据分析、数学运算、数学建模等核心素养的关注.

【试题解析】

(1)依题意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.....................1分

4

因为高一男生成绩在［5,10)的男生有4人，所以ax5=^=0.1,解得a=0.02.

由(0.01+4+0.07+6+0.04)x5=1,解得6=0.06............................................................2分

由样本估计总体，可估计高一年男生成绩的平均数

豆=(2.5x0.01+7.5x0.02+12.5x0.07+17.5x0.06+22.5x0.04)x5.............................3分

=12.5+(-10x0.05-5x0.1+0x0.35+5x0.3+10x0.2)=15.....................................4分

由20x0.4=8,可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值，

........................................................................................................................................................5分

高二年男生“坐位体前屈”成绩在［5,15)有7人，［15,20)有8人，

所以第40百分位数加在［15,20)中，故”?=69厂8=16.35,

由样本估计总体，可估计高二年男生成绩的第40百分位数为16.35.......................6分

(2)根据样本，知高一男生成绩良好及以上占50%,良好以下占50%,高二男生成绩良好

及以上占2=60%,良好以下占2=40%,由样本估计总体，可得2x2列联表如下：

2020

良好及以上良好以下合计

高一300300600

高二300200500

合计6005001100

....................................................................................................................................................8分

零假设为：该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关.

2

根据列联表中的数据，WZ2=H00(300X200-300X300)=11〉7.879=/oo5……11分

600x500x600x5000005

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断久不成立，即认为“坐位体前屈”成绩

等级与年级有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.12分

告—兴卜*\斗日石g/舌/八京、

19.（12分）

如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体尸/3C。。.

（1）求证：PA〃平面Q3C；

（2）求平面PCD与平面08C的夹角的正弦值.

【命题意图】本小题主要考查直线、平面间的平行，平面与平面的夹角等知识；考查空间想

象能力、推理论证及运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想；体

现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核

心素养的关注.

【试题解析】

解法一：

（1）连结交于点O,连结易证PO_L平面/BCO,0。_1平面/2。，

所以尸,0,0三点共线，....................................................1分

因为尸0nze=o，所以确定平面尸/0C,.....................................................2分

又因为PN=PC=2,AC=2桓,

所以PR?+PC?,故//尸c=90°,MAPAC=APCA=45°,

同理，可得△0/C中N/QC=90。，S.ZQAC=ZQCA=45°,...................................3分

ikZPAQ+ZAQC=lSO°,从而P/〃0C,......................................................................5分

又尸/<Z平面。3C,QCu平面08C,

所以尸/〃平面QBC............................................................................................................6分

告-----兴卜*\斗日石也/4+-八京、

p£

p

（2）分别取5C,CD的中点，AC[}BD=O,由题意，可知。尸。河。N两两垂直，

........................................................................................................................................................7分

以。为原点，分别以而，砺，丽的方向为x轴、》轴、z轴的正方向建立空间直角坐

标系Oxyz,

则尸(0,0,后)，£>(-1,1,0),C(l,l,0),5(1,-1,0),2(0,0,-72),

MFC=(1,1-72),P5=(-1,1,-V2),2C=(1,1,V2),2S=(1,-1,V2).................8分

…，即]%+必_V2Z[=0,

设平面PCD的法向量4=（再，M,4）,则

/1PD,、一再+M-亚z、=0,

M~0,I-

整理，得(厂令4=1,得％=(0,V2,l),9分

必=j2zi，

一空，即%+%+V2Z2=

设平面QBC的法向量%=（%，%，Z2）,则＜

x-y+Z

n2LQC,22V22=0,

整理，得]%=一任2,令4=1,得/=（-我,0,1）,...................................................10分

、%二°,

设平面PCD与平面QBC的夹角为。,则cos。=|cos(n1,n2)|=j,

所以sin6=V1-cos23=2收......................................12分

3

告-----兴卜*\斗日京grF/4+-C京、

解法二：

Cl）连结NC,8。，交于点O,连结P。,。。，易证尸O_L平面/BCO,QO_L平面/BCD,

所以P,。,。三点共线，易证得两两垂直，且交于点O..........................1分

以。为原点，分别以瓦，反，历的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标

系Oxyz，

........................................................................................................................................................2分

则尸（0,0,行），N（0,-收,0）。（-行,0,0）,C（0,V2,0）,5（72,0,0）,。（0,0,-女），

从而百=（0,-拒，-拒），QC=（0,42,42）,

故方=-无，.............................................................3分

又/e0C,所以P/〃。C,................................................................................................4分

又尸/（Z平面。3C,QCu平面Q3C,

所以尸/〃平面03c.............................................................................................................6分

(2)由(1),得定=(0,夜，一逝)，PZ)=(-V2,o,-V2),2C=(0,V2,V2),0S=(V2,O,V2)

则卜“三即!岛-鸟=o,

设平面PCD的法向量々=（X],必,Z]）,

nx_LPD,[-后项-42zi=0,

整理，得令得％

“=z”z=l,..................................................................8分

1占=一4，

告-----来斗日石也rE/+P八京、

则,"2_LQB,即,缶2+隹=。，

设平面QBC的法向量/=（工2/2/2），

n2J_QC,血丫2+V2Z2=0,

整理，得卜2,令？2=1,得〃2=（-1,一1,1）,

..............................10分

[%=一Z2，

n1-1+11

cos仇,骰）=}11分

I«iII«21V3-V33

设平面尸CO与平面Q8C的夹角为。，贝〕JcosO=kosM，"2〉|=；,

所以sin0=A/1-COS20=.................................12分

3

解法二：

（1）连结NC,AD,交于点。，连结尸0,00,易证尸O_L平面/BCD,QO1ABCD,

所以尸,O,。三点共线，....................................................1分

因为PQn/C=O，所以尸。，/C确定平面尸NQC,............................2分

又尸。=。。，AO=OC,所以四边形尸/QC平行四边形，....................3分

所以PN〃0C,..............................................................4分

又尸/（Z平面Q3C,0Cu平面Q3C,........................................5分

所以R4〃平面Q5C.........................................................6分

（2）设平面平面尸C。的法向量为/«,平面Q3C的法向量为〃，平面。与平面PCD的夹

角为6,贝!Jcos。=|cos（私...............................................7分

告-----来斗日京gcE*/4+-八京、

由（1）知上4〃平面Q8C,同理，可得PD〃平面Q5C,

又尸4尸Du平面P/D,且己4口尸£»=尸，所以平面尸〃平面Q8C,

所以平面。3C的法向量盟是平面尸/£＞的法向量，

设平面PAD与平面PCD的夹角为a,则cosa=|COS(/M,M)|,

从而cosa=cos0,................................................................................................................8分

取尸D的中点£,连结NE,C£,则/£_LP。，CE1PD,

又EePD,/Eu平面4PD,CEu平面CP。，

所以N/EC是二面角N-PD-C的平面角，.................................10分

在中，AC=242,AE=CE=C,

由余弦定理，得cos乙4EC=E4+£0,即C0S//EC=3+38=',

2-EA-EC2-33

从而cos。=|cosN/EC|=；,..............................................................................................11分

所以sin。=A/1-COS23=马2..........................................................................................12分

3

告-----来斗日京g八京/+P八京、

保密★使用前)

泉州市2024届高中毕业班质量监测(二)

高三数学

20.(12分)

一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球,

摸出的球不再放回.

(1)求第2次摸到红球的概率；

(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为4；第1次摸到红球的概率为£；在第1次摸到红

球的条件下，第2次摸到红球的概率为月；在第1,2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球

的概率为月.求耳线出，月;

(3)对于事件48,C,当尸(N团＞0时，写出尸(/)¥(8|/)*(。|/3),尸(456的等量关系

式，并加以证明.

【命题意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等知识；考查运算求解、推理论证等能

力；考查化归与转化等思想.体现基础性、应用性和综合性，导向对发展数学

运算、数学抽象等核心素养的关注.

【试题解析】

解法一;

(1)记事件“第i次摸到红球”为耳(;1,2,3,…,10),则第2次摸到红球的事件为外，…1分

于是由全概率公式，得尸⑷=尸⑷尸⑷4)+尸⑷尸他㈤3分

72377

=—x—|---x——=—4分

10310910

(2)由已知，得6=，5分

7

舄=尸(4)=而，6分

）一团10_710_2

R=P（A\AI=--——=-丁x—=—x—=—7分

3一2IX"F（4）4o71573

告-----夹人*\斗日京/、H/44-117S"\

网444）=7〉155

制=尸（匈44）=-X8分

24V8,

（3）由（2）可得月=4月月，即尸（444）=尸（4）尸（4|4）尸（4|44），

可猜想：尸（4BC）=P（4）尸（2⑷尸©48）,..................................9分

证明如下：由条件概率及尸（4）＞0,尸（48）＞0,

得呼止篇,心曲.310分

所以尸（/）P（2⑷尸（斗8）=2（/）.3^.北工

=P（ABC）.12分

解法二:

（1）记事件“第i次摸到红球”为&（i=l,2,3,…,10）,则第2次摸到红球的事件为玲，.....1分

于是4=44U44，.......................................................2分

故尸（4）=尸（44U%4）=P（4a）+P（^X）.................................3分

一丝+@_工.....................................4分

4o4o909010

（2）设事件“第1,2,3次都摸到红球”，事件“第1次摸到红球”，事件“第1次摸到红球的条件

下第2次摸到红球”，事件“第1,2次均摸到红球的条件下第3次摸到红球”的四个事件的

事件样本点个数和样本空间的样本点个数分别为乙，N,（i=l,2,3,4）,则由古典概型计

算公式，得

（3）同解法一................................................................12分

告-----夹b日京gc京/44-117S"\

21.（12分）

△/8C的内角48,C所对的边分别为a,6,c.已知6=6，皿('+.)=三.

sin5+sinCa-c

(1)若。=色，求a；

6

2

(2)点。是△/BC外一点，4c平分NR4D,且44DC=-兀，求△8。的面积的取值

3

范围.

【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换、导数的应用等知识，考查推理论证、

运算求解等能力，考查数形结合和化归与转化等思想，体现综合性与应用性，导

向对发展直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养的关注.

【试题解析】

解法一：

(1)在△N8C中，由正弦定理，得_乙=_2—=—L=2R,

sinAsinBsinB

所以sin4=—,sinB=—,sinC=—,

2R2R2R

又A+B+C=冗,得B+C=TI-A,故sin(5+C)=sin(兀-4)=sin^4,

所以sin(5+C)_sin/_a

sin5+sinCsin5+sinCb+c

从而sin（'+O=吐£,可化为，=竺£

...........................................................1分

sinB+sinCa-cb+ca-c

整理，Ma1+c2—b1=ac,2分

由余弦定理'得cos”些线—

2

因为BE(O,兀)，所以5=

又。=三,所以4=兀一（5+0）=],

所以在RtZXZBC中，b=6C=~,且cosC=2,解得Q=2.

6分

'6a

告-----夹b日京皿/44-117S"\

(2)由(1)得，B=—,

3

27rTC

因为/C平分/BAD,S.ZADC=—,故设/8/C=ZCMC=0,ee(0,§)

在△NBC中，由正弦定理，得———=—,即百-=空，解得3C=2sin。，

sinZABCsin。.兀sin。

sin—

3

在△/DC中，由正弦定理，得———=0-,即7|-=0_,解得CO=2sinO,

sinZADCsin6»,27rsin。

sin——

3

IT27r

又四边形Z5C7)中，B=~,ZADC=—,ABAD=20,所以N5CD=TI—26,

33

所以S^BCD=)BCCDsin/BCD

=2sin20-sin(7i-20)

=2sin26•sin2。

=(1一cos26)sin2。

=sin20--sin40................................................................................................9分

2

1IT

令/(%)=sin2x--sin4x,xG[0,y],则

/f(x)=2cos2x-2cos4x

=-2（cos2x-1）-（2cos2x+1）.......................................................................................10分

从而仆）＞。，所以小）在畤单调