高考数学一轮复习题型与专项训练：直线与圆锥曲线的位置关系（题型战法）

第八章平面解析几何

8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系（题型战法）

知识梳理

一直线与椭圆的位置关系

..片h<m.

直线与椭圆\+g=l（a>6>0）的位置关系的判断方法：联立丁J

消去了得到一个关于X的一元二次方程.

/>0=有两个公共点；』=0=有一个公共点；/<0=有o个公共点.

二直线与双曲线的位置关系

设直线/：y=kx+m（加加），①双曲线C：0W=1（。>0,6>0）,②

222222

把①代入②得（所-次左2）x-2amkx-am-ab=0.

（1）当层〃左2=0,即仁/时，直线/与双曲线。的渐近线平行，直线与双曲线，相交于一点.

（1

（2）当加-层储加，即划土立时，/=（-2〃加左）2_4（〃一〃2庐）（_〃2加2_/62）.

fj

/>0今有两个公共点；』=0今有一个公共点；』<0今有0个公共点.

三直线与抛物线的位置关系

直线>=区+6与抛物线产=28。>0）的交点个数决定于关于X的方程组‘"解的个数，即二

lr=2px

次方程左2（+2（劭-p）x+b2=0解的个数.

当厚0时，若/>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点；若/=0,直线与抛物线有一个公共点；

若/<0,直线与抛物线没有公共点.

当左=0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点.

四弦长公式

若斜率为H后0）的直线与圆锥曲线相交于N（xi,以）,8（x2,/）两点，则口|=>"福而

题型战法

题型战法一直线与圆锥曲线的位置关系

22

典例1.直线y=2x-i与椭圆士+匕=1的位置关系是（）

94

A.相交B.相切C.相离D.不确定

22

变式1-1.直线y=x+2与椭圆L+匕=1有两个公共点，则m的取值范围是（）

m3

A.（-oo,0）u（l,+oo）B.（0,3）u（3,+oo）C.（1,3）u（3,+oo）D.

变式1-2.过尸（0,2）且与双曲线2f-y2=l有且只有一个公共点的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

22

变式1-3.若直线y=依与双曲线土-匕=1相交，则左的取值范围是

94

A・［端B.1C.口.（1,+-

变式1-4.过点（0,2）与抛物线y2=8%只有一个公共点的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.无数条

题型战法二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题

典例2.已知椭圆C:三+上=1的左、右焦点分别为耳、过乙且斜率为1的直线/交椭圆c于/、

43

8两点，则|明等于（）

D,也

A2412「1272

ABR-7

-T77

变式2-1.直线＞=x+冽与椭圆］+产=1交于/,8两点，若弦长|,则实数m的值为（）

A.土!B.±1

D.±2

2C-

变式22直线x-y=O与双曲线2f-/=2有两个交点为A,B,则|的=（）

A.2B.272C.4D.472

变式2-3.已知抛物线y2=4x的焦点为尸，过点尸且倾斜角为45的直线/与抛物线分别交于A3两

点，则|明=（）

A.1B.3C.6D.8

22

变式24过双曲线]-《=1（稣0）的右焦点尸作直线/与双曲线交于A,8两点，使得|AB|=6,

若这样的直线有且只有两条，则实数。的取值范围是（）

A.（0,l]u（3,+«）B.（0,1）（3,同

C.（0,1）D.（3,+8）

题型战法三圆锥曲线的中点弦问题

22

典例3.如果椭圆a+方=1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）

A.x-2y=0B.x+2y-4=0

C.2x+3y—14=0D.%+2y-8=0

22

变式3-1.已知双曲线c：,左=i（“>o力>o）与斜率为1的直线交于/,8两点，若线段N8的中点

为（4,1）,则。的离心率e=（）

A.V2B.—C.&D.6

32

变式3-2.已知双曲线。的中心在坐标原点，其中一个焦点为尸（-2,0）,过尸的直线/与双曲线C

交于2、8两点，且Z8的中点为N（-3,-1）,则。的离心率为（）

A.V2B.—C.好D.73

32

2

变式3-3.已知双曲线C:Y年=1（6>0）的离心率为2,过点“3）的直线与双曲线。交于4,B

两点，且点尸恰好是弦A3的中点，则直线AB的方程为（）

A.2x-y-3=0B.2x+y-9=0C.3x-y-6=0D.%+y-6=0

变式3-4.已知抛物线C：J=6y,直线/与。交于48两点，若弦A2的中点为（1,4）,则直线/

的斜率为（）

A.——B.3C.-D.一3

33

题型战法四圆锥曲线中的向量问题

典例4.已知尸为椭圆C：£+V=i的右焦点，尸，。为椭圆C上两个动点，且满足"2,则外.。户

4

的最小值为（）

A.V3B.2C.7-4括D.2-y/3

变式4-1.椭圆9+产=1的焦点为耳，外，点M在椭圆上，且町•Mg=0,则M到y轴距离为（）

A.3B.242C.—D.—

33

变式42已知椭圆C:/]=l,若直线/经过河（0,1）,与椭圆交于A、8两点，且--辆，

则直线/的方程为（）

112

A.y=±-x+lB.y=±-x+lC.y=±x+lD.y=±-x+l

2

变式4-3.经过双曲线/一（=1的右焦点作倾斜角为45。的直线/,交双曲线于A,5两点，设。为

坐标原点，则。05等于（）

A.-1B.1C.2D.-2

22

变式4-4.已知双曲线C：*■-齐=1(。>0,6>0)的右焦点为尸，B是虚轴的一个端点，线段即与C

的右支交于点若BM=3MF,则C的渐近线的斜率为()

A.±2B.C.土逅D.土巫

333

题型战法五圆锥曲线中的定点、定值、定直线

典例5.已知椭圆C：/■+/=l(a>b>0)的右顶点是M(2,0),离心率为

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)过点7(4,0)作直线/与椭圆C交于不同的两点48,点8关于x轴的对称点为。，问直线

是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

22

变式5-1.已知椭圆E*+方=1(“>6>0)的左、右焦点分别为耳、工，”是椭圆的上顶点，且△叫入

是面积为1的等腰直角三角形.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知直线/:x-0y+l=O与椭圆E交于45两点，判断椭圆E上是否存在点P,使得四边形

O/P8恰好为平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

变式5-2.已知椭圆C£+g=1(。>6>0)的长轴的两个端点分别为A(-2,0),3(2,0)离心率为3.

ab2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)"为椭圆C上除8外任意一点，直线40交直线X=4于点N,点O为坐标原点，过点。且

与直线8N垂直的直线记为/,直线交了轴于点P,交直线/干点0,求证：畏j为定值.

22

变式5-3.已知双曲线C：方=1(“>°，"°)的右焦点为P，左顶点为/，且照=2+卮P到

。的渐近线的距离为1,过点3(4,0)的直线/与双曲线。的右支交于P,0两点，直线NP,与〉

轴分别交于"，N两点.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)若直线M3,N5的斜率分别为勺，k2,判断左他是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说

明理由.

变式54已知椭圆Cj+A(a>“。)的离心率为冬且过点心

(1)求椭圆C的方程；

(2)点A关于原点。的对称点为点B,与直线AB平行的直线/与C交于点M,N,直线A"与3N交于

点尸，点尸是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

题型战法六圆锥曲线中的最值、范围

典例6.已知椭圆C：5+/l(a>b>0)经过点"其右焦点为46。).

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若点尸，。在椭圆C上，右顶点为A,且满足直线AP与A。的斜率之积为5.求4尸。面积的最大

值.

变式6-1.已知椭圆£+]=1的左右焦点分别为耳，尸2,离心率为巫，尸是椭圆上一点，且APG与

ab2

面积的最大值为1.

(1)求椭圆的方程；

(2)过F?的直线交椭圆于M,N两点，求的取值范围.

变式6-2.设双曲线C:]-产=1,其右焦点为尸，过尸的直线/与双曲线。的右支交于5两点.

(1)求直线I倾斜角。的取值范围；

(2)直线N。(O为坐标原点)与曲线C的另一个交点为。，求面积的最小值，并求此时/

的方程.

变式6-3.已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为竽，且过点(通,1).

(1)求双曲线的标准方程；

(2)双曲线的左右顶点为A,3,且动点C(〃[,〃)，。(租,-〃)在双曲线上，直线2C与直线AD交于点P,

贝-也0),7V(A/2,O),求俞.乐的取值范围.

变式6-4.已知抛物线C：f=2py(p>0)的焦点到准线的距离为2,直线/：y=履+2交抛物线于

4(%，%)，双9，％)两点.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点A,8分别作抛物线C的切线乙，4，点？为直线4,4的交点.

(i)求证：点尸在一条定直线上；

(ii)求面积的取值范围.

第八章平面解析几何

8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系（题型战法）

知识梳理

一直线与椭圆的位置关系

「尸=红+而

直线〉=区+加与椭圆工+白=1伍乂>0）的位置关系的判断方法：联立Jr

"6尸=L

消去了得到一个关于x的一元二次方程.

/>0=有两个公共点；/=0n有一个公共点；/<0n有。个公共点.

二直线与双曲线的位置关系

设直线/：y=kx+m（加用），①双曲线C：=£=1（a>0,b>0）,②

er-hr-

才巴①代入②得（加-层炉）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.

（1）当〃-次严=0,即上土S时，直线/与双曲线。的渐近线平行，直线与双曲线，

fl

相交于一点.

（2）当〃-次左2加，即厚时,/=（-2层加左）2-4（反-）（_〃2加2_〃2力2）.

/>0o有两个公共点；/=0o有一个公共点；/<0今有。个公共点.

三直线与抛物线的位置关系

直线〉=任+6与抛物线V=2Q；S>0）的交点个数决定于关于X的方程组："’解

Lr=2Ax

的个数，即二次方程左2/+2（姑一Mx+〃=0解的个数.

当好0时，若/>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点；若』=0,直线与抛物线

有一个公共点；若/<0,直线与抛物线没有公共点.

当左=0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点.

四弦长公式

若斜率为左（导0）的直线与圆锥曲线相交于“（xi,yi）,B（X2,>2）两点，则|“用=

\/(l+FM(jfi+x2)2-4jrR].

题型战法

题型战法一直线与圆锥曲线的位置关系

22

典例1.直线y=2x-i与椭圆一+。=1的位置关系是()

94

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】A

【分析】根据直线恒过且(0,-1)在椭圆内可直接得到结论.

八2i21

【详解】在椭圆内，

22

.~=2%-1恒过点(0,—1),•••直线y=2x-l与椭圆土+?=1相交.

故选：A.

变式1-1.直线丫=尤+2与椭圆工+£=1有两个公共点，则m的取值范围是()

m3

A.(-oo,0)o(l,+oo)B.(0,3)u(3,+oo)C.(l,3)u(3,+oo)D.(L+oo)

【答案】C

【解析】联立直线和椭圆方程得［：丁+22得力＞1或机＜0,又因为机＞0,m23,

综合即得解.

【详解】联立直线和椭圆方程得I；："：々，

+my=3m

所以(3+m)x2+4mx+m=0,

所以A=16/-4皿加+3)＞0,

所以机＞1或m＜0,

因为机＞0,mw3

所以机＞1且加。3.

故选：C

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学

生对这些知识的理解掌握水平.

变式1-2.过P(0,2)且与双曲线2/_V=1有且只有一个公共点的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.

【详解】当斜率不存在时，过P的直线与双曲线没有公共点；

当斜率存在时，设直线为、=丘+2,联立,；；：：：］，得（2-公卜2一45=0①.

当2-斤=o，即左=±忘时，①式只有一个解；

当2—左2/0时，贝l1A=16左2+20（2—左2）=0,解得4=土国；

综上可知过网0,2）且与双曲线2/=1有且只有一个公共点的直线有4条.

故选：D.

22

变式1-3.若直线＞=近与双曲线土-工=1相交，则上的取值范围是

94

【答案】C

【分析】联立直线和双曲线的方程得到无2=丁之＞0,即得上的取值范围.

4-9k

【详解】联立直线和双曲线的方程得4x2-9k2x2=36,.-.（4-9/）/=36,

2

当4-9/=0,即/=±（时，直线和双曲线的渐近线重合，

所以直线与双曲线没有公共点.

2

当4-9rw0,即左w±|•时，%=2＞0,

34-9k

22

解之得

故选：C.

【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握

水平和分析推理能力.

变式1-4.过点（。，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.无数条

【答案】C

【详解】因为点（0⑵在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1

条和对称轴平行，故3条.

题型战法二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题

22

典例2.已知椭圆C:三+上=1的左、右焦点分别为耳、F,过工且斜率为1的直线

432

/交椭圆C于/、5两点，则|AB|等于（）

A.胃B.上C.区D.处

【答案】A

【分析】利用弦长公式求解即可.

22

【详解】设直线方程为，="1,联立椭圆方程工+匕=i

43

整理可得：7炉—8%-8=0,设尤2，%），

则%+%='!，根据弦长公式有：

A5=J1+左?,J（X]+X2）2—4玉・九2二亍・故B,C,D错误.

故选：A.

变式2-L直线y=x+加与椭圆]+丁=1交于4,2两点，若弦长出洌=乎，则实

数m的值为（）

A.+-B.±1C.±-D.±2

22

【答案】B

【分析】联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，结合|胴|求得加的

值.

y=x+m

【详解】设4（xi,yi）,B（%2,"）,联立＜f,整理可得：3x2+4mx+2m2-2

——+y=1

12

4m2m2-2

=n0,贝UXl+X2=---,X1X2=------,

33

所以弦长MB尸W.河ww=J1W_4wn;后卜普,

由题意可得：21=半=在白子,解得：m=±l.

故选：B

变式2-2.直线％-y=0与双曲线2f_y2=2有两个交点为A,B,则|他|=（）

A.2B.2应C.4D.4垃

【答案】C

【解析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距

离.

2尤2_,2=2大1=6X2=_A/2

【详解】由,得

x-y=O卜=6%=一也

■■\AB\=J仅0”(2鬲=4.

故选：C.

变式2-3.已知抛物线丁=4尤的焦点为歹，过点歹且倾斜角为45的直线/与抛物线

分别交于A3两点，则|4?|=（）

A.1B.3C.6D.8

【答案】D

【分析】由题意可得直线/与的方程为>=x-l,代入抛物线方程得Y一6x+l=0,根

据韦达定理与焦半径的公式即可求出|钙|的值.

【详解】解：由题意可知尸（1,0）,所以直线/与的方程为y=x-i,

联立直线方程和抛物线方程[丁丁，可得x2-6x+l=0,

U=4x

设4%,、1）,8（孙为），

则占+%=6,XjX2=6,

所以|他|=|4尸|+|3尸|=芯+尤2+夕=6+2=8.

故选：D.

22

变式2-4.过双曲线1r-q=1（°>0）的右焦点尸作直线/与双曲线交于A,8两点,

使得|AB|=6,若这样的直线有且只有两条，则实数”的取值范围是（）

A.（0,1]U（3,+OD）B.（0,1）（3,问

C.（0,1）D.（3,+8）

【答案】B

【分析】分别求解A,8在同一支上和不在同一支上IABI*,结合这样的直线有且

2a>62a<6

只有两条，列出不等式组6/或6即得解

—<6—>6

[a

【详解】若A,B在同一支上，当IABL,时钙为双曲线的通经，即有|48京=也=9;

aa

若A,B不在同一支上，则1483=20.

\2a>62a<6

因为9与2“不可能同时等于6,所以6,或〈6,

CL—<O—>6

、a

解得a>3或。<。<1

故选：B

题型战法三圆锥曲线的中点弦问题

22

典例3.如果椭圆好］=1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）

A.x-2y=0B.%+2丁-4=0

C.2%+3y—14=0D.x+2y—8=0

【答案】D

R4

【分析】设点代入方程，两式相减得到白+?左=0,得到直线斜率，解得直线方程.

Jo9

2222

【详解】设交点分别为A（/X）,B（x2,y2）,则［+今=1,今+*=1,

369369

两式相减得到E+%）Ef）+5+>2）（X乃）=0,即5+卜=0,解得上=_：.

3693692

故直线方程为：y=-；（x-4）+2,即x+2y-8=0.

故选：D.

22

变式3-1.已知双曲线c：*-3=im>o/>0）与斜率为1的直线交于4,3两点，若线

ab

段N8的中点为（4,1）,则。的离心率e=（）

A.V2B.—C.更D.V3

32

【答案】C

【分析】中点弦问题利用点差法处理.

2222

【详解】法一：设4G，乂），3（孙％）,则其-普=1,与-普=1,

abab

所以伍+%）仆—）一（%+%）,2f）=0,又的中点为（4,1）,

ab

所以玉+々=8,%+%=2,所以上工=弊，由题意知上耳=1,

x2-xla4—玉

所以3=1,即则C的离心率e=\"5=@•故A,B,D错误.

故选：C.

法二：直线过点（4』），斜率为1,所以其方程为A1="4,即y=x-3,

22

代入鼻-2=1并整理得9?-/+6/x_媛-a2b2=0,

cib

因为（4,1）为线段N8的中点，所以-^^=2x4,整理得"=仍2,

b-a

所以C的离心率e=Jl+「=与故A,

B,D错误.

故选：C.

变式3-2.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为b（-2,0）,过户的直线

/与双曲线C交于幺、3两点，且48的中点为N（-3,-1）,则。的离心率为（）

A.V2B.2C.&D.V3

32

【答案】B

【分析】利用点差法即可.

【详解】由尸、N两点的坐标得直线/的斜率上=1.

•••双曲线一个焦点为（-2,0）,“=2.

22

设双曲线C的方程为宏母=l（a>0,b>0）,则〃+/=4.

设A（XQI）,3（%，%），则占+%=-6,y,+y2=-2,彳二

由¥-/=1,4爷=1得（尤］+%）（占一%）（弘+必）（弘一%）

=0,

a2b2

-62

1222

即+^7=0,/.a—3b,易得〃?=3,Z?=1,c=4f

•••双曲线C的离心率e，=3叵.

a3

故选：B.

2

变式3-3.已知双曲线C:/-与=l（b>0）的离心率为2,过点P（3,3）的直线与双曲线

b

。交于45两点，且点尸恰好是弦A3的中点，则直线AB的方程为（）

A.2x-y-3=0B.2x+y-9=0C.3x-y-6=oD.x+y-6=0

【答案】C

【分析】运用点差法即可求解

【详解】由已知得/=1,又e=9=2,c2=a2+b2,可得从=3.

a

则双曲线。的方程为/-9=1.设A&,yJ,B（x2,y2）,

x2_y,T

玉丁一L22

则2两式相减得储-考）-江&=。，

卜-9，

即（%+%）-3+%!>/％）=0

又因为点尸恰好是弦A3的中点，所以%+尤2=6,yt+y2=6,

所以直线A3的斜率为上二&=史必=3,

%一迎必+必

所以直线A3的方程为y-3=3（x-3）,即3x-y-6=0.

经检验满足题意

故选：C

变式3-4.已知抛物线C：V=6y,直线/与C交于两点，若弦A3的中点为（1,4）,

则直线/的斜率为（）

A.——B.3C.—D.一3

【答案】C

【分析】利用点差法计算可得；

【详解】解：设AQ，%）,g，%），则卜V”所以X-%-6%，整理得

g=6%

X-3=4+/

xx-x26*

因为弦A3的中点为（L4）,所以*二匹=笠三=!=；,即直线/的斜率为

Aj--%2O03J

故选：C

题型战法四圆锥曲线中的向量问题

典例4.已知产为椭圆C：—+y2=l的右焦点，P,Q为椭圆C上两个动点，且满足

4'

FPLFQ，则严.0月的最小值为()

A.>/3B.2C.7-4若D.2-6

【答案】C

【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得"1。=0,利用平面向量的线性运算

将EPQP变形为网\设尸(x,y)(-2WxW2),利用两点坐标求出，尸『，结合二次函

数的性质即可求出最小值.

【详解】由题意得，由尸尸尸2,得尸尸•尸Q=0,

则".。尸=尸尸，(尸「一尸0)=叮~FPFQ=FP=\FP\,

设P(x,y)(-2WxW2),由F(g,O),得FP=(x-4,y),

则加尸『=(X-A/3)2+y2=(%-A/3)2+(1-—)=-(^x-4)2,

又-2WxW2,由二次函数的性质可知，

(卜尸卜皿=%有x2-4y=7-4有，

所以EP•QP的最小值为7s

故选：C.

变式4-1.椭圆宁+；/=1的焦点为《，鸟，点M在椭圆上，且町小=0,则M

到y轴距离为()

A.3B.2&C.—D.—

33

【答案】C

【解析】设〃(不，为)，代入椭圆方程；根据町.磔=0及向量垂直的坐标关系，可

得疗+为2=3,解方程组即可求得飞的值，进而可得M到J7轴的距离.

【详解】设〃(X。，几)，点M在椭圆;+>2=1上，

所以4婷=1,①

椭圆片+>2=1的焦点为K，F2,

4

则耳f。）,乙（3o）,

所以加耳=（—0―％,一%）,MF。=（6-x°,-y。）,

由MF；•瓶=0,

可得（一代―无o,-%）-（8-%,一%）=0,

化简可得嫣+%2=3,②

联立①②可解得勺=±孚,

故M到y轴的距离为平,

故选：C.

【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系，平面向量数量积的坐标运算，属于基础

22

变式42已知椭圆（?（+?=1,若直线/经过M（0』），与椭圆交于A、B两点,

且叱=-,8,则直线/的方程为（）

A.y=±-x+1B.y=±—x+1C.y=±x+lD.y=±—x+1

233

【答案】B

【分析】设直线/的方程为风yT）=x,A（XJ）,B（x2,y2）.联立直线与椭圆方程,

消元，由=可得y「i=_|(y2_i).再利用根与系数的关系即可得出.

【详解】解：设直线/的方程为机(y-D=x,A(%,%),B(x2,y2).

m(y-I)=x

联立%22,化为(9+5机2)y2_10机2y+5机2-45=0,

——+—=1

I95

10m25m2-45

22

MA=--MB,.•.y1-l=--(>2-l),联立解得利=±3.

则直线/的方程为y=土;x+1.

故选：B.

2

变式4-3.经过双曲线/-q=1的右焦点作倾斜角为45。的直线/,交双曲线于A,B

两点，设。为坐标原点，则等于()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】B

【解析】先依题意写出直线/的方程，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结

合向量的数量积运算计算即得结果.

【详解】由双曲线的方程炉-!=1可知，右焦点坐标为(2,0),

.•./的直线方程可设为y=x-2,

设4(和乂),3(孙％)，则应•加=］巧+%为，

f上=1

联立3一可得2/+4x-7=0,

j=x-2

7c

玉%2=——f玉+/=—2,

79

=(-^-2)(x2-2)=-2(^+x2)+4=-—+4+4=—,

79

:.OAOB=——+-=1.

22

故选：B.

22

变式4-4.已知双曲线C：十方=l(a>0,6>0)的右焦点为F,B是虚轴的一个端

点，线段即与C的右支交于点"，若则C的渐近线的斜率为()

A.±2B.±|C.土逅D.±-

333

【答案】D

【分析】设”(x，y),根据BM=34屈，表示出点M的坐标，再由点河在双曲线上,

代入双曲线方程求解.

【详解】设"(")，

因为双曲线的右焦点为尸，8是虚轴的一个端点,

贝1|年,0),以0,6),所以5M=(x,y-b),MF=(c-xi-y),

因为5M=3跖〜

3

x=­c

x=3(c-x)4

所以解得

y—b=—3yb

y=l

因为点M在双曲线上,

解得提=?,

所以渐近线的斜率为±2=±EZ=+F3=±述,

aA\a2Va3

故选：D

题型战法五圆锥曲线中的定点、定值、定直线

典例5.已知椭圆C：/+}=l(a>6>0)的右顶点是"(2,0),离心率为，

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)过点7(4,0)作直线/与椭圆C交于不同的两点N,B,点5关于x轴的对称点

为。，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

22

【答案】⑴+1=1

(2)是，定点(1,0)

【分析】(1)由离心率的值和右顶点坐标，得出椭圆C的方程；

(2)显然直线A2的斜率存在，设直线A3的方程为：>=%(尤-4),与椭圆方程联立，

设A(±,y,),B®,%),-%),利用韦达定理求出直线AT>的方程，得到与x轴

交点为定值，从而得出直线AD过定点.

(1)

由右顶点是M(2,0),得a=2,又离心率e=；，，所以c=l,

2a

22

所以〃=/一。2=3,所以椭圆C的标准方程为工+工=1.

43

(2)

设人,为),3(孙％),显然直线/的斜率存在.

y=左(无一4),

直线/的方程为，=左（》-4）,联立方程组

3尤2+4/=12

消去y得(4左2+3卜2—32人,x+64左2—12=。，由△>(),――<k<—,

32kl64左2-12

所以%+3=4犷+3'="43+3

因为点所以直线/。的方程为产"21"-无J+M%「4）.

—X?

又%+%=左（玉+々—8）,

244Ax（%,+x9-8）+左（3—4）（%2一芯）

所以直线功的方程可化为+3广'；々一芯

_24-_______24k_24左：、

即》（%2—%）（4左2+3）（尤2—%）（4左2+3）（%2—再）（4左2+3），

所以直线恒过点（1,0）.

（方法二）设A（%，x）,以々，%），直线/的方程为x=2y+4,

联立方程组13X7^=12消去X得（3苏+4）寸+24冲+36=0,

6

由A>0,得〃?>2或根<一2，所以％+%=一°",%%=。J,

3m+43m+4

因为点。（程-%），则直线AD的方程为y=乂土匹（x-xj+%.

X,一A9

又玉―/=7财+4_7佻_4=〃2（%—%）,

所以直线的方程可化为

Y「（X+%）（x⑺_4Uy.1+%m（X+%）（，孙+4）+%M%—%）

m

y~（\y\十%一/十/\

机（%—y）机（必一%）机（必一%）

”+>2x।2初％必+4(3+%)24

制%f)制%-M)im2+4)(

此时直线幺。恒过点（1,0）,

当直线/的斜率为0时，直线/的方程为了=0,也过点（1,0）.

综上，直线/D恒过点（1,0）.

【点睛】关键点睛：借助韦达定理表示直线4D的方程，是确定定点的关键.

22

变式5-1.已知椭圆E：a+}=l（a>b>0）的左、右焦点分别为6、K,M是椭圆的上

顶点，且△加不入是面积为1的等腰直角三角形.

（1）求椭圆E的方程；

⑵已知直线/“-0>1=0与椭圆£交于48两点，判断椭圆£上是否存在点尸,

使得四边形04必恰好为平行四边形，若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

【答案】⑴]+9=1

（2）存在，点尸的坐标为卜

【分析】（1）根据等腰直角三角形可得匕=C=1M=0，然后写出椭圆E的标准方程；

，2।

--Fy=1

（2）由题意可设35,%）,联立j2-，根据韦达定理和四边形0AP3

x=y/2y-1

恰好为平行四边形可得点P的坐标.

⑴

由已知得耳（一。，0），鸟（。，0）,设M（0,6）.

△吗工是面积为1的等腰直角三角形，

Z?—c--1,62—

.••椭圆E的方程为:+y2=i

⑵

由题意可设&（%，%）,为）.

，2一

--by-1.—

联立<2整理得4y2-26y—1=0,则△=8+16>0.

x=6y一\

X+%=f

根据韦达定理得

1

假设存在点尸满足四边形。恰好为平行四边形，所以OP=Q4+O8.

所以力=%+丫2=乎，

Xp=Xl-\-X2=0弘_1+应y2T=0(%+%)_2=T，

点尸［t，中］代入椭圆C方程，所以〈+：=1，所以点尸在椭圆C上.

所以点尸的坐标为11，三.

22

变式52已知椭圆C：下方=l(a>b>0)的长轴的两个端点分别为4(-2,0),3(2,0)离

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵〃为椭圆。上除3外任意一点，直线AM交直线x=4于点N,点。为坐标原

点，过点。且与直线BN垂直的直线记为I,直线交了轴于点P,交直线I干点Q,

求证：微j为定值•

【答案】⑴:+9=1

(2)证明见解析.

【分析】(1)由顶点坐标求得“，由离心率求得。，再求出b得椭圆方程；

(2)设写出直线A"方程求得N