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文档简介

第八章平面解析几何

8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系(题型战法)

知识梳理

一直线与椭圆的位置关系

..片h<m.

直线与椭圆\+g=l(a>6>0)的位置关系的判断方法:联立丁J

消去了得到一个关于X的一元二次方程.

/>0=有两个公共点;』=0=有一个公共点;/<0=有o个公共点.

二直线与双曲线的位置关系

设直线/:y=kx+m(加加),①双曲线C:0W=1(。>0,6>0),②

222222

把①代入②得(所-次左2)x-2amkx-am-ab=0.

(1)当层〃左2=0,即仁/时,直线/与双曲线。的渐近线平行,直线与双曲线,相交于一点.

(1

(2)当加-层储加,即划土立时,/=(-2〃加左)2_4(〃一〃2庐)(_〃2加2_/62).

fj

/>0今有两个公共点;』=0今有一个公共点;』<0今有0个公共点.

三直线与抛物线的位置关系

直线>=区+6与抛物线产=28。>0)的交点个数决定于关于X的方程组‘"解的个数,即二

lr=2px

次方程左2(+2(劭-p)x+b2=0解的个数.

当厚0时,若/>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若/=0,直线与抛物线有一个公共点;

若/<0,直线与抛物线没有公共点.

当左=0时,直线与抛物线的轴平行或重合,此时直线与抛物线有1个公共点.

四弦长公式

若斜率为H后0)的直线与圆锥曲线相交于N(xi,以),8(x2,/)两点,则口|=>"福而

题型战法

题型战法一直线与圆锥曲线的位置关系

22

典例1.直线y=2x-i与椭圆士+匕=1的位置关系是()

94

A.相交B.相切C.相离D.不确定

22

变式1-1.直线y=x+2与椭圆L+匕=1有两个公共点,则m的取值范围是()

m3

A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(0,3)u(3,+oo)C.(1,3)u(3,+oo)D.

变式1-2.过尸(0,2)且与双曲线2f-y2=l有且只有一个公共点的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

22

变式1-3.若直线y=依与双曲线土-匕=1相交,则左的取值范围是

94

A・[端B.1C.口.(1,+-

变式1-4.过点(0,2)与抛物线y2=8%只有一个公共点的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.无数条

题型战法二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题

典例2.已知椭圆C:三+上=1的左、右焦点分别为耳、过乙且斜率为1的直线/交椭圆c于/、

43

8两点,则|明等于()

D,也

A2412「1272

ABR-7

-T77

变式2-1.直线>=x+冽与椭圆]+产=1交于/,8两点,若弦长|,则实数m的值为()

A.土!B.±1

D.±2

2C-

变式22直线x-y=O与双曲线2f-/=2有两个交点为A,B,则|的=()

A.2B.272C.4D.472

变式2-3.已知抛物线y2=4x的焦点为尸,过点尸且倾斜角为45的直线/与抛物线分别交于A3两

点,则|明=()

A.1B.3C.6D.8

22

变式24过双曲线]-《=1(稣0)的右焦点尸作直线/与双曲线交于A,8两点,使得|AB|=6,

若这样的直线有且只有两条,则实数。的取值范围是()

A.(0,l]u(3,+«)B.(0,1)(3,同

C.(0,1)D.(3,+8)

题型战法三圆锥曲线的中点弦问题

22

典例3.如果椭圆a+方=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()

A.x-2y=0B.x+2y-4=0

C.2x+3y—14=0D.%+2y-8=0

22

变式3-1.已知双曲线c:,左=i(“>o力>o)与斜率为1的直线交于/,8两点,若线段N8的中点

为(4,1),则。的离心率e=()

A.V2B.—C.&D.6

32

变式3-2.已知双曲线。的中心在坐标原点,其中一个焦点为尸(-2,0),过尸的直线/与双曲线C

交于2、8两点,且Z8的中点为N(-3,-1),则。的离心率为()

A.V2B.—C.好D.73

32

2

变式3-3.已知双曲线C:Y年=1(6>0)的离心率为2,过点“3)的直线与双曲线。交于4,B

两点,且点尸恰好是弦A3的中点,则直线AB的方程为()

A.2x-y-3=0B.2x+y-9=0C.3x-y-6=0D.%+y-6=0

变式3-4.已知抛物线C:J=6y,直线/与。交于48两点,若弦A2的中点为(1,4),则直线/

的斜率为()

A.——B.3C.-D.一3

33

题型战法四圆锥曲线中的向量问题

典例4.已知尸为椭圆C:£+V=i的右焦点,尸,。为椭圆C上两个动点,且满足"2,则外.。户

4

的最小值为()

A.V3B.2C.7-4括D.2-y/3

变式4-1.椭圆9+产=1的焦点为耳,外,点M在椭圆上,且町•Mg=0,则M到y轴距离为()

A.3B.242C.—D.—

33

变式42已知椭圆C:/]=l,若直线/经过河(0,1),与椭圆交于A、8两点,且--辆,

则直线/的方程为()

112

A.y=±-x+lB.y=±-x+lC.y=±x+lD.y=±-x+l

2

变式4-3.经过双曲线/一(=1的右焦点作倾斜角为45。的直线/,交双曲线于A,5两点,设。为

坐标原点,则。05等于()

A.-1B.1C.2D.-2

22

变式4-4.已知双曲线C:*■-齐=1(。>0,6>0)的右焦点为尸,B是虚轴的一个端点,线段即与C

的右支交于点若BM=3MF,则C的渐近线的斜率为()

A.±2B.C.土逅D.土巫

333

题型战法五圆锥曲线中的定点、定值、定直线

典例5.已知椭圆C:/■+/=l(a>b>0)的右顶点是M(2,0),离心率为

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)过点7(4,0)作直线/与椭圆C交于不同的两点48,点8关于x轴的对称点为。,问直线

是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

22

变式5-1.已知椭圆E*+方=1(“>6>0)的左、右焦点分别为耳、工,”是椭圆的上顶点,且△叫入

是面积为1的等腰直角三角形.

(1)求椭圆E的方程;

(2)已知直线/:x-0y+l=O与椭圆E交于45两点,判断椭圆E上是否存在点P,使得四边形

O/P8恰好为平行四边形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

变式5-2.已知椭圆C£+g=1(。>6>0)的长轴的两个端点分别为A(-2,0),3(2,0)离心率为3.

ab2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)"为椭圆C上除8外任意一点,直线40交直线X=4于点N,点O为坐标原点,过点。且

与直线8N垂直的直线记为/,直线交了轴于点P,交直线/干点0,求证:畏j为定值.

22

变式5-3.已知双曲线C:方=1(“>°,"°)的右焦点为P,左顶点为/,且照=2+卮P到

。的渐近线的距离为1,过点3(4,0)的直线/与双曲线。的右支交于P,0两点,直线NP,与〉

轴分别交于",N两点.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)若直线M3,N5的斜率分别为勺,k2,判断左他是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说

明理由.

变式54已知椭圆Cj+A(a>“。)的离心率为冬且过点心

(1)求椭圆C的方程;

(2)点A关于原点。的对称点为点B,与直线AB平行的直线/与C交于点M,N,直线A"与3N交于

点尸,点尸是否在定直线上?若在,求出该直线方程;若不在,请说明理由.

题型战法六圆锥曲线中的最值、范围

典例6.已知椭圆C:5+/l(a>b>0)经过点"其右焦点为46。).

(1)求椭圆C的离心率;

(2)若点尸,。在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与A。的斜率之积为5.求4尸。面积的最大

值.

变式6-1.已知椭圆£+]=1的左右焦点分别为耳,尸2,离心率为巫,尸是椭圆上一点,且APG与

ab2

面积的最大值为1.

(1)求椭圆的方程;

(2)过F?的直线交椭圆于M,N两点,求的取值范围.

变式6-2.设双曲线C:]-产=1,其右焦点为尸,过尸的直线/与双曲线。的右支交于5两点.

(1)求直线I倾斜角。的取值范围;

(2)直线N。(O为坐标原点)与曲线C的另一个交点为。,求面积的最小值,并求此时/

的方程.

变式6-3.已知双曲线的焦点在x轴上,中心在原点,离心率为竽,且过点(通,1).

(1)求双曲线的标准方程;

(2)双曲线的左右顶点为A,3,且动点C(〃[,〃),。(租,-〃)在双曲线上,直线2C与直线AD交于点P,

贝-也0),7V(A/2,O),求俞.乐的取值范围.

变式6-4.已知抛物线C:f=2py(p>0)的焦点到准线的距离为2,直线/:y=履+2交抛物线于

4(%,%),双9,%)两点.

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)过点A,8分别作抛物线C的切线乙,4,点?为直线4,4的交点.

(i)求证:点尸在一条定直线上;

(ii)求面积的取值范围.

第八章平面解析几何

8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系(题型战法)

知识梳理

一直线与椭圆的位置关系

「尸=红+而

直线〉=区+加与椭圆工+白=1伍乂>0)的位置关系的判断方法:联立Jr

"6尸=L

消去了得到一个关于x的一元二次方程.

/>0=有两个公共点;/=0n有一个公共点;/<0n有。个公共点.

二直线与双曲线的位置关系

设直线/:y=kx+m(加用),①双曲线C:=£=1(a>0,b>0),②

er-hr-

才巴①代入②得(加-层炉)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.

(1)当〃-次严=0,即上土S时,直线/与双曲线。的渐近线平行,直线与双曲线,

fl

相交于一点.

(2)当〃-次左2加,即厚时,/=(-2层加左)2-4(反-)(_〃2加2_〃2力2).

/>0o有两个公共点;/=0o有一个公共点;/<0今有。个公共点.

三直线与抛物线的位置关系

直线〉=任+6与抛物线V=2Q;S>0)的交点个数决定于关于X的方程组:"’解

Lr=2Ax

的个数,即二次方程左2/+2(姑一Mx+〃=0解的个数.

当好0时,若/>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若』=0,直线与抛物线

有一个公共点;若/<0,直线与抛物线没有公共点.

当左=0时,直线与抛物线的轴平行或重合,此时直线与抛物线有1个公共点.

四弦长公式

若斜率为左(导0)的直线与圆锥曲线相交于“(xi,yi),B(X2,>2)两点,则|“用=

\/(l+FM(jfi+x2)2-4jrR].

题型战法

题型战法一直线与圆锥曲线的位置关系

22

典例1.直线y=2x-i与椭圆一+。=1的位置关系是()

94

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】A

【分析】根据直线恒过且(0,-1)在椭圆内可直接得到结论.

八2i21

【详解】在椭圆内,

22

.~=2%-1恒过点(0,—1),•••直线y=2x-l与椭圆土+?=1相交.

故选:A.

变式1-1.直线丫=尤+2与椭圆工+£=1有两个公共点,则m的取值范围是()

m3

A.(-oo,0)o(l,+oo)B.(0,3)u(3,+oo)C.(l,3)u(3,+oo)D.(L+oo)

【答案】C

【解析】联立直线和椭圆方程得[:丁+22得力>1或机<0,又因为机>0,m23,

综合即得解.

【详解】联立直线和椭圆方程得I;:":々,

+my=3m

所以(3+m)x2+4mx+m=0,

所以A=16/-4皿加+3)>0,

所以机>1或m<0,

因为机>0,mw3

所以机>1且加。3.

故选:C

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,意在考查学

生对这些知识的理解掌握水平.

变式1-2.过P(0,2)且与双曲线2/_V=1有且只有一个公共点的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【分析】设出直线的方程,与双曲线的方程联立,结合方程解的情况进行求解.

【详解】当斜率不存在时,过P的直线与双曲线没有公共点;

当斜率存在时,设直线为、=丘+2,联立,;;:::],得(2-公卜2一45=0①.

当2-斤=o,即左=±忘时,①式只有一个解;

当2—左2/0时,贝l1A=16左2+20(2—左2)=0,解得4=土国;

综上可知过网0,2)且与双曲线2/=1有且只有一个公共点的直线有4条.

故选:D.

22

变式1-3.若直线>=近与双曲线土-工=1相交,则上的取值范围是

94

【答案】C

【分析】联立直线和双曲线的方程得到无2=丁之>0,即得上的取值范围.

4-9k

【详解】联立直线和双曲线的方程得4x2-9k2x2=36,.-.(4-9/)/=36,

2

当4-9/=0,即/=±(时,直线和双曲线的渐近线重合,

所以直线与双曲线没有公共点.

2

当4-9rw0,即左w±|•时,%=2>0,

34-9k

22

解之得

故选:C.

【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握

水平和分析推理能力.

变式1-4.过点(。,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.无数条

【答案】C

【详解】因为点(0⑵在抛物线外面,与抛物线只有一个交点的直线有2条切线,1

条和对称轴平行,故3条.

题型战法二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题

22

典例2.已知椭圆C:三+上=1的左、右焦点分别为耳、F,过工且斜率为1的直线

432

/交椭圆C于/、5两点,则|AB|等于()

A.胃B.上C.区D.处

【答案】A

【分析】利用弦长公式求解即可.

22

【详解】设直线方程为,="1,联立椭圆方程工+匕=i

43

整理可得:7炉—8%-8=0,设尤2,%),

则%+%='!,根据弦长公式有:

A5=J1+左?,J(X]+X2)2—4玉・九2二亍・故B,C,D错误.

故选:A.

变式2-L直线y=x+加与椭圆]+丁=1交于4,2两点,若弦长出洌=乎,则实

数m的值为()

A.+-B.±1C.±-D.±2

22

【答案】B

【分析】联立直线的方程和椭圆的方程,化简写出根与系数关系,结合|胴|求得加的

值.

y=x+m

【详解】设4(xi,yi),B(%2,"),联立<f,整理可得:3x2+4mx+2m2-2

——+y=1

12

4m2m2-2

=n0,贝UXl+X2=---,X1X2=------,

33

所以弦长MB尸W.河ww=J1W_4wn;后卜普,

由题意可得:21=半=在白子,解得:m=±l.

故选:B

变式2-2.直线%-y=0与双曲线2f_y2=2有两个交点为A,B,则|他|=()

A.2B.2应C.4D.4垃

【答案】C

【解析】直线方程与双曲线方程联立方程组,直接解得交点坐标,再计算两点间距

离.

2尤2_,2=2大1=6X2=_A/2

【详解】由,得

x-y=O卜=6%=一也

■■\AB\=J仅0”(2鬲=4.

故选:C.

变式2-3.已知抛物线丁=4尤的焦点为歹,过点歹且倾斜角为45的直线/与抛物线

分别交于A3两点,则|4?|=()

A.1B.3C.6D.8

【答案】D

【分析】由题意可得直线/与的方程为>=x-l,代入抛物线方程得Y一6x+l=0,根

据韦达定理与焦半径的公式即可求出|钙|的值.

【详解】解:由题意可知尸(1,0),所以直线/与的方程为y=x-i,

联立直线方程和抛物线方程[丁丁,可得x2-6x+l=0,

U=4x

设4%,、1),8(孙为),

则占+%=6,XjX2=6,

所以|他|=|4尸|+|3尸|=芯+尤2+夕=6+2=8.

故选:D.

22

变式2-4.过双曲线1r-q=1(°>0)的右焦点尸作直线/与双曲线交于A,8两点,

使得|AB|=6,若这样的直线有且只有两条,则实数”的取值范围是()

A.(0,1]U(3,+OD)B.(0,1)(3,问

C.(0,1)D.(3,+8)

【答案】B

【分析】分别求解A,8在同一支上和不在同一支上IABI*,结合这样的直线有且

2a>62a<6

只有两条,列出不等式组6/或6即得解

—<6—>6

[a

【详解】若A,B在同一支上,当IABL,时钙为双曲线的通经,即有|48京=也=9;

aa

若A,B不在同一支上,则1483=20.

\2a>62a<6

因为9与2“不可能同时等于6,所以6,或〈6,

CL—<O—>6

、a

解得a>3或。<。<1

故选:B

题型战法三圆锥曲线的中点弦问题

22

典例3.如果椭圆好]=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()

A.x-2y=0B.%+2丁-4=0

C.2%+3y—14=0D.x+2y—8=0

【答案】D

R4

【分析】设点代入方程,两式相减得到白+?左=0,得到直线斜率,解得直线方程.

Jo9

2222

【详解】设交点分别为A(/X),B(x2,y2),则[+今=1,今+*=1,

369369

两式相减得到E+%)Ef)+5+>2)(X乃)=0,即5+卜=0,解得上=_:.

3693692

故直线方程为:y=-;(x-4)+2,即x+2y-8=0.

故选:D.

22

变式3-1.已知双曲线c:*-3=im>o/>0)与斜率为1的直线交于4,3两点,若线

ab

段N8的中点为(4,1),则。的离心率e=()

A.V2B.—C.更D.V3

32

【答案】C

【分析】中点弦问题利用点差法处理.

2222

【详解】法一:设4G,乂),3(孙%),则其-普=1,与-普=1,

abab

所以伍+%)仆—)一(%+%),2f)=0,又的中点为(4,1),

ab

所以玉+々=8,%+%=2,所以上工=弊,由题意知上耳=1,

x2-xla4—玉

所以3=1,即则C的离心率e=\"5=@•故A,B,D错误.

故选:C.

法二:直线过点(4』),斜率为1,所以其方程为A1="4,即y=x-3,

22

代入鼻-2=1并整理得9?-/+6/x_媛-a2b2=0,

cib

因为(4,1)为线段N8的中点,所以-^^=2x4,整理得"=仍2,

b-a

所以C的离心率e=Jl+「=与故A,

B,D错误.

故选:C.

变式3-2.已知双曲线C的中心在坐标原点,其中一个焦点为b(-2,0),过户的直线

/与双曲线C交于幺、3两点,且48的中点为N(-3,-1),则。的离心率为()

A.V2B.2C.&D.V3

32

【答案】B

【分析】利用点差法即可.

【详解】由尸、N两点的坐标得直线/的斜率上=1.

•••双曲线一个焦点为(-2,0),“=2.

22

设双曲线C的方程为宏母=l(a>0,b>0),则〃+/=4.

设A(XQI),3(%,%),则占+%=-6,y,+y2=-2,彳二

由¥-/=1,4爷=1得(尤]+%)(占一%)(弘+必)(弘一%)

=0,

a2b2

-62

1222

即+^7=0,/.a—3b,易得〃?=3,Z?=1,c=4f

•••双曲线C的离心率e,=3叵.

a3

故选:B.

2

变式3-3.已知双曲线C:/-与=l(b>0)的离心率为2,过点P(3,3)的直线与双曲线

b

。交于45两点,且点尸恰好是弦A3的中点,则直线AB的方程为()

A.2x-y-3=0B.2x+y-9=0C.3x-y-6=oD.x+y-6=0

【答案】C

【分析】运用点差法即可求解

【详解】由已知得/=1,又e=9=2,c2=a2+b2,可得从=3.

a

则双曲线。的方程为/-9=1.设A&,yJ,B(x2,y2),

x2_y,T

玉丁一L22

则2两式相减得储-考)-江&=。,

卜-9,

即(%+%)-3+%!>/%)=0

又因为点尸恰好是弦A3的中点,所以%+尤2=6,yt+y2=6,

所以直线A3的斜率为上二&=史必=3,

%一迎必+必

所以直线A3的方程为y-3=3(x-3),即3x-y-6=0.

经检验满足题意

故选:C

变式3-4.已知抛物线C:V=6y,直线/与C交于两点,若弦A3的中点为(1,4),

则直线/的斜率为()

A.——B.3C.—D.一3

【答案】C

【分析】利用点差法计算可得;

【详解】解:设AQ,%),g,%),则卜V”所以X-%-6%,整理得

g=6%

X-3=4+/

xx-x26*

因为弦A3的中点为(L4),所以*二匹=笠三=!=;,即直线/的斜率为

Aj--%2O03J

故选:C

题型战法四圆锥曲线中的向量问题

典例4.已知产为椭圆C:—+y2=l的右焦点,P,Q为椭圆C上两个动点,且满足

4'

FPLFQ,则严.0月的最小值为()

A.>/3B.2C.7-4若D.2-6

【答案】C

【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得"1。=0,利用平面向量的线性运算

将EPQP变形为网\设尸(x,y)(-2WxW2),利用两点坐标求出,尸『,结合二次函

数的性质即可求出最小值.

【详解】由题意得,由尸尸尸2,得尸尸•尸Q=0,

则".。尸=尸尸,(尸「一尸0)=叮~FPFQ=FP=\FP\,

设P(x,y)(-2WxW2),由F(g,O),得FP=(x-4,y),

则加尸『=(X-A/3)2+y2=(%-A/3)2+(1-—)=-(^x-4)2,

又-2WxW2,由二次函数的性质可知,

(卜尸卜皿=%有x2-4y=7-4有,

所以EP•QP的最小值为7s

故选:C.

变式4-1.椭圆宁+;/=1的焦点为《,鸟,点M在椭圆上,且町小=0,则M

到y轴距离为()

A.3B.2&C.—D.—

33

【答案】C

【解析】设〃(不,为),代入椭圆方程;根据町.磔=0及向量垂直的坐标关系,可

得疗+为2=3,解方程组即可求得飞的值,进而可得M到J7轴的距离.

【详解】设〃(X。,几),点M在椭圆;+>2=1上,

所以4婷=1,①

椭圆片+>2=1的焦点为K,F2,

4

则耳f。),乙(3o),

所以加耳=(—0―%,一%),MF。=(6-x°,-y。),

由MF;•瓶=0,

可得(一代―无o,-%)-(8-%,一%)=0,

化简可得嫣+%2=3,②

联立①②可解得勺=±孚,

故M到y轴的距离为平,

故选:C.

【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系,平面向量数量积的坐标运算,属于基础

22

变式42已知椭圆(?(+?=1,若直线/经过M(0』),与椭圆交于A、B两点,

且叱=-,8,则直线/的方程为()

A.y=±-x+1B.y=±—x+1C.y=±x+lD.y=±—x+1

233

【答案】B

【分析】设直线/的方程为风yT)=x,A(XJ),B(x2,y2).联立直线与椭圆方程,

消元,由=可得y「i=_|(y2_i).再利用根与系数的关系即可得出.

【详解】解:设直线/的方程为机(y-D=x,A(%,%),B(x2,y2).

m(y-I)=x

联立%22,化为(9+5机2)y2_10机2y+5机2-45=0,

——+—=1

I95

10m25m2-45

22

MA=--MB,.•.y1-l=--(>2-l),联立解得利=±3.

则直线/的方程为y=土;x+1.

故选:B.

2

变式4-3.经过双曲线/-q=1的右焦点作倾斜角为45。的直线/,交双曲线于A,B

两点,设。为坐标原点,则等于()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】B

【解析】先依题意写出直线/的方程,联立直线与双曲线方程,利用韦达定理,结

合向量的数量积运算计算即得结果.

【详解】由双曲线的方程炉-!=1可知,右焦点坐标为(2,0),

.•./的直线方程可设为y=x-2,

设4(和乂),3(孙%),则应•加=]巧+%为,

f上=1

联立3一可得2/+4x-7=0,

j=x-2

7c

玉%2=——f玉+/=—2,

79

=(-^-2)(x2-2)=-2(^+x2)+4=-—+4+4=—,

79

:.OAOB=——+-=1.

22

故选:B.

22

变式4-4.已知双曲线C:十方=l(a>0,6>0)的右焦点为F,B是虚轴的一个端

点,线段即与C的右支交于点",若则C的渐近线的斜率为()

A.±2B.±|C.土逅D.±-

333

【答案】D

【分析】设”(x,y),根据BM=34屈,表示出点M的坐标,再由点河在双曲线上,

代入双曲线方程求解.

【详解】设"("),

因为双曲线的右焦点为尸,8是虚轴的一个端点,

贝1|年,0),以0,6),所以5M=(x,y-b),MF=(c-xi-y),

因为5M=3跖〜

3

x=­c

x=3(c-x)4

所以解得

y—b=—3yb

y=l

因为点M在双曲线上,

解得提=?,

所以渐近线的斜率为±2=±EZ=+F3=±述,

aA\a2Va3

故选:D

题型战法五圆锥曲线中的定点、定值、定直线

典例5.已知椭圆C:/+}=l(a>6>0)的右顶点是"(2,0),离心率为,

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)过点7(4,0)作直线/与椭圆C交于不同的两点N,B,点5关于x轴的对称点

为。,问直线是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

22

【答案】⑴+1=1

(2)是,定点(1,0)

【分析】(1)由离心率的值和右顶点坐标,得出椭圆C的方程;

(2)显然直线A2的斜率存在,设直线A3的方程为:>=%(尤-4),与椭圆方程联立,

设A(±,y,),B®,%),-%),利用韦达定理求出直线AT>的方程,得到与x轴

交点为定值,从而得出直线AD过定点.

(1)

由右顶点是M(2,0),得a=2,又离心率e=;,,所以c=l,

2a

22

所以〃=/一。2=3,所以椭圆C的标准方程为工+工=1.

43

(2)

设人,为),3(孙%),显然直线/的斜率存在.

y=左(无一4),

直线/的方程为,=左(》-4),联立方程组

3尤2+4/=12

消去y得(4左2+3卜2—32人,x+64左2—12=。,由△>(),――<k<—,

32kl64左2-12

所以%+3=4犷+3'="43+3

因为点所以直线/。的方程为产"21"-无J+M%「4).

—X?

又%+%=左(玉+々—8),

244Ax(%,+x9-8)+左(3—4)(%2一芯)

所以直线功的方程可化为+3广';々一芯

_24-_______24k_24左:、

即》(%2—%)(4左2+3)(尤2—%)(4左2+3)(%2—再)(4左2+3),

所以直线恒过点(1,0).

(方法二)设A(%,x),以々,%),直线/的方程为x=2y+4,

联立方程组13X7^=12消去X得(3苏+4)寸+24冲+36=0,

6

由A>0,得〃?>2或根<一2,所以%+%=一°",%%=。J,

3m+43m+4

因为点。(程-%),则直线AD的方程为y=乂土匹(x-xj+%.

X,一A9

又玉―/=7财+4_7佻_4=〃2(%—%),

所以直线的方程可化为

Y「(X+%)(x⑺_4Uy.1+%m(X+%)(,孙+4)+%M%—%)

m

y~(\y\十%一/十/\

机(%—y)机(必一%)机(必一%)

”+>2x।2初%必+4(3+%)24

制%f)制%-M)im2+4)(

此时直线幺。恒过点(1,0),

当直线/的斜率为0时,直线/的方程为了=0,也过点(1,0).

综上,直线/D恒过点(1,0).

【点睛】关键点睛:借助韦达定理表示直线4D的方程,是确定定点的关键.

22

变式5-1.已知椭圆E:a+}=l(a>b>0)的左、右焦点分别为6、K,M是椭圆的上

顶点,且△加不入是面积为1的等腰直角三角形.

(1)求椭圆E的方程;

⑵已知直线/“-0>1=0与椭圆£交于48两点,判断椭圆£上是否存在点尸,

使得四边形04必恰好为平行四边形,若存在,求出点尸的坐标;若不存在,请说

明理由.

【答案】⑴]+9=1

(2)存在,点尸的坐标为卜

【分析】(1)根据等腰直角三角形可得匕=C=1M=0,然后写出椭圆E的标准方程;

,2।

--Fy=1

(2)由题意可设35,%),联立j2-,根据韦达定理和四边形0AP3

x=y/2y-1

恰好为平行四边形可得点P的坐标.

由已知得耳(一。,0),鸟(。,0),设M(0,6).

△吗工是面积为1的等腰直角三角形,

Z?—c--1,62—

.••椭圆E的方程为:+y2=i

由题意可设&(%,%),为).

,2一

--by-1.—

联立<2整理得4y2-26y—1=0,则△=8+16>0.

x=6y一\

X+%=f

根据韦达定理得

1

假设存在点尸满足四边形。恰好为平行四边形,所以OP=Q4+O8.

所以力=%+丫2=乎,

Xp=Xl-\-X2=0弘_1+应y2T=0(%+%)_2=T,

点尸[t,中]代入椭圆C方程,所以〈+:=1,所以点尸在椭圆C上.

所以点尸的坐标为11,三.

22

变式52已知椭圆C:下方=l(a>b>0)的长轴的两个端点分别为4(-2,0),3(2,0)离

(1)求椭圆C的标准方程;

⑵〃为椭圆。上除3外任意一点,直线AM交直线x=4于点N,点。为坐标原

点,过点。且与直线BN垂直的直线记为I,直线交了轴于点P,交直线I干点Q,

求证:微j为定值•

【答案】⑴:+9=1

(2)证明见解析.

【分析】(1)由顶点坐标求得“,由离心率求得。,再求出b得椭圆方程;

(2)设写出直线A"方程求得N

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