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文档简介
第八章平面解析几何
8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系(题型战法)
知识梳理
一直线与椭圆的位置关系
..片h<m.
直线与椭圆\+g=l(a>6>0)的位置关系的判断方法:联立丁J
消去了得到一个关于X的一元二次方程.
/>0=有两个公共点;』=0=有一个公共点;/<0=有o个公共点.
二直线与双曲线的位置关系
设直线/:y=kx+m(加加),①双曲线C:0W=1(。>0,6>0),②
222222
把①代入②得(所-次左2)x-2amkx-am-ab=0.
(1)当层〃左2=0,即仁/时,直线/与双曲线。的渐近线平行,直线与双曲线,相交于一点.
(1
(2)当加-层储加,即划土立时,/=(-2〃加左)2_4(〃一〃2庐)(_〃2加2_/62).
fj
/>0今有两个公共点;』=0今有一个公共点;』<0今有0个公共点.
三直线与抛物线的位置关系
直线>=区+6与抛物线产=28。>0)的交点个数决定于关于X的方程组‘"解的个数,即二
lr=2px
次方程左2(+2(劭-p)x+b2=0解的个数.
当厚0时,若/>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若/=0,直线与抛物线有一个公共点;
若/<0,直线与抛物线没有公共点.
当左=0时,直线与抛物线的轴平行或重合,此时直线与抛物线有1个公共点.
四弦长公式
若斜率为H后0)的直线与圆锥曲线相交于N(xi,以),8(x2,/)两点,则口|=>"福而
题型战法
题型战法一直线与圆锥曲线的位置关系
22
典例1.直线y=2x-i与椭圆士+匕=1的位置关系是()
94
A.相交B.相切C.相离D.不确定
22
变式1-1.直线y=x+2与椭圆L+匕=1有两个公共点,则m的取值范围是()
m3
A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(0,3)u(3,+oo)C.(1,3)u(3,+oo)D.
变式1-2.过尸(0,2)且与双曲线2f-y2=l有且只有一个公共点的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
22
变式1-3.若直线y=依与双曲线土-匕=1相交,则左的取值范围是
94
A・[端B.1C.口.(1,+-
变式1-4.过点(0,2)与抛物线y2=8%只有一个公共点的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.无数条
题型战法二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题
典例2.已知椭圆C:三+上=1的左、右焦点分别为耳、过乙且斜率为1的直线/交椭圆c于/、
43
8两点,则|明等于()
D,也
A2412「1272
ABR-7
-T77
变式2-1.直线>=x+冽与椭圆]+产=1交于/,8两点,若弦长|,则实数m的值为()
A.土!B.±1
D.±2
2C-
变式22直线x-y=O与双曲线2f-/=2有两个交点为A,B,则|的=()
A.2B.272C.4D.472
变式2-3.已知抛物线y2=4x的焦点为尸,过点尸且倾斜角为45的直线/与抛物线分别交于A3两
点,则|明=()
A.1B.3C.6D.8
22
变式24过双曲线]-《=1(稣0)的右焦点尸作直线/与双曲线交于A,8两点,使得|AB|=6,
若这样的直线有且只有两条,则实数。的取值范围是()
A.(0,l]u(3,+«)B.(0,1)(3,同
C.(0,1)D.(3,+8)
题型战法三圆锥曲线的中点弦问题
22
典例3.如果椭圆a+方=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()
A.x-2y=0B.x+2y-4=0
C.2x+3y—14=0D.%+2y-8=0
22
变式3-1.已知双曲线c:,左=i(“>o力>o)与斜率为1的直线交于/,8两点,若线段N8的中点
为(4,1),则。的离心率e=()
A.V2B.—C.&D.6
32
变式3-2.已知双曲线。的中心在坐标原点,其中一个焦点为尸(-2,0),过尸的直线/与双曲线C
交于2、8两点,且Z8的中点为N(-3,-1),则。的离心率为()
A.V2B.—C.好D.73
32
2
变式3-3.已知双曲线C:Y年=1(6>0)的离心率为2,过点“3)的直线与双曲线。交于4,B
两点,且点尸恰好是弦A3的中点,则直线AB的方程为()
A.2x-y-3=0B.2x+y-9=0C.3x-y-6=0D.%+y-6=0
变式3-4.已知抛物线C:J=6y,直线/与。交于48两点,若弦A2的中点为(1,4),则直线/
的斜率为()
A.——B.3C.-D.一3
33
题型战法四圆锥曲线中的向量问题
典例4.已知尸为椭圆C:£+V=i的右焦点,尸,。为椭圆C上两个动点,且满足"2,则外.。户
4
的最小值为()
A.V3B.2C.7-4括D.2-y/3
变式4-1.椭圆9+产=1的焦点为耳,外,点M在椭圆上,且町•Mg=0,则M到y轴距离为()
A.3B.242C.—D.—
33
变式42已知椭圆C:/]=l,若直线/经过河(0,1),与椭圆交于A、8两点,且--辆,
则直线/的方程为()
112
A.y=±-x+lB.y=±-x+lC.y=±x+lD.y=±-x+l
2
变式4-3.经过双曲线/一(=1的右焦点作倾斜角为45。的直线/,交双曲线于A,5两点,设。为
坐标原点,则。05等于()
A.-1B.1C.2D.-2
22
变式4-4.已知双曲线C:*■-齐=1(。>0,6>0)的右焦点为尸,B是虚轴的一个端点,线段即与C
的右支交于点若BM=3MF,则C的渐近线的斜率为()
A.±2B.C.土逅D.土巫
333
题型战法五圆锥曲线中的定点、定值、定直线
典例5.已知椭圆C:/■+/=l(a>b>0)的右顶点是M(2,0),离心率为
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过点7(4,0)作直线/与椭圆C交于不同的两点48,点8关于x轴的对称点为。,问直线
是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
22
变式5-1.已知椭圆E*+方=1(“>6>0)的左、右焦点分别为耳、工,”是椭圆的上顶点,且△叫入
是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知直线/:x-0y+l=O与椭圆E交于45两点,判断椭圆E上是否存在点P,使得四边形
O/P8恰好为平行四边形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
变式5-2.已知椭圆C£+g=1(。>6>0)的长轴的两个端点分别为A(-2,0),3(2,0)离心率为3.
ab2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)"为椭圆C上除8外任意一点,直线40交直线X=4于点N,点O为坐标原点,过点。且
与直线8N垂直的直线记为/,直线交了轴于点P,交直线/干点0,求证:畏j为定值.
22
变式5-3.已知双曲线C:方=1(“>°,"°)的右焦点为P,左顶点为/,且照=2+卮P到
。的渐近线的距离为1,过点3(4,0)的直线/与双曲线。的右支交于P,0两点,直线NP,与〉
轴分别交于",N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线M3,N5的斜率分别为勺,k2,判断左他是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说
明理由.
变式54已知椭圆Cj+A(a>“。)的离心率为冬且过点心
(1)求椭圆C的方程;
(2)点A关于原点。的对称点为点B,与直线AB平行的直线/与C交于点M,N,直线A"与3N交于
点尸,点尸是否在定直线上?若在,求出该直线方程;若不在,请说明理由.
题型战法六圆锥曲线中的最值、范围
典例6.已知椭圆C:5+/l(a>b>0)经过点"其右焦点为46。).
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若点尸,。在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与A。的斜率之积为5.求4尸。面积的最大
值.
变式6-1.已知椭圆£+]=1的左右焦点分别为耳,尸2,离心率为巫,尸是椭圆上一点,且APG与
ab2
面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F?的直线交椭圆于M,N两点,求的取值范围.
变式6-2.设双曲线C:]-产=1,其右焦点为尸,过尸的直线/与双曲线。的右支交于5两点.
(1)求直线I倾斜角。的取值范围;
(2)直线N。(O为坐标原点)与曲线C的另一个交点为。,求面积的最小值,并求此时/
的方程.
变式6-3.已知双曲线的焦点在x轴上,中心在原点,离心率为竽,且过点(通,1).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)双曲线的左右顶点为A,3,且动点C(〃[,〃),。(租,-〃)在双曲线上,直线2C与直线AD交于点P,
贝-也0),7V(A/2,O),求俞.乐的取值范围.
变式6-4.已知抛物线C:f=2py(p>0)的焦点到准线的距离为2,直线/:y=履+2交抛物线于
4(%,%),双9,%)两点.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)过点A,8分别作抛物线C的切线乙,4,点?为直线4,4的交点.
(i)求证:点尸在一条定直线上;
(ii)求面积的取值范围.
第八章平面解析几何
8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系(题型战法)
知识梳理
一直线与椭圆的位置关系
「尸=红+而
直线〉=区+加与椭圆工+白=1伍乂>0)的位置关系的判断方法:联立Jr
"6尸=L
消去了得到一个关于x的一元二次方程.
/>0=有两个公共点;/=0n有一个公共点;/<0n有。个公共点.
二直线与双曲线的位置关系
设直线/:y=kx+m(加用),①双曲线C:=£=1(a>0,b>0),②
er-hr-
才巴①代入②得(加-层炉)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当〃-次严=0,即上土S时,直线/与双曲线。的渐近线平行,直线与双曲线,
fl
相交于一点.
(2)当〃-次左2加,即厚时,/=(-2层加左)2-4(反-)(_〃2加2_〃2力2).
/>0o有两个公共点;/=0o有一个公共点;/<0今有。个公共点.
三直线与抛物线的位置关系
直线〉=任+6与抛物线V=2Q;S>0)的交点个数决定于关于X的方程组:"’解
Lr=2Ax
的个数,即二次方程左2/+2(姑一Mx+〃=0解的个数.
当好0时,若/>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若』=0,直线与抛物线
有一个公共点;若/<0,直线与抛物线没有公共点.
当左=0时,直线与抛物线的轴平行或重合,此时直线与抛物线有1个公共点.
四弦长公式
若斜率为左(导0)的直线与圆锥曲线相交于“(xi,yi),B(X2,>2)两点,则|“用=
\/(l+FM(jfi+x2)2-4jrR].
题型战法
题型战法一直线与圆锥曲线的位置关系
22
典例1.直线y=2x-i与椭圆一+。=1的位置关系是()
94
A.相交B.相切C.相离D.不确定
【答案】A
【分析】根据直线恒过且(0,-1)在椭圆内可直接得到结论.
八2i21
【详解】在椭圆内,
22
.~=2%-1恒过点(0,—1),•••直线y=2x-l与椭圆土+?=1相交.
故选:A.
变式1-1.直线丫=尤+2与椭圆工+£=1有两个公共点,则m的取值范围是()
m3
A.(-oo,0)o(l,+oo)B.(0,3)u(3,+oo)C.(l,3)u(3,+oo)D.(L+oo)
【答案】C
【解析】联立直线和椭圆方程得[:丁+22得力>1或机<0,又因为机>0,m23,
综合即得解.
【详解】联立直线和椭圆方程得I;:":々,
+my=3m
所以(3+m)x2+4mx+m=0,
所以A=16/-4皿加+3)>0,
所以机>1或m<0,
因为机>0,mw3
所以机>1且加。3.
故选:C
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,意在考查学
生对这些知识的理解掌握水平.
变式1-2.过P(0,2)且与双曲线2/_V=1有且只有一个公共点的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
【答案】D
【分析】设出直线的方程,与双曲线的方程联立,结合方程解的情况进行求解.
【详解】当斜率不存在时,过P的直线与双曲线没有公共点;
当斜率存在时,设直线为、=丘+2,联立,;;:::],得(2-公卜2一45=0①.
当2-斤=o,即左=±忘时,①式只有一个解;
当2—左2/0时,贝l1A=16左2+20(2—左2)=0,解得4=土国;
综上可知过网0,2)且与双曲线2/=1有且只有一个公共点的直线有4条.
故选:D.
22
变式1-3.若直线>=近与双曲线土-工=1相交,则上的取值范围是
94
【答案】C
【分析】联立直线和双曲线的方程得到无2=丁之>0,即得上的取值范围.
4-9k
【详解】联立直线和双曲线的方程得4x2-9k2x2=36,.-.(4-9/)/=36,
2
当4-9/=0,即/=±(时,直线和双曲线的渐近线重合,
所以直线与双曲线没有公共点.
2
当4-9rw0,即左w±|•时,%=2>0,
34-9k
22
解之得
故选:C.
【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握
水平和分析推理能力.
变式1-4.过点(。,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.无数条
【答案】C
【详解】因为点(0⑵在抛物线外面,与抛物线只有一个交点的直线有2条切线,1
条和对称轴平行,故3条.
题型战法二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题
22
典例2.已知椭圆C:三+上=1的左、右焦点分别为耳、F,过工且斜率为1的直线
432
/交椭圆C于/、5两点,则|AB|等于()
A.胃B.上C.区D.处
【答案】A
【分析】利用弦长公式求解即可.
22
【详解】设直线方程为,="1,联立椭圆方程工+匕=i
43
整理可得:7炉—8%-8=0,设尤2,%),
则%+%='!,根据弦长公式有:
A5=J1+左?,J(X]+X2)2—4玉・九2二亍・故B,C,D错误.
故选:A.
变式2-L直线y=x+加与椭圆]+丁=1交于4,2两点,若弦长出洌=乎,则实
数m的值为()
A.+-B.±1C.±-D.±2
22
【答案】B
【分析】联立直线的方程和椭圆的方程,化简写出根与系数关系,结合|胴|求得加的
值.
y=x+m
【详解】设4(xi,yi),B(%2,"),联立<f,整理可得:3x2+4mx+2m2-2
——+y=1
12
4m2m2-2
=n0,贝UXl+X2=---,X1X2=------,
33
所以弦长MB尸W.河ww=J1W_4wn;后卜普,
由题意可得:21=半=在白子,解得:m=±l.
故选:B
变式2-2.直线%-y=0与双曲线2f_y2=2有两个交点为A,B,则|他|=()
A.2B.2应C.4D.4垃
【答案】C
【解析】直线方程与双曲线方程联立方程组,直接解得交点坐标,再计算两点间距
离.
2尤2_,2=2大1=6X2=_A/2
【详解】由,得
x-y=O卜=6%=一也
■■\AB\=J仅0”(2鬲=4.
故选:C.
变式2-3.已知抛物线丁=4尤的焦点为歹,过点歹且倾斜角为45的直线/与抛物线
分别交于A3两点,则|4?|=()
A.1B.3C.6D.8
【答案】D
【分析】由题意可得直线/与的方程为>=x-l,代入抛物线方程得Y一6x+l=0,根
据韦达定理与焦半径的公式即可求出|钙|的值.
【详解】解:由题意可知尸(1,0),所以直线/与的方程为y=x-i,
联立直线方程和抛物线方程[丁丁,可得x2-6x+l=0,
U=4x
设4%,、1),8(孙为),
则占+%=6,XjX2=6,
所以|他|=|4尸|+|3尸|=芯+尤2+夕=6+2=8.
故选:D.
22
变式2-4.过双曲线1r-q=1(°>0)的右焦点尸作直线/与双曲线交于A,8两点,
使得|AB|=6,若这样的直线有且只有两条,则实数”的取值范围是()
A.(0,1]U(3,+OD)B.(0,1)(3,问
C.(0,1)D.(3,+8)
【答案】B
【分析】分别求解A,8在同一支上和不在同一支上IABI*,结合这样的直线有且
2a>62a<6
只有两条,列出不等式组6/或6即得解
—<6—>6
[a
【详解】若A,B在同一支上,当IABL,时钙为双曲线的通经,即有|48京=也=9;
aa
若A,B不在同一支上,则1483=20.
\2a>62a<6
因为9与2“不可能同时等于6,所以6,或〈6,
CL—<O—>6
、a
解得a>3或。<。<1
故选:B
题型战法三圆锥曲线的中点弦问题
22
典例3.如果椭圆好]=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()
A.x-2y=0B.%+2丁-4=0
C.2%+3y—14=0D.x+2y—8=0
【答案】D
R4
【分析】设点代入方程,两式相减得到白+?左=0,得到直线斜率,解得直线方程.
Jo9
2222
【详解】设交点分别为A(/X),B(x2,y2),则[+今=1,今+*=1,
369369
两式相减得到E+%)Ef)+5+>2)(X乃)=0,即5+卜=0,解得上=_:.
3693692
故直线方程为:y=-;(x-4)+2,即x+2y-8=0.
故选:D.
22
变式3-1.已知双曲线c:*-3=im>o/>0)与斜率为1的直线交于4,3两点,若线
ab
段N8的中点为(4,1),则。的离心率e=()
A.V2B.—C.更D.V3
32
【答案】C
【分析】中点弦问题利用点差法处理.
2222
【详解】法一:设4G,乂),3(孙%),则其-普=1,与-普=1,
abab
所以伍+%)仆—)一(%+%),2f)=0,又的中点为(4,1),
ab
所以玉+々=8,%+%=2,所以上工=弊,由题意知上耳=1,
x2-xla4—玉
所以3=1,即则C的离心率e=\"5=@•故A,B,D错误.
故选:C.
法二:直线过点(4』),斜率为1,所以其方程为A1="4,即y=x-3,
22
代入鼻-2=1并整理得9?-/+6/x_媛-a2b2=0,
cib
因为(4,1)为线段N8的中点,所以-^^=2x4,整理得"=仍2,
b-a
所以C的离心率e=Jl+「=与故A,
B,D错误.
故选:C.
变式3-2.已知双曲线C的中心在坐标原点,其中一个焦点为b(-2,0),过户的直线
/与双曲线C交于幺、3两点,且48的中点为N(-3,-1),则。的离心率为()
A.V2B.2C.&D.V3
32
【答案】B
【分析】利用点差法即可.
【详解】由尸、N两点的坐标得直线/的斜率上=1.
•••双曲线一个焦点为(-2,0),“=2.
22
设双曲线C的方程为宏母=l(a>0,b>0),则〃+/=4.
设A(XQI),3(%,%),则占+%=-6,y,+y2=-2,彳二
由¥-/=1,4爷=1得(尤]+%)(占一%)(弘+必)(弘一%)
=0,
a2b2
-62
1222
即+^7=0,/.a—3b,易得〃?=3,Z?=1,c=4f
•••双曲线C的离心率e,=3叵.
a3
故选:B.
2
变式3-3.已知双曲线C:/-与=l(b>0)的离心率为2,过点P(3,3)的直线与双曲线
b
。交于45两点,且点尸恰好是弦A3的中点,则直线AB的方程为()
A.2x-y-3=0B.2x+y-9=0C.3x-y-6=oD.x+y-6=0
【答案】C
【分析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得/=1,又e=9=2,c2=a2+b2,可得从=3.
a
则双曲线。的方程为/-9=1.设A&,yJ,B(x2,y2),
x2_y,T
玉丁一L22
则2两式相减得储-考)-江&=。,
卜-9,
即(%+%)-3+%!>/%)=0
又因为点尸恰好是弦A3的中点,所以%+尤2=6,yt+y2=6,
所以直线A3的斜率为上二&=史必=3,
%一迎必+必
所以直线A3的方程为y-3=3(x-3),即3x-y-6=0.
经检验满足题意
故选:C
变式3-4.已知抛物线C:V=6y,直线/与C交于两点,若弦A3的中点为(1,4),
则直线/的斜率为()
A.——B.3C.—D.一3
【答案】C
【分析】利用点差法计算可得;
【详解】解:设AQ,%),g,%),则卜V”所以X-%-6%,整理得
g=6%
X-3=4+/
xx-x26*
因为弦A3的中点为(L4),所以*二匹=笠三=!=;,即直线/的斜率为
Aj--%2O03J
故选:C
题型战法四圆锥曲线中的向量问题
典例4.已知产为椭圆C:—+y2=l的右焦点,P,Q为椭圆C上两个动点,且满足
4'
FPLFQ,则严.0月的最小值为()
A.>/3B.2C.7-4若D.2-6
【答案】C
【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得"1。=0,利用平面向量的线性运算
将EPQP变形为网\设尸(x,y)(-2WxW2),利用两点坐标求出,尸『,结合二次函
数的性质即可求出最小值.
【详解】由题意得,由尸尸尸2,得尸尸•尸Q=0,
则".。尸=尸尸,(尸「一尸0)=叮~FPFQ=FP=\FP\,
设P(x,y)(-2WxW2),由F(g,O),得FP=(x-4,y),
则加尸『=(X-A/3)2+y2=(%-A/3)2+(1-—)=-(^x-4)2,
又-2WxW2,由二次函数的性质可知,
(卜尸卜皿=%有x2-4y=7-4有,
所以EP•QP的最小值为7s
故选:C.
变式4-1.椭圆宁+;/=1的焦点为《,鸟,点M在椭圆上,且町小=0,则M
到y轴距离为()
A.3B.2&C.—D.—
33
【答案】C
【解析】设〃(不,为),代入椭圆方程;根据町.磔=0及向量垂直的坐标关系,可
得疗+为2=3,解方程组即可求得飞的值,进而可得M到J7轴的距离.
【详解】设〃(X。,几),点M在椭圆;+>2=1上,
所以4婷=1,①
椭圆片+>2=1的焦点为K,F2,
4
则耳f。),乙(3o),
所以加耳=(—0―%,一%),MF。=(6-x°,-y。),
由MF;•瓶=0,
可得(一代―无o,-%)-(8-%,一%)=0,
化简可得嫣+%2=3,②
联立①②可解得勺=±孚,
故M到y轴的距离为平,
故选:C.
【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系,平面向量数量积的坐标运算,属于基础
22
变式42已知椭圆(?(+?=1,若直线/经过M(0』),与椭圆交于A、B两点,
且叱=-,8,则直线/的方程为()
A.y=±-x+1B.y=±—x+1C.y=±x+lD.y=±—x+1
233
【答案】B
【分析】设直线/的方程为风yT)=x,A(XJ),B(x2,y2).联立直线与椭圆方程,
消元,由=可得y「i=_|(y2_i).再利用根与系数的关系即可得出.
【详解】解:设直线/的方程为机(y-D=x,A(%,%),B(x2,y2).
m(y-I)=x
联立%22,化为(9+5机2)y2_10机2y+5机2-45=0,
——+—=1
I95
10m25m2-45
22
MA=--MB,.•.y1-l=--(>2-l),联立解得利=±3.
则直线/的方程为y=土;x+1.
故选:B.
2
变式4-3.经过双曲线/-q=1的右焦点作倾斜角为45。的直线/,交双曲线于A,B
两点,设。为坐标原点,则等于()
A.-1B.1C.2D.-2
【答案】B
【解析】先依题意写出直线/的方程,联立直线与双曲线方程,利用韦达定理,结
合向量的数量积运算计算即得结果.
【详解】由双曲线的方程炉-!=1可知,右焦点坐标为(2,0),
.•./的直线方程可设为y=x-2,
设4(和乂),3(孙%),则应•加=]巧+%为,
f上=1
联立3一可得2/+4x-7=0,
j=x-2
7c
玉%2=——f玉+/=—2,
79
=(-^-2)(x2-2)=-2(^+x2)+4=-—+4+4=—,
79
:.OAOB=——+-=1.
22
故选:B.
22
变式4-4.已知双曲线C:十方=l(a>0,6>0)的右焦点为F,B是虚轴的一个端
点,线段即与C的右支交于点",若则C的渐近线的斜率为()
A.±2B.±|C.土逅D.±-
333
【答案】D
【分析】设”(x,y),根据BM=34屈,表示出点M的坐标,再由点河在双曲线上,
代入双曲线方程求解.
【详解】设"("),
因为双曲线的右焦点为尸,8是虚轴的一个端点,
贝1|年,0),以0,6),所以5M=(x,y-b),MF=(c-xi-y),
因为5M=3跖〜
3
x=c
x=3(c-x)4
所以解得
y—b=—3yb
y=l
因为点M在双曲线上,
解得提=?,
所以渐近线的斜率为±2=±EZ=+F3=±述,
aA\a2Va3
故选:D
题型战法五圆锥曲线中的定点、定值、定直线
典例5.已知椭圆C:/+}=l(a>6>0)的右顶点是"(2,0),离心率为,
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过点7(4,0)作直线/与椭圆C交于不同的两点N,B,点5关于x轴的对称点
为。,问直线是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
22
【答案】⑴+1=1
(2)是,定点(1,0)
【分析】(1)由离心率的值和右顶点坐标,得出椭圆C的方程;
(2)显然直线A2的斜率存在,设直线A3的方程为:>=%(尤-4),与椭圆方程联立,
设A(±,y,),B®,%),-%),利用韦达定理求出直线AT>的方程,得到与x轴
交点为定值,从而得出直线AD过定点.
(1)
由右顶点是M(2,0),得a=2,又离心率e=;,,所以c=l,
2a
22
所以〃=/一。2=3,所以椭圆C的标准方程为工+工=1.
43
(2)
设人,为),3(孙%),显然直线/的斜率存在.
y=左(无一4),
直线/的方程为,=左(》-4),联立方程组
3尤2+4/=12
消去y得(4左2+3卜2—32人,x+64左2—12=。,由△>(),――<k<—,
32kl64左2-12
所以%+3=4犷+3'="43+3
因为点所以直线/。的方程为产"21"-无J+M%「4).
—X?
又%+%=左(玉+々—8),
244Ax(%,+x9-8)+左(3—4)(%2一芯)
所以直线功的方程可化为+3广';々一芯
_24-_______24k_24左:、
即》(%2—%)(4左2+3)(尤2—%)(4左2+3)(%2—再)(4左2+3),
所以直线恒过点(1,0).
(方法二)设A(%,x),以々,%),直线/的方程为x=2y+4,
联立方程组13X7^=12消去X得(3苏+4)寸+24冲+36=0,
6
由A>0,得〃?>2或根<一2,所以%+%=一°",%%=。J,
3m+43m+4
因为点。(程-%),则直线AD的方程为y=乂土匹(x-xj+%.
X,一A9
又玉―/=7财+4_7佻_4=〃2(%—%),
所以直线的方程可化为
Y「(X+%)(x⑺_4Uy.1+%m(X+%)(,孙+4)+%M%—%)
m
y~(\y\十%一/十/\
机(%—y)机(必一%)机(必一%)
”+>2x।2初%必+4(3+%)24
制%f)制%-M)im2+4)(
此时直线幺。恒过点(1,0),
当直线/的斜率为0时,直线/的方程为了=0,也过点(1,0).
综上,直线/D恒过点(1,0).
【点睛】关键点睛:借助韦达定理表示直线4D的方程,是确定定点的关键.
22
变式5-1.已知椭圆E:a+}=l(a>b>0)的左、右焦点分别为6、K,M是椭圆的上
顶点,且△加不入是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
⑵已知直线/“-0>1=0与椭圆£交于48两点,判断椭圆£上是否存在点尸,
使得四边形04必恰好为平行四边形,若存在,求出点尸的坐标;若不存在,请说
明理由.
【答案】⑴]+9=1
(2)存在,点尸的坐标为卜
【分析】(1)根据等腰直角三角形可得匕=C=1M=0,然后写出椭圆E的标准方程;
,2।
--Fy=1
(2)由题意可设35,%),联立j2-,根据韦达定理和四边形0AP3
x=y/2y-1
恰好为平行四边形可得点P的坐标.
⑴
由已知得耳(一。,0),鸟(。,0),设M(0,6).
△吗工是面积为1的等腰直角三角形,
Z?—c--1,62—
.••椭圆E的方程为:+y2=i
⑵
由题意可设&(%,%),为).
,2一
--by-1.—
联立<2整理得4y2-26y—1=0,则△=8+16>0.
x=6y一\
X+%=f
根据韦达定理得
1
假设存在点尸满足四边形。恰好为平行四边形,所以OP=Q4+O8.
所以力=%+丫2=乎,
Xp=Xl-\-X2=0弘_1+应y2T=0(%+%)_2=T,
点尸[t,中]代入椭圆C方程,所以〈+:=1,所以点尸在椭圆C上.
所以点尸的坐标为11,三.
22
变式52已知椭圆C:下方=l(a>b>0)的长轴的两个端点分别为4(-2,0),3(2,0)离
(1)求椭圆C的标准方程;
⑵〃为椭圆。上除3外任意一点,直线AM交直线x=4于点N,点。为坐标原
点,过点。且与直线BN垂直的直线记为I,直线交了轴于点P,交直线I干点Q,
求证:微j为定值•
【答案】⑴:+9=1
(2)证明见解析.
【分析】(1)由顶点坐标求得“,由离心率求得。,再求出b得椭圆方程;
(2)设写出直线A"方程求得N
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