湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学试卷（含答案）

湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知集合4={乂,=皿尤—3)},3={%川炉-4%-12<0卜则AB=()

A.{4,5}B.[3,6)C.{3,4,5,6}D.(3,6)

2.样本数据16,24,14,10,20,15,12,14的上四分位数为()

A.14B.15C.16D.18

3.已知非零数列｛4｝满足2"4+「2计24=0,则咏=（）

“2021

A.8B.16C.32D.64

4.（xtan。-工］的展开式中第四项的系数为540,则cos26的值为（）

A.~—B.—C.--D.二

373755

5.为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9

份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两

人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（）

A.26B.25C.24D.23

6.在△ABC中，NAC3=120，,,q=4,℃£>8=0，则+的最

小值为（）

A-673-2B.2719-4C.36—1D，719-2

7.已知函数/（x）=e，—e-'+sinx—x+2,其中e是自然对数的底数.若

flog/+/（3）>4,则实数/的取值范围是（）

\2）

•片B.化+oo

AC.(O,8)D.(8,+co)

2

8.已知与，工分别是双曲线土=l（a〉0,6〉0）的左、右焦点，点。为坐标原

a2

点，过耳的直线分别交双曲线左、右两支A,3两点，点C在x轴上，CB=3F2A^BF2

平分N£3C,其中一条渐近线与线段A5交于点P，则sin/PO£=（）

A屈B.这C.叵D2汨

7

9.下列说法正确的是（）

A.已知随机变量x〜N（2,4），若尸（0<X<2）=04,则P（X>4）=0.1

B.设0>0，b>0,则“10gz^^（^^”成立的充要条件是。〉/,〉：!”

C.已知尸（3A）=g,P（AB）=|-则「（4）=得

D.若p（AB）=g，P（A）=|,P（B）=g，则事件A与3相互独立

二、多项选择题

10.已知抛物线0：必=2丁的焦点为死过点R且倾斜角为锐角的直线/与抛物线C相

交于A,3两点（点A在第一象限），过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为

直线/与抛物线C的准线相交于点N,则（）

A.|”|+忸同的最小值为2

B.当直线/的斜率为由时，|AB|=8

C.设直线BMMF的斜率分别为41，k2,则m=；

D.过点5作直线AM的垂线，垂足为0,3Q交直线归于点P,则忸外=|尸0|

11.在平面四边形ABCD中，AB=AD=①，AB^AD^△BCD为等边三角形，将

△ABZ）沿5。折起，得到三棱锥设二面角的大小为c.则下列

说法正确的是（）

A.当々=150。时，M,N分别为线段§£），A。上的动点，则|加用的最小值为H

B.当a=i20。时，三棱锥A-BCD外接球的直径为正

3

C.当=90。时，以A。为直径的球面与底面的交线长为在兀

3

D.当々=60。时，A。绕。点旋转至4。所形成的曲面面积为变兀

3

三、填空题

12.已知复数Z1=病--5m+6)i,Z2=10--3瓶)i，若za2?(1为z的共辗

复数)，则实数机的取值范围为.

13.已知在△ABC中,角A,氏C,所对的边分别为a,b,c,且acos5+/?cosA=-2ccosC,

7,

sin12A+《—,则cos(A-5)=

14.已知函数/(力的定义域为R,/(%)+/(1)=1,〃％)=2陪)且对于

0＜%＜々＜1，恒有/(王)4/(9)，则/1+；］=---------

四、解答题

15.绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽

种某品种树苗各500株.甲地土质含有M元素，乙地土质不含有M元素，其它土质情

况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与〃元素含量是否有关

联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，

甲地成活45株，乙地成活40株.

⑴根据所给数据，完成下面的2x2列联表(单位：株)，并判断依据小概率值

a=0.10的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与〃元素含量有关联？

2x2列联表

树苗成活情况

类别合计

成活不成活

含M元素

不含M元素

合计

(2)从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为X,求X的分布列

及方差

参考公式：炉—,n=a+b+c+d

(a+b)(c"+ad)"(*a?+c)(—b+d)

参考数据:

a0.100.050.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

16.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为直角梯形，ABHCD-ABLBC^

EC，平面ABCD，CD=2BC=4AB=4-

Q)若EC=2BF，BFHEC且多面体ABCDEF的体积为工，求直线AC与平面AEF

3

所成角的正弦值.

17.已知函数〃x)=|3x—1|—3b—31nx.

⑴当万=1时，求小)在g+oo］的单调区间及极值.

⑵若/(X)20恒成立，求6的取值范围.

18.已知数列｛〃〃｝为等比数列，｛2｝为等差数列，且〃1=々=2,小=眺，。4="8.

⑴求｛叫，也｝的通项公式；

(2)数列b］也21的前〃项和为s集合A=卜邑*母型,〃eN*!共有

IJI…+2J

5个元素，求实数/的取值范围；

logA(.

(3)若数列｛%｝中，q=l,lb2_^人求证：

q+q,Q+q•Q，，3++Cj•c2•c3•cn<2.

2

19.已知。为坐标原点，动点M在椭圆C：'+y2=1上，动点N满足ON=GoM，

记点N的轨迹为E

(1)求轨迹E的方程；

⑵在轨迹E上是否存在点T,使得过点T作椭圆C的两条切线互相垂直？若存在，求

点T的坐标：若不存在，请说明理由：

⑶过点时的直线丁=履+加(加。0)交轨迹E于A,3两点，射线交轨迹E于点

P,射线M0交椭圆C于点。，求四边形APBQ面积的最大值.

参考答案

1.答案：A

解析：因为A={x1y=ln(x-3)}={x|x>3}，

B={xeN*一4尤-12<0}={xe用-2<x<6}={0,1,2,3,4,5},

所以A8={4,5}.

故选：A

2.答案：D

解析：将数据从小到大排序可得10,12,14,14,15,16,20,24共8个样本数据,

则上四分位数即第75百分位数为8x0.75=6,即为更土型=18.

2

故选：D

3.答案：D

解析：由27.-2"+24=0可得a,,M=4a"，则-=七*红=64.

zZ-rlfl“十1ft入

U2021U2021

故选：D

4.答案：C

解析：因为［xtand-的展开式中第四项为7；=C：(xtane)31-工)=-20tan36＞，

所以—20tan*=540，

解得tan。=-3，

2

福I、I八八2八.2八cos0—sin"01—tan-01-94

所以cos26=cos-0-sm2e=—；----------=-------厂=——

cos26>+sin2^l+tan201+95

故选：C.

5.答案：C

解析：将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有

C；=等＞=28种分法，

而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法，

所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为

28—4=24种.

故选：C

6.答案：A

解析：由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为X轴，过C垂直CB的直线为y轴建

立如图所示的平面直角坐标系，

则A(_*言)，3(4,0),由℃.£>8=0，可得。是以为直径的圆,

所以。的轨迹方程为(x-2)2+/=4，

取瓦)的中点为“，设M(x,y),,

x=%+4

所以俨=21,所以②―6)2+(24=4,

可得」2

%+。〔为=2y

y=

2

所以点M的轨迹方程为(x-3)2+V=I，圆心为“(3,0),半径为1,

由AB+AD=2AM，所以IA3+A。|=21AM|，所以|AB+A£>|1Tli-2|4W京，

所以1=J(-3)2+(乎-°)2-1=36-「

所以|AB+A01rabi=68-2.

故选：A.

7.答案：C

解析：f'(x)=ex+ex+cosx-l>2^Jex-e-x+cos%-1=1+cos%>0，

「./(%)在R上单调递增.

令g(x)=/(%)-2,/.g(x)在R上单调递增，/(x)=g(x)+2.

因为g(—%)=©一九-e"+sin(-x)+x=-g(x),所以g(x)为奇函数，

(、

贝”(logJ)+/(3)>4化为glog]t+2+g(3)+2>4,

'\2/

所以g(logJ)>—g(3)Og(logJ)>g(—3)ologJ>—3,解得oV/V8，

222

/.?G（0,8）.

故选：C

8.答案：B

解析：

如图CB=3月A,.•・△耳~△片BC,|6月|=2c,||=4c,

设|=f，则|34|=3t,|AB|=2/,

e八|BC||RC|0

3月平分N4——L=_!^_L=2,

21

\BFX\\F^\

：\5C|=21BF,|=6t,\AF2\=1|5C|=2t,

由双曲线定义可知IAF2\-\A昂=/=2a,\BF\-\BF^=2a,

:.\BF2\=\AF2\=\AB\^4a,即/43片=60。，

在△耳3耳中，由余弦定理知

/Ada|耳8「+|工-14工「(6a)2+(4a)2-(2c)2

J

cosZEBF?=--------p——r-；-----：---------=----------------------------

12〃

2\FXB[\F2B\2.6入4

化简得c=«a，由储+/=02得2=座，

c7

不妨令一条渐近线与线段.的交点P在第一象限，则

bhx/42

tan/PO8sinZPOF,，二止.

ac7

故选：B

9.答案：A

解析：对于A,随机变量X服从正态分布，且对称轴为％=2，

因为尸(0<X<2)=04,所以P(2<X<4)=04,

故P(X>4)=P(X>2)—P(2<X<4)=0.1,故A正确；

对于B,当6>1时，logfe3>logfc1=0.当0<。<1时，loga3<log〃l=0,

此时log&3>log“3成立,但人>1>。>0,故B错误；

3

对于C，p⑵A)/(AB)8J，故P(A)=3,故C错误;

(1)P(A)P(A)24

对于D,=故D错误.

故选:A

10.答案：BCD

解析：设直线/的方程为y=

对于A,把y=区+（代入/=2y得彳2一26一1=（）,

设4（石，弘），矶龙2，％），则芭+%=2左，X]%=T，

所以|AF|+忸耳=y+%+1=左（七+%2）+2=2左?+2>2,A错;

对于B,当直线/的斜率为由时，

2

\AB\=\AF\+\BF\=yi+y2+l=k(x1+x2)+2^2k+2=S>B对;

对于C,由题意知；

1xf111

+1

则匕=%+5=5+万_，+]，k2=22=>

x2-xxx2-x}2(X2-xj0—玉x1

所以2=2伍%)_%环2+尤1_

—%2+%]1C对;

左2_J_2(%-再)2(%2-％1)2

(2、(2A

对于D,由5x?a有。不三

<2)\2)

因为MF的方程为丫=一Lx+!，令y=E得=百丁”,

石2-222

所以点尸为50的中点,即忸尸|=|PQ|,D对.

故选：BCD.

解析:对于A,

如图,取中点，连接4E，EC则AELBD,CE_LBD，

所以N^EC为二面角A-5。-C的平面角，角NAEC=e,

由题意可得BD=2，AE=1，CE=6，

当a=150。时，根据余弦定理可得4。=近，

当M为3。中点且时，长度最短，

由等面积法可得工xl义6XL=LXV7X(MN)，求得最小值为Y型故A对.

对于B,如图，△A5D,Z^BCD的外接圆的圆心分别为Eg，三棱锥台。。外接球

的球心为。，连接。E,OO］，OC，则EO=1_CE=41，CO=2。后=3叵，

133133

BC

当々=120。时，则NOEO]=30。，所以OOL当EOL；,

所以球的半径OC=也。2+。。2=半.故B错.

对于C,当々=90。时，如图，过球心。作Oq^EC

则。]为EC的中点，且。。1=g,又球半径为1,球与△BCD的一交点为H,

则O“=走，又过a作O]F，3C,o、F=B，

24

球与底面△BCD的交线如图，

D

所以交线长为27r.无=立兀，故c对.

333

对于D,转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，该圆锥母线长为后，底面圆半径为1,

故面积为7r.虎」=也兀，故D对.

33

故选：ACD.

12.答案：{3}

22

解析：z2=10-(m-3m)i,.\z2=10+(m-3m)i?

Z]<4,z2都是实数，且4〈马，

m2-5m+6=0

「.<m2-3m=0，解得加=3,

m2<10

即实数m的取值范围为{3}.

故答案为：{3}.

13.答案：1/0.875

8

解析：因为acosB+6cosA=-2ccosC，

由正弦定理可得sinAcos6+sinBcosA=-2sinCeosC，

即sin（A+B）=-2sinCcosC-所以sin（7i-C）=-2sinCcosC，

即sinC=-2sinCcosC，因为sinC>0，所以cosC=—

2

因为0<C<7i,所以C=2^，即A+=巴，

33

所以cos（A_5）=cos^2A--1-^=cos卜+泊卜sin,+J.

故答案为：1.

8

14.答案：—/0.0625

16

解析：由〃x）+/（i_x）=i可得（£）+同=1,所以

…/（x）=l/（1x）=l2/1］：

\77\/7\/乙

.•.”。）+*卜1,/（0）+/（1）=1.

・•・〃1）_吗）=

因为对于0<%<々41，恒有/（%）«〃%），

所以当）时，f（x>=-，而^

172），'，：22024<72）

二］」/当」

"^2,024；1=2"（工202411」4（2024）8<2024J16

故答案为：

16

15.答案：（1）列联表见解析，该品种树苗成活与M元素含量无关联;

(2)X的分布列见解析，方差为D(X)=:

解析：(1)依题意可得2x2列联表如下:

树苗成活情况合计

类别

成活不成活

含“元素45550

不含M元素401050

合计8515100

零假设为8。：该品种树苗成活与“元素含量无关联.

根据列联表中的数据,

100x(45x10—40x5)2100

x1.961<2.706=x，

50x50x85x1551010

根据小概率值。=Qi。的独立性检验，没有充分证据推断Ho不成立,

因此可以认为“°成立，即认为该品种树苗成活与“元素含量无关联.

(2)由题意知，不成活的树苗共有15株，甲地不成活的树苗有5株，X的可能取值

为0,1,2,3,

94d4S

故。。=0)=%费=一，P(X=1)=^4^=—,

C：591C：591

C^CL202

P(X=2)=T^=—，P(X=3)=T^=—

C：591/91

故X的分布列为：

X0123

2445202

P

91919191

甘口用八2445c20-2

期望E(X)=0x----i-lx----i-2x----i-3x——=1；

91919191

+*24452024

^£>(X)=—x(0-l)?2+—x(l-l)92+—x(2-l)92+—x(3-l)92=--

919191917

16.答案：(1)证明见解析;

⑵逑

15

解析：（1）在RtZVWC中，tanZBDC=—=--

CD2

在RtZ^ABC中，tanZACB=—=->

BC2

所以NBDC=NACB，ZBDC+ZACD=ZACB+ZACD=90°

所以ACLBD，又EC,平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以ECL5D，

又ACEC=C，ACu平面AEC，ECu平面AEC，

所以BD,平面AEC，又AEu平面AEC，

所以BDLAE；

（2）设多面体ABCDEF的体积为V，EC=2BF=2x，

则V=%BCEF+/TC£）=§A3，S四边形BCEF+-EC-S^ACD=-xlx3x+JX2XX4=-J-

解得x=l，

如图，以C为坐标原点，C£），CB，CE所在直线分别为％，y，z轴建立空间直角坐标

则41,2,0),£(0,0,2),歹(0,2,1),C(0,0,0),

则EP=(0,2,—l)，A/=(—1,0,1)，AC=(-1,-2,0)>

设平面AEE的个法向量为〃=(x,y,z),

AFn=-x+z=0..

则，令z=2，则尤=2，y=l,

EFn=2y-z=0

所以平面AEF的一个法向量为“=(2,1,2)，

设直线与平面的所成的角为8，

抓〃.z)iIIAC-n|44A/5

利8么sin6=cos<AC,n>=------------=—；=——=----，

\AC\-\n\V5x315

所以直线4c与平面AEF所成角的正弦值为逑.

15

17.答案：(1)单调递减区间为单调递增区间为(1,+00)，极小值为/⑴=-1，

无极大值；

⑵[-。0，；

解析：(1)当b=1，x〉g时，/(x)=3x-l-3-31nx=3x-31nx-4>

则广(同=3-3=互力,

XX

令r(x)>0，解得X>1，

令r(了)<。,解得；<%<1，

所以八工)的单调递减区间为单调递增区间为。,+⑹,

所以“X)在x=l处取得极小值=无极大值.

(2)依题意可得了(力=田—1|—3〃—31nx,对Vx£(0,zo)，恒成立,

即3/?«|3x-l|-31nx，令g(x)=|3x-l|-31nx,

当时，g(x)=l-3x-31nx，g(x)单调递减,

g,+oo］时,a

当X£g(x)=3%-1-31n%,则g，(%)=3——=-------，

令g'(x)>。，解得尤>1,令g<x)<0，解得;<%<1，

综上所述，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

则g(%)min=葭1)=2，所以3万<2,即

所以6的取值范围为上”].

18.答案：(1)。〃=2",bn=2n；

(2)(25,学147；

4

(3)证明见解析

解析：(1)设数列｛〃/的公比为必数列｛2｝的公差为d,

则由4=8%，，=8，所以q=2,所以%=。4-1=2〃，

%=16,即4=2+72=16,所以d=2，

所以4=4+5-l)d=2+(〃-1)x2=2〃；

(2)设数列丁=(_正”件W,2,

则d4n+d4n_1+dg+d&*_3=%+-或_2-*_3=128n-48，

所以S4”=+d2+d3+d4)++(6?4„_3+d4n_2+d3n_｝+d^n)=-------------------

=〃(64〃+16)，

见J*二(64〃+16)•2(〃+2)=(32〃+8)(〃+2)

叫+2=2^=r

令/⑺=©2"+8)5+2),z+n_f(.=(32“+40)(〃+3)_(32〃+8)(〃+2)

_-32/脑88_4(-4"2〃+n),

2"i2〃

可得/(I)<”2)>f(3)>/(4)>>f(n),

故当〃=2时，/(“)最大，

r147

且/⑴=6。，八5)=『"6)=25,

所以25〈芯巴，即/的取值范围为（25,巴］.

4,4

log2%nn

(n>2)

(3)由G=l,c'Iz,2_]n2-1(«+1)(«-1)

4"

23nn

贝U当〃22时，crc2，c3=1x--X-―-Xx

1x32x4(n-l)(n+l)3x4x5xx〃x(〃+l)

_2"_2己+1-1]______1]

-(n+l)!-5+1)!n\(〃+1)!

当〃=1时，q=l也满足上式，

1

所以q・。2•。3%=2[4---](HeN*)，

n\(n+1)!

q+q,Q+G•Q•03++•02•03

M11111,

=2[1---+------++----------1

2!2!3!n\(H+1)!

=2——-<2,

5+1）!

所以原不等式成立.

22

19.答案：⑴土+工=1；

63

(2)存在，7(0,百)或(0,-6)；

⑶2(舟1)

解析：⑴设MO,"),N(x,y)，则ON=(x,y)，OM=(m,n)，

由ON=y/3OM得(x,y)=瓜m,n),

2

又M（九九）在椭圆。上，所以V-+〃2=].

2