2.5 实验：用单摆测量重力加速度高二物理同步讲义（人教版选择性必修第一册）（教师版）

2.5实验：用单摆测量重力加速度目标导航目标导航课程标准课标解读1.通过对单摆周期公式的分析，能够设计用单摆测量重力加速度的实验方案。2.通过实验所测数据，能够用图像法进行相应处理。3.通过练习，能够对题目中所给的实验方案进行分析与评价。1.会用控制变量法探究单摆的周期与哪些因素有关.2.掌握单摆的周期公式，掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法．知识精讲知识精讲知识点01测定当地的重力加速度1．原理：测出摆长l、周期T，代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)，求出重力加速度g.2．器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1m左右)、米尺、游标卡尺．3．实验步骤(1)让细线穿过金属小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．(3)用米尺量出悬线长l′(准确到mm)，用米尺和三角板(或游标卡尺)测出摆球的直径d(准确到mm)，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋eq\f(d,2)即为摆长．(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于5°，再释放小球．当小球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．(5)改变摆长，反复测量三次，算出周期T及测得的摆长l代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)，求出重力加速度g的值，然后求g的平均值，即为当地的重力加速度的值．4．五点注意(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1m，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm.(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．(4)小球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．方法是将小球拉到一定位置后由静止释放．(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期．【即学即练1】在“探究单摆摆长与周期关系”的实验中，某同学的主要操作步骤如下：A．取一根符合实验要求的摆线，下端系一金属小球，上端固定在O点；B．在小球静止悬挂时测量出O点到小球球心的距离L；C．拉动小球使细线偏离竖直方向一个不大的角度(约5°)，然后由静止释放小球；D．用秒表记录小球完成n次全振动所用的时间t(1)用所测物理量的符号表示重力加速度的测量值，其表达式为g＝____________；(2)若测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是______(选填下列选项前的序号)A．测量摆长时，把摆线的长度当成了摆长B．摆线上端未牢固地固定于O点，振动中出现松动，使摆线越摆越长C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间t记为了n次全振动的时间，并由计算式T＝求得周期D．摆球的质量过大(3)用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图1所示，摆球直径为______cm.然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图2所示，秒表读数为______s.图1图2【答案】(1)

(2)C(3)2.06100.0【解析】(1)单摆的周期T＝，根据T＝2π得，g＝＝.(2)根据T＝2π得，g＝，测量摆长时，把摆线的长度当成了摆长，则摆长的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏小，故A错误．摆线上端未牢固地固定于O点，振动中出现松动，使摆线越摆越长，知摆长的测量值偏小，导致重力加速度测量值偏小，故B错误．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间t记为了n次全振动的时间，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，故C正确．摆球的质量过大，不影响重力加速度的测量，故D错误．故选C.(3)游标卡尺的主尺读数为20mm，游标读数为0.1×6mm＝0.6mm，则最终读数为20.6mm＝2.06cm.秒表的小盘读数为90s，大盘读数为10.0s，则秒表读数为100.0s.【即学即练2】用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示．(1)(多选)组装单摆时，应在下列器材中选用______(选填选项前的字母)．A．长度为1m左右的细线B．长度为30cm左右的细线C．直径为1.8cm的塑料球D．直径为1.8cm的铁球(2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝__________(用L、n、t表示)．(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理.请计算出第3组实验中的T＝______s，g＝______m/s2.【答案】(1)AD(2)

(3)2.019.76【解析】(1)为减小实验误差，应选择1m左右的摆线，故选A，为减小空气阻力影响，摆球应选质量大而体积小的金属球，故选D，因此需要的实验器材是A、D.(2)单摆的周期：T＝，由单摆周期公式：T＝2π，解得：g＝＝.(3)由表中实验数据可知，第三组实验中，周期：T＝

s＝2.01s，代入数据有：g＝＝＝9.76m/s2.能力拓展能力拓展考法01用单摆测量重力加速度的数据处理与误差分析1、数据处理(1)公式法：根据公式g＝eq\f(4π2n2l,t2)，将每次实验的l、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值．(2)图像法：作出T2­l图像，由T2＝eq\f(4π2l,g)可知T2­l图线是一条过原点的直线，其斜率k＝eq\f(4π2,g)，求出k，可得g＝eq\f(4π2,k).2、误差分析(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值．(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可．【典例1】在“用单摆测定重力加速度”的实验中(1)以下关于本实验的措施中正确的是________．A．摆角应尽量大些B．摆线应适当长些C．摆球应选择密度较大的实心金属小球D．用停表测量周期时，应从摆球摆至最高点时开始计时(2)用50分度的游标卡尺测量小球的直径，如图所示的读数是________mm，用停表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示，停表读数为________s.(3)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，同学甲说：因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大，乙同学说：浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变，这两个同学的说法中________．A．甲正确B．乙正确C．都错误【答案】(1)BC(2)17.50100.2(3)A【解析】(1)在摆角小于5°的情况下单摆的运动可以看做简谐运动，实验时摆角不能太大，不能超过5°，故A错误；实验中，摆线的长度应远远大于摆球的直径，适当增加摆线的长度，可以减小实验误差，故B正确；减小空气阻力的影响，选择密度较大的实心金属小球作为摆球，故C正确；用停表测量周期时，应从球到达平衡位置开始计时，这样误差小一些，故D错误．(2)由题图可看出，游标尺上的第25条刻度线与主尺上的4.2cm刻度线对齐了，则游标尺的零刻度线与此刻度线之间的距离为25×

mm＝24.5mm，因4.2cm－24.5mm＝17.5mm，则游标尺的零刻度线应在17mm～18mm之间，游标尺读数为25×0.02mm＝0.50mm；则游标卡尺读数为17mm＋0.50mm＝17.50mm；由图示秒表可知，分针示数超过了半刻线，秒表示数为：60s＋40.2s＝100.2s；(3)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，物体不只受重力了，加速度也不是重力加速度，实际加速度要减小，因此振动周期变大，甲同学说法正确．分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中，摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动秒表开始计时，并记录此后摆球每次经过最低点的次数n（n=1、2、3...），当数到n=40时刚好停表，此时秒表读数为t。则该单摆的周期为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，单摆完成全振动的次数为故该单摆的周期为C正确。故选C。二、多选题2．某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约为3cm、外形不规则的大理石代替小球。他设计的实验步骤有误的是（）A．将石块和细尼龙线系好，结点为M，将尼龙线的上端固定于O点；B．用刻度尺测量OM间尼龙线的长度L作为摆长；C．将石块拉开一个大约α=5°的角度，然后由静止释放；D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t，由得出周期；E.改变OM间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的l和T；F.求出多次实验中测得的l和T的平均值，作为计算时用的数据，代入公式g=（）2l，【答案】BDF【解析】B．摆长应为石块重心到悬点的距离，故B步骤错误；D．计时开始的位置应为摆球振动的平衡位置，故D步骤错误；F．在用公式g=（）2l计算g时，应先将各项的l和T单独代入求解g值，不能先求l、T的平均值再代入求解，故F步骤错误。故选BDF。三、实验题3．注意事项（1）悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定；（2）单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于__________；（3）选择在摆球摆到________处时开始计时，并数准全振动的次数；（4）小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝_________；（5）一般选用一米左右的细线。【答案】5°平衡位置l′＋r【解析】(2)[1]单摆必须在同一平面内振动，且摆角不能过大，应小于5°。(3)[2]选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，因为在此位置摆球速度最大，易于分辨小球过此位置的时刻。(4)[3]根据摆长的定义可知4．数据处理（1）公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度；（2）图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－___的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k，即可利用g＝_____求重力加速度。【答案】T24π2k【解析】(2)[1]根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像。(2)[2]由单摆周期公式可知斜率解得5．实验原理当摆角很小时，单摆做_________，其运动周期为T＝_______，由此得到g＝，因此，只要测出______和_________，就可以求出当地的重力加速度g的值.【答案】简谐运动2π摆长l振动周期T【解析】[1]单摆发生机械振动时，若摆角很小时，这时的振动可以看成是简谐振动。[2]周期[3][4]由可知，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求得当地重力加速度。6．实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。（1）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有___________。A．尽量选择质量大、体积小的摆球B．将摆球拉到最大位移处释放，同时快速按下秒表开始计时C．测量摆长时，让单摆自然下垂，先测出摆线长度，然后加上摆球的半径D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间作为单摆的周期。（2）某同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是___________（选填“”、“”或“”），若图线斜率为，则测得的重力加速度g=___________。【答案】AC【解析】(1)[1]A．在实验中尽量选择质量大、体积小的摆球，以减小空气阻力给实验结果带来的误差，A正确；B．单摆释放的角度应当很小,摆球释放后,应使摆球在同一个竖直平面内摆动,然后再测量单摆的周期在测量单摆的周期时,计时的起、终时刻,摆球都应恰好通过平衡位置，B错误；C．测量单摆的摆长时,应使摆球处于自由下垂状态,用米尺测出摆线的长度,再用游标卡尺测出摆球的直径,然后算出摆长，C正确；D．用秒表测出单摆做30～50次全振动所用的时间,计算出平均摆动一次的时间,这个时间就是单摆的周期，D错误。故选AC。(2)[3]由单摆周期公式知横坐标为。[4]图像斜率得7．利用“探究单摆摆长和周期关系”实验来测定当地的重力加速度。①如图给出了细线上端的两种不同的悬挂方式，你认为选用哪种方式较好___________（选填“甲”或“乙”）；②小明同学用刻度尺测量摆线长度当作单摆的摆长，并测出多组数据，作出T2-L图像，那么小明作出的图像应为图中的___________，再利用图像法求出的重力加速度___________真实值（选填“大于”、“等于”、“小于”）。【答案】乙A等于【解析】(1)[1]乙的悬挂较好，夹子夹住细线，可以保证试验过程中，单摆的摆长保持不变。(2)[2]用刻度尺测量摆线长度当作单摆的摆长，则测量值比真实值少一个摆球的半径，在图像中会出现，“摆长”取零，单摆存在周期的情况。故小明做出的图像应为图中的A。[3]根据单摆的周期公式，有虽然测量摆长少加了半径，但是自变量L前面的系数，即斜率不变，故求出的重力加速度与真实值相等。8．某同学做“探究单摆周期与摆长的关系”实验：(1)用铁架台固定单摆，其中悬挂点固定方式正确的是图__________（选填“甲”或“乙”）(2)用游标卡尺测量摆球的直径，以下操作正确的是____________（选填“A”或“B”）；(3)游标卡尺的示数如图所示，则读数是___________mm【答案】乙A17.3【解析】(1)[1]用铁架台固定单摆，其中悬挂点固定方式正确的是图乙；甲图中在小球摆动过程中，摆长会不断变化，图甲错误。(2)[2]用游标卡尺测量摆球的直径，操作正确的是A；B中小球夹在缺口处，测量值偏小。(3)[3]游标卡尺的读数是17mm+30.1mm=17.3mm9．在“用单摆测量重力加速度实验”中，使用下列实验器材．（1）A、1.2m的细线B、2m的弹性绳C、带孔的小铁球D、带孔的软木球E、光电门传感器应选用哪种绳________，应选用哪种球________，光电门的摆放位置为________（选填“最高点”或“最低点”）（2）右图为光电门传感器电流强度I与t的图像，则周期为（________）A、B、C、D、（3）甲同学用秒表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是________．【答案】AC最低点C开始计时时，秒表太早按下，测量时间偏长，周期偏大【解析】（1）单摆实验时，应选细绳，弹性绳在运动过程中长度发生改变，导致摆长变化，所以应选1.2m的细线；为了减小实验误差，摆球选择质量大、体积小的铁球；在测量时间时，因为最高点附近速度小，最低点附近速度大，所以光电门应摆在最低点附近，测量误差小（2）单摆运动一个周期经过平衡位置两次，根据图像可知周期为：（3）用秒表计时，测的周期为N次全振动对应的总时间，在进行求解单次的时间即周期，测量结果偏大，可能是开始计时时，秒表太早按下，测量时间偏长，周期偏大10．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：（1）摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最_____（填“高”或“低”）点的位置．若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝_____．（2）考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大．”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中_____．A．甲的说法正确B．乙的说法正确C．两学生的说法都是错误的（3）某同学用单摆测当地的重力加速度．他测出了摆线长度L和摆动周期T，如图（a）所示．通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图象如图（b）所示．由图象可知，摆球的半径r＝_____m，当地重力加速度g＝_____m/s2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会_____（选填“偏大”“偏小”或“一样”）【答案】低A0.0109.86一样【解析】（1）单摆测重力加速度时，计时起点应该选取平衡位置即最低点，因为在最高点时，速度为零，误差较大；根据单摆周期公式：，所以：（2）根据题意分析，空气对摆球有一个竖直向上的浮力，所以导致竖直方向的合力比重力小，即相当于减小了重力加速度，根据公式，可知单摆的周期变大，甲的说法正确，BC错误A正确（3）根据可知：，，所以图像与横轴交点为半径大小，即，根据解析式并结合图像可知，图像斜率为：，解得：，根据解析式可知，考虑不考虑球的半径，斜率不变都是，只是图像在坐标系中沿x轴平移，所以此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比一样．11．下面是将用单摆测定重力加速度实验中获得有关数据所制作成的图象（l为摆长，T为周期）．（1）请利用图象求出重力加速度g=______m/s2（2）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，若测得的g值比当地的标准值偏小，可能是因为______A．球的质量偏大B．摆动的偏角偏小C．计算摆长时，把悬线长l′当作了摆长lD．测量周期时，将n次全振动误记成了（n+1）次全振动【答案】（1）9.70，（2）C．【解析】（1）根据T=得，，图线的斜率k=，解得重力加速度g=9.70m/s2．（2）根据T=得，g=，A．摆球的质量偏大，不影响重力加速度的测量，故A错误．B．摆角偏小，不影响重力加速度的测量，故B错误．C．计算摆长时，把悬线长l′当作了摆长l，则摆长的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏小，故C正确．D．测量周期时，将n次全振动误记成了（n+1）次全振动，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，故D错误．12．某同学利用单摆测量重力加速度（1）为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是______；A．组装单摆需选用密度较大、直径较小的摆球B．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大C．实验时需使摆球在同一竖直面内摆动D．组装单摆需选用轻且不易伸长的细线（2）如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约为1m的单摆，实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆周期；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离，用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g=______。【答案】ACD【解析】(1)[1]A．组装单摆需选用密度较大、直径较小的摆球，可以减小空气阻力。故A正确；B．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大，摆长过大，大于10°小球的运动不在是简谐运动，故误差较大。故B错误；C．实验时需使摆球在同一竖直面内摆动，保持摆长不变，是单摆。故C正确；D．组装单摆需选用轻且不易伸长的细线，保证摆线质量忽略不计，摆长不变，可以减小误差。故D正确。故选ACD。(2)[2]根据单摆的周期公式，有，两式相减可得13．两位宁夏的同学利用假期分别去参观北京和海南，较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，并绘制了T2－L图象(1)如图甲所示，去北京的同学所测实验结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)．(2)返回宁夏后，两位同学合作绘制了两种单摆的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比＝________.（3）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，若测得的g值比当地的标准值偏小，可能是因为_____A．摆球的质量偏大B．摆动的偏角偏小C．计算摆长时，把悬线长当作了摆长D．测量周期时，将n次全振动误记成了（n＋1）次全振动【答案】B4:9C【解析】（1）由T＝2π得，T2＝，知T2～L图象的斜率越大，则重力加速度越小，因为宁夏当地的重力加速度小于北京，去北京的同学所测实验结果对应的图线的斜率小，应该是B图线．（2）由振动图线知，两单摆的周期比为，由T＝2π知，两单摆摆长之比；（3）由T＝2π得，，由此可知改变球的质量和摆角对单摆的周期无影响，故AB错误；计算摆长时，把悬线长当作了摆长，则摆长偏小，则由可知，g的测量值偏小，故C正确；测量周期时，将n次全振动误记成了（n＋1）次全振动，则周期测量值偏小，g测量值偏大，故D错误。故选C.题组B能力提升练一、单选题1．用单摆测重力加速度的实验中，测出的重力加速度的值大于当地的重力加速度，下列原因中可能的是（）A．振幅太小导致测得的周期偏小B．计算摆长时，只考虑线长，没有加上摆球半径C．将n次全振动误记为（n－1）次全振动D．将n次全振动误记为（n＋1）次全振动【答案】D【解析】A．单摆周期与振幅无关，振幅的大小不会影响周期的测量，A错误；B．由得，重力加速度测得的g偏大，可能是L的测量值偏大，也可能是T的测量值偏小，所以不加摆球半径，是使L偏小，使g偏小，B错误；C．将n次全振动记为（n－1）次全振动，则T的测量值偏大，使g偏小，C错误；D．将n次全振动记为（n＋1）次全振动，T的测量值偏小，使g偏大，D正确。故选D。2．马玲同学周末用单摆测当地的重力加速度，将单摆固定好，用米尺测绳长，用游标卡尺测摆球直径，用秒表测出50个周期的时间然后算出周期T。改变摆长l，重复实验，得到多组实验数据后，在坐标纸上做出如图所示的图像。下列叙述正确的是（）A．图像不过原点的原因可能是误将绳长加摆球直径当成摆长B．如果马玲同学把绳长当成了摆长（没加摆球半径），则用此图像算出的重力加速度偏小C．如果马玲同学把绳长当成了摆长（没加摆球半径），则用此图像算出的重力加速度不受影响D．图像的斜率等于重力加速度【答案】C【解析】图像不过原点，将图像向右平移，就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小，故可能是没加小球半径，平移不会改变图像的斜率，由公式整理得图像列率则斜率不变，在测出的加速度不变，故C正确，ABD错误。故选C。二、多选题3．在用单摆测量重力加速度的实验中，下列说法正确的是（）A．尽量选择质量大、体积小的摆球B．用刻度尺测量摆线的长度，将其作为单摆的摆长C．为方便测量，可以让单摆的振幅尽可能大D．释放摆球，当摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆的周期T=【答案】AD【解析】A．尽量选择质量大、体积小的摆球，可以减小阻力使实验更准确，A正确；B．用刻度尺测量摆线的长度，用游标卡尺测出小球的直径算出半径，则线长加半径作为摆长，B错误；C．为了准确，单摆的振幅尽可能小，最大不超过5°，C错误；D．为了准确可以多测几个周期，比如释放摆球，当摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆的周期T=，D正确。故选AD。4．一根不可伸长的细线，上端悬挂在O点，下端系一个小球，如图甲所示，某同学利用此装置来探究周期与摆长的关系．该同学用米尺测得细线两端的长度，用游标卡尺测量小球的直径，二者相加为l，通过改变细线的长度，测得对应的周期T，得到该装置的l－T2图象如图乙所示。利用所学单摆相关知识，选择下列说法正确的选项（取π2＝9.86）（）A．T＝2s时摆长为1m B．T＝2s时摆长约为0.994mC．摆球半径为0.006m D．当地重力加速度为9.86m/s2【答案】BC【解析】CD．设摆长为l′，由单摆的周期公式得T＝2π且l＝l′＋r结合题图乙推导得l＝0.006m＋T2可知摆球半径r＝0.006m为l－T2图象的斜率，所以有＝＝m/s2解得g≈9.80m/s2故C正确，D错误；AB．由单摆的周期公式有l′＝T2＝×22m≈0.994m故B正确，A错误。故选BC。三、实验题5．在“用单摆测定重力加速度”的实验中：（1）需要记录的数据有：小钢球的直径d、________、摆长L、30次全振动的总时间t和周期T；（2）用标准游标卡尺测小钢球的直径如图所示，则直径d为__________mm；（3）如图所示，某同学由测量数据作出L－T2图线，根据图线求出重力加速度g＝_______m/s2（已知π2≈9.86，结果保留3位有效数字）。【答案】摆线长l18.69.66（9.60～9.70）【解析】（1）[1]根据单摆的周期公式T＝2π知要测重力加速度，需要测量小钢球的直径d、摆线长l从而得到单摆的摆长L；还要测量30次全振动的总时间t，从而得到单摆的周期T。（2）[2]游标卡尺的主尺读数为18mm，游标尺上第6个刻度和主尺上某一刻度对齐，所以游标读数为6×0.1mm＝0.6mm所以最终读数为18mm＋0.6mm＝18.6mm（3）[3]根据单摆的周期公式T＝2π得L＝T2再根据L－T2图像的斜率为k＝＝0.245即＝0.245得g≈9.66（9.62～9.70都正确）6．（1）在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验时，先测出摆球的直径如图所示，直径d为________mm。（2）实验测得的g值比实际值偏大，可能的原因是______。A．摆球的密度过小B．摆球经平衡位置时启动停表并开始计数，当摆球第50次经过平衡位置时制动停表，若读数为t，则周期为T＝C．摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线增长【答案】13.35B【解析】（1）[1]游标卡尺主尺示数为13mm，游标尺的第7格线和主尺上刻度线对齐，游标尺示数为7×mm＝0.35mm摆球的直径d＝（13＋0.35）mm＝13.35mm（2）[2]A．根据单摆的周期公式T＝2π可得g＝摆球的密度过小，会使空气阻力不能忽略，测出来单摆的周期偏大，所以测出的g值比实际值偏小，故A项不符合题意；B．摆球经平衡位置时启动停表并开始计数，当摆球第50次经过平衡位置时制动停表，若读数为t，则周期为T＝用T＝计算出来的周期偏小，所以测出的g值比实际值偏大，故B项符合题意；C．摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线增长，测出来的摆长偏小，所以测出的g值比实际值偏小，故C项不符合题意。7．某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度，实验步骤如下：A．按装置图安装好实验装置；B．用游标卡尺测量小球的直径d；C．用米尺测量悬线的长度L；D．让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、…，当数到20时，停止计时，测得时间为t；E．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D；F．计算出每个悬线长度对应的t2；G．以t2为纵坐标、L为横坐标，作出t2－L图线。结合上述实验，完成下列问题：（1）用游标为10分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图所示，读出小球直径d为________cm。（2）该同学根据实验数据，利用计算机作出t2－L图线如图所示．根据图线拟合得到方程t2=404.0L＋3.07，由此可以得出当地的重力加速度g=________m/s2。（取π2=9.86，结果保留3位有效数字）（3）从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是_______。A．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时B．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数C．不应作t2－L图线，而应作t－L图线D．不应作t2－L图线，而应作t2－（L＋d）图线【答案】1.529.76D【解析】（1）[1]游标卡尺主尺的示数是1.5cm=15mm游标尺示数是2×0.1mm=0.2mm故小球的直径为d=15mm＋0.2mm=15.2mm=1.52cm（2）[2]根据单摆周期公式T=2π得=2π又l=L＋则t2=400π2=400π2＋故t2－L图像的斜率表示的大小，由题意知斜率k=404.0则=404.0代入π2=9.86得g≈9.76m/s2（3）[3]A．应该在小球运动到过最低点开始计时，这样可减小由于计时位置不准确而带来的误差，故A错误；B．记录小球经过最低点的次数，每两次为一个振动周期，不影响实验结果，故B错误；C．根据单振的振动周期公式，就应作出t2–L图线，故C错误；D．线长不等于摆长，摆长应是线长与半径相加，即忽略了半径，斜率不变，不影响计算加速度，但图象不过坐标原点，故D正确。故选D。8．（1）测量单摆的振动周期，测量时间应从摆球经过________（选填“平衡位置”或“最高点”）时开始计时；某次测定了50次全振动的时间如图中停表所示，那么停表读数是________s；该单摆的周期是T=________s（结果保留三位有效数字）。（2）测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2­L图象如图所示，此图线斜率的物理意义是（______）A．gB．C．D．（3）在描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，则由图线斜率得到的重力加速度将会（______）A．偏大B．偏小C．不变D．都有可能（4）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度，他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL，再测出其振动周期T2，则可用该同学测出的物理量来表达重力加速度为g=________。【答案】平衡位置67.41.35CC【解析】（1）[1][2][3]因摆球经过最低点时的速度大，容易观察和计时，所以测量时间应从摆球经过最低点开始计时，即平衡位置；停表的读数为t=1min＋7.4s=67.4s单摆周期T=t=1.35s（2）[4]根据单摆的周期公式T=2π得T2=L所以T2－L图线斜率的物理意义是。故选C。（3）[5]因为=（常量）所以==k若误将摆线当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍满足==k所以由图线斜率得到的重力加速度不变。故选C。（4）[6]根据（3）分析知=所以g==9．（1）物理课外小组研究“用单摆测重力加速度”实验，他们依照教材实验直接测量的物理量应为：______、______、n次全振动的时间t，其公式为g＝。（2）他们测出不同的摆长（l）所对应的周期（T），在进行数据处理时：①如果甲同学以摆长（l）为横坐标、周期的平方（T2）为纵坐标作出了T2－l图像，若他测得的图像的斜率为k，则测得的重力加速度g＝。若甲同学测摆长时，忘记测摆球的半径，则他用图像法求得的重力加速度______（选填“偏小”“偏大”或“准确”）。②乙同学根据公式T＝2π，得：g＝，用此式计算重力加速度，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的半径，则他测得的重力加速度______（选填“偏小”“偏大”或“准确”）。（3）甲同学测量5种不同摆长单摆的振动周期，记录结果如下表所示：l/m0.50.80.91.01.2T/s1.421.791.902.002.20T2/s22.023.203.614.004.84以摆长（l）为横坐标、周期的平方（T2）为纵坐标，作出了T2­l图像，请你替他作出T2­l图像_______，利用此图像求出的重力加速度为______。【答案】摆线长l0摆球直径d准确偏小9.86m/s2【解析】（1）[1][2]本实验是利用单摆的周期得即只要测出摆长l和周期T就能求出当地的重力加速度g，而显然，本实验直接测量的物理量应为：摆线长l0、摆球直径d、完成n次全振动所用的时间t．其公式为（2）[3]①若依据测量数据，作出T2－l图像而故有图像对应的函数关系式应为如果忘记d，则函数关系式应为显然图像的斜率不变，所以求得的重力加速度不变[4]②若根据公式得用此式计算重力加速度，如果忘记d，测量公式应为显然测量值偏小（3）[5]建立如图坐标系，并标出适当的标度，依据描点法画出T2­l图像[6]则图像的斜率求出重力加速度为10．某同学利用单摆测定当地的重力加速度。（1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________。A．最高点B．最低点C．任意位置（2）用停表测量单摆的周期．当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝______s（结果保留三位有效数字）。（3）若用最小刻度为1mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示．O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为________m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为________cm；单摆的摆长为________m（计算结果保留三位有效数字）。（4）若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝_______。【答案】B2.280.99152.0751.00【解析】（1）[1]为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在摆球速度大的点做标记，即最低点。（2）[2]用停表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间。根据题意可知从n＝1到n＝60共有59个时间间隔，每一个时间间隔为个周期，故为29T，根据停表读出此时间间隔为Δt＝67.4s．代入数据解得，此时摆球的周期为2.28s.（3）[3][4][5]用最小刻度为1mm的刻度尺测得单摆的摆线长为99.15cm＝0.9915m，用游标卡尺测量摆球的直径，此游标尺为20分度，读数为单摆的摆长为计算结果保留三位有效数字，故摆长为1.00m。（4）[6]根据可知11．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：（1）用游标尺测量摆球的直径如图，可读出摆球的直径为___________。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L。（2）用秒表测量单摆的周期，测定了40次全振动的时间如图中秒表所示，那么秒表读数是___________s。（3）测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出图线，此图线斜率的物理意义是（______）A．gB．C．D．（4）在（3）中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小（______）A．偏大B．偏小C．不变D．都有可能【答案】2.0675.2CC【解析】（1）[1]用游标尺测量摆球的直径为2cm+0.1mm×6=2.06cm（2）[2]秒表读数是1min+15.2s=75.2s（3）[3]根据可得可知T2-L图像的斜率为，故选C。（4）[4]在（3）中，描点时若误将摆线长当作摆长可得则图像的斜率不变，则由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小不变，故选C。12．某同学在做“利用单摆测定重力加速度”的实验中。（1）该实验中用于测量时间的仪器是下列中的______A．B．C．D．（2）小球直径用游标卡尺测量如图所示，则小球直径______mm（3）若实验测得的g值偏小，可能的原因是______。A．单摆振动过程中振幅减小了B．实验中误将次全振动计为n次C．测摆线长时摆线拉得过紧D．测摆长时，将摆线长当作摆长，漏加小球半径【答案】C20.6D【解析】（1）[1]该实验中用于测量时间的仪器是秒表，故选C；（2）[2]小球直径2cm+0.1mm×6=20.6mm（3）[3]A．单摆振动的振幅大小对重力加速度的测量无影响，选项A错误；B．实验中误将次全振动计为n次，则周期测量值偏小，根据可知可知重力加速度测量值偏大，选项B错误；C．测摆线长时摆线拉得过紧，则摆长测量值偏大，根据可知，重力加速度测量值偏大，选项C错误；D．测摆长时，将摆线长当作摆长，漏加小球半径，摆长测量值偏小，则重力加速度测量值偏小，选项D正确；故选D。13．在用“单摆测重力加速度”的实验中：（1）某同学在实验中测得的小球直径为d，测定了摆线的长度为l，用秒表记录小球完成n次全振动的总时间为t，则当地的重力加速度的表示式为g=_______（用d、l、n、t表示）。若该同学用游标卡尺测定了小球的直径，如图1所示，则小球直径为_______cm；（2）为了尽可能减小实验误差，下述操作中可行的是_______。A．选用不可伸长的细线作为摆线B．当小球通过最高点时开始计时C．让小球尽可能在同一竖直面内摆动D．减小摆球的质量【答案】2.240AC【解析】（1）[1]根据单摆周期公式可得依题意知，联立以上几式，求得当地的重力加速度的表示式为[2]根据游标卡尺读数规则，可得该小球直径大小为（2）[3]A．为了减小实验误差，应选用不可伸长的细线作为摆线，故A正确；B．为了减小实验误差，摆球通过平衡位置时速度最大，便于观察计时，即当小球通过最低点时开始计时较好，故B错误；C．为了减小实验误差，让小球尽可能在同一竖直面内摆动，否则摆球形成圆锥摆，周期将发生变化，故C正确；D．为了减小实验误差，摆球应选择密度大，体积小的实心金属小球，这样减小阻力的影响，故D错误。故选AC。14．某同学用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示：（1）对测量原理的理解正确的是________；A．由可知，T一定时，g与L成正比B．由可知，l一定时，g与成反比C．单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，由可算出当地的重力加速度（2）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用以下哪些器材_______；A．长度为左右的细绳B．长度为左右的细绳C．直径为的钢球D．直径为的木球E．最小刻度为的米尺F．秒表、铁架台（3）然后进行以下必要的实验操作，请将横线部分内容补充完整。①测量单摆的摆长，即测量从摆线的悬点到_______的距离；②把此单摆从平衡位置拉开一个小角度后释放，使摆球在竖直面内摆动，测量单摆全振动30次（或50次）的时间，求出一次全振动的时间，即单摆振动的周期；③适当改变摆长，测量几次，并记录相应的